Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Người hướng dẫn khoa họcT.S nguyễn năng tâm Hà nội - 2008... Trường đại học sư phạm hà nội 2 Khoa toán****o0o**** đinh thị len ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích Khóa luận

Người hướng dẫn khoa học

T.S nguyễn năng tâm

Hà nội - 2008

Trường đại học sư phạm hà nội 2 Khoa toán

****o0o****

đinh thị len

ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành : Hình học

Người hướng dẫn khoa học

T.S Nguyễn Năng Tâm

Hà nội – 2008 ơ

Khoáluậnnàytrìnhbàyvềviệcsửdụngphépbiếnhìnhđểgiảibàitoánq u ỹtích Ngoàiviệc làmrõtínhưuviệtcủaphépbiếnhình, khoáluậncòncốgắngkhaithác, mởrộngmộtsốbàitoán

ĐểhoànthànhkhoáluậnnàyemxinchânthànhcảmơncácthầycôgiáotrongtổHìnhhọc,đặcbiệtemxinchânthànhcảmơnthầyNguyễnNăngT â m đã

tạođiềukiện,giúpđỡemtrongquátrìnhnghiêncứu

Tuycó nhiềucốgắng,

songnănglựcbảnthâncòncóhạncũngnhưđiềukiệnvềtàiliệuvàthờigiancònhạnchếnênbàikhoáluậnchắcchắncònnhiềuthiếusót

Emrấtmongnhậnđượcsựchỉbảocủacácthầycô

vàcácbạnđểkhoáluậncủaemhoànthiệnhơn

Emxinchânthànhcảmơn!

HàNội,tháng5năm2008Sinhviên

ĐinhThịLen

Emxincamđoanbảnkhoáluậnnàyđượchoànthànhdosựcốgắng,nỗlựctìmhiểunghiêncứucủabảnthânvàsựgiúpđỡnhiệttìnhcủa

cácthầyc ô giáotrongtổHìnhhọc,đặcbiệtlàsựgiúpđỡcủathầyNguyễnNăngTâm

Cáckếtquảtrongbảnkhoáluậnnàykhôngtrùngvớikếtquảcủacáctácgiảkhácvàcáckếtquả đólàchânthực

HàNội,tháng5năm2008Si

nhviên

ĐinhThịLen

1 Lýdochọnđềtài

Trongnhàtrườngphổthông,hìnhhọclàmộtmônhọckhóđốivớihọcsinh.Bởivìhìnhhọccótínhchặtchẽ,tínhlogícvàtínhtrừutượngcaohơncácmônhọckháccủatoánhọc.Cácphépbiếnhìnhsơcấplàmộtphầnquantrọngcủahìnhhọcvìnólàmộtcôngcụhữuíchđốivớicácbàitoántronghìnhhọcphẳng

Tínhưuviệtcủaphépbiếnhìnhtrongmặtphẳngthểhiệnrấtrõkhitavậndụngnóđểgiảiquyếtcácbàitoánvềdựnghình,quỹtích,chứngminhvàtínhtoán

Tuynhiên,việcgiảibàitoánhìnhhọcbằngphépbiếnhìnhkhôngphảil à dễdàng,thựctếnólàmộtphầnkhóđốivớicảgiáoviênvàhọcsinh

Trongkhuônkhổcủamộtkhoáluậntốtnghiệp,emchỉtrìnhbàynhữngkiếnthứccơbảnvềphépbiếnhìnhvàứngdụngcủanóđểgiảibàitoánquỹtích

Đóchínhlàlýdoemchọnđềtài:

“ứngdụngphépbiếnhìnhđểgiảibàitoánquỹtích”.

2 Mụcđíchvànhiệmvụnghiêncứu

2.1 Nghiêncứucáckiếnthứccơbảncủaphépbiếnhìnhtrongviệcgiảibà i toánquỹtích

2.2 Xây

dựnghệthốngcácvídụminhhoạvàbàitậpluyệntậpthểhiệnphươngphápsửdụng phép biếnhìnhvàogiảibàitoánquỹtích

3 Đốitượng, phạmvinghiêncứu

3.1 Đốitượngnghiêncứu

Kiếnthứcvềphépbiếnhìnhtrongmặtphẳng

3.2 Phạmvinghiêncứu

Các bàitoánquỹtíchtrongmặtphẳnggiảibằngphépbiến hình.

4 Phươngphápnghiêncứu

NghiêncứuSGK,cácsáchthamkhảo,cáctàiliệucóliênquanđếnnộidungnày

-1củafcũnglàmộtsongánhtừE2vàoE2nêncũnglàmộtphépbiếnhìnhcủamặtphẳng.Tagọiphépbiếnhìnhđólàphépbiếnhìnhđảongượccủaphépbiếnhìnhf(haylàphépnghịchđảocủaphépbiếnhìnhf)

1.1.3 Phépbiếnhìnhtích

làhaiphépbiếnhìnhcủamặtphẳng,dễthấyánhxạtíchfvàglàmộtsongánhcủamặtphẳngvàomặtphẳngnêntíchđócũnglàphépbiếnhìnhcủamặtphẳng.Tanóiphépbiếnhìnhđólàphépbiếnhìnhtíchcủafvà

1.1.6 Cácphầntửbấtbiếntrongmộtphépbiếnhình

Chophépbiếnhìnhf:E2E2,vớimỗiđiểmME2màf ( M ) =MthìđiểmMđượcgọilàđiểmbấtđộng(điểmkép)đốivớiphépbiếnh ì n h f

HìnhHđượcgọilàhìnhbấtbiếnđốivớiphépbiếnhìnhfcủaE2nếuf(H)=H.HìnhHđượcgọilàhìnhbấtđộng(cốđịnh)đốivớifcủaE2nếuvớimỗiđiểmM

Hmàf(M)=M

1.2 Mặtphẳngđịnhhướng,gócđịnhhướng

1.2.1 Mặtphẳngđịnh hướng

Xungquanhmỗiđiểmtrongmộtmặtphẳngcóhaichiềuquay:chiềuquaytheochiềucủakimđồnghồvàchiềungượclại.Nếuchọnmộttronghaichiềuquayđólàchiềudươngthìchiềungượclạigọilàchiềuâmvàkhiđótabảorằngmặtphẳngđãđượcđịnhhướng

Thôngthườngngườitachọnchiềuquayngượcvớichiềucủakimđồngh ồ làmchiềudương

1.2.2 Gócđịnh hướngcủahaiđườngthẳng

TrongmặtphẳngPđãđượcđịnhhướng,xéthaiđườngthẳngavàbcắtnhautạiO.Ngườitagọigócđịnhhướnggiữahaiđườngthẳngavàblấytheothứ tựđólàgócmàđườngthẳngphảiquaytheomộtchiềuxácđịnhđểđếntrùngvớivịtrícủađườngthẳngb.Gócđịnhhướngđókíhiệu(a,b),trongđóa làcạnhđầu,blàcạnhcuốicủagóc

SốđocủagócđólàdươngvàâmtuỳtheochiềuquaycủaaxungquanhOđếntrùngvớibtheochiềudươnghayâmcủamặtphẳng.Dođónếu(a,b)=thì(b,a)=-

Gócđịnhhướngcủahaiđườngthẳnga,bxácđịnhsaikhácmộtgóck

radian,

(a,b)=+k(tínhbằngradian).Kíhiệu(a,b)=(mod)

1.3 Phépdời hìnhtrongmặtphẳng

1.3.1 Địnhnghĩa

PhépbiếnhìnhcủamặtphẳngE2bảotồnkhoảngcáchgiữahaiđiểmtuỳýđượcgọilàphépdờihình,nghĩalàvớimỗiME2;NE2cóf(M)= M’,f(N)=N’thìđềucóM’N’=MN

1.3.2 Tính chất

-Phépdờihìnhbiếnbađiểmthẳnghàngthànhbađiểmthẳnghàngvàkhônglàmthayđổithứtựcủabađiểmđó

Phépdờihìnhbiếnmộtđườngthẳngthànhmộtđườngthẳng,biếnmộttiathànhmộttia,biếnmộtđoạnthẳngthànhmộtđoạnthẳngbằngnó

Phépdờihìnhbiếnmộtta mgiácthànhmộtta mgiácbằngnó,biếnmộtgócthànhmộtgócbằngnó,biếnmộtđườngtrònthànhmộtđườngtrònbằngnó,trongđótâmbiếnthànhtâm

M ’ M

TrongE2chođiểmO,phépbiếnhìnhcủaE2biếnmỗiđiểmMthành

b Tínhchất

- Trongmặtphẳngphépđốixứngtâmlàphépdờihìnhnênnócóđầyđủcáctínhchấtcủaphépdờihình

hìnhcủamặtphẳngE2biếnmỗiđiểmM

- Chohaiphépquay

11

- Phépv ị t ự V(O,k)biếnmộtđườngthẳngthànhmộtđườngthẳngsongsonghoặctrùngvớiđườngthẳngđó,biếntiathànhtia,biếnđoạnthẳngthànhđoạnthẳngmàđộdàiđượcnhânlênvớik ,biếntamgiácthànhtam

giácđồngdạngv ớ i t ỉ s ố đồngdạngk ,biếngócthànhgócbằngn ó , biếnđườngtrònthànhđườngtròncóbánkínhgấpklầnđườngtrònđó

- k=-1thìV(O,k)làphépđốixứngtâm

b Tính chất

- Phépđồngdạngbiếnmộtđườngthẳngthànhmộtđườngthẳng,biếnt i a thànhtia,biếnmộtđoạnthẳngthànhmộtđoạnthẳngcóđộdàigấpklầnđoạnthẳngđầu,biếnđườngtrònbánkínhRthànhđườngtrònbánkínhkR

- Bảotồnđộlớncủagócphẳng

- Tíchcủamộtphépvịtựvàmộtphépdờihìnhhoặctíchcủamộtphépdờihìnhvàmộtphépvịtựlàmộtphépđồngdạng

- Trongmặtphẳngmọiphépđồngdạngkhácphépđẳngcựcóduynhấtmộtđiểmbấtđộng

1.5 Bàitoánquỹtích

Bàitoánquỹtíchlà

bàitoántìmtậphợpnhữngđiểm(haycòngọilàmộthình)cótínhchấtchotrướcvớinhữngđiềukiệnnhấtđịnh

Việckhẳngđịnhquỹtíchnhữngđiểmcótínhchấtlàhình(H)nàođó,taphảithựchiệnhaibước:

Bước1:(Phầnthuận)ChứngminhđiểmMcótínhchấtthuộc(H).Bước2:

(Phầnđảo)Chứngminhmỗiđiểmthuộchình(H)đềucótínhchất

cácbàitoánquỹtíchnhờphépbiếnhìnhtacóthểchọnmộtphépbiếnhìnhthíchhợpfbiếnđiểmMthànhđiểmM’

saochoquỹtíchnhữngđiểmM’tìmđượcdễdànghơnđểrồitừđósuyraquỹtíchđiểmM.NguyêntắcchungápdụngphépbiếnhìnhvàogiảitoántìmtậphợpđiểmMthoảmãntínhchất nàođó:nếutachứngminhđượcmỗiđiểmM’làả n h củamộtđiểmM

Bước2 :Tìmtậphợp( H )cácđiểmM

Vídụ3.ChobaphépđốixứngtâmĐA,ĐB,ĐC.VớiMlàđiểm bấtkì,

gọiM1l àảnhcủaMquaĐA;gọiM2l àảnhcủaMquaĐB;gọiM3l àảnhcủaM

quaĐC.TìmquỹtíchđiểmM3k h iMchạytrên(O)hayđườngthẳngd

NếuM c h ạ y t r ê n đườngthẳngd thìquỹt í c h M3làảnhcủađườngthẳngdqu

aĐD.

Vídụ4.Cho ABC.GọiA’,B’,C’lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnhB

C,CA,AB.TìmtậphợpđiểmMtrongtamgiácsaochoảnhcủaM

trongcácphépbiếnđổi Z', Z',Z' nằmtrênđườngtrònngoạitiếpt a mgiác

M 2 B’

Bước3:KếtluậntậphợpcácđiểmMlàảnhcủa(H)trongphépđốixứngtrụcĐd.

2.3.2.Vídụ

Vídụ1.Cho(O;R)t r ê n đócóhaiđiểmA,B.Mộtđườngtròn(O1;R1)tiếpxúcngoài(O)tạiA.MộtđiểmMdiđộngtrên(O),tiaMAcắtđườngtròn(O1)tạiđiểmthứhaiA1.QuaA1v ẽđườngthẳngsongsongvớiABcắttiaMBtạiB1.TìmtậphợpđiểmB1.

Lờigiải

hác,khiMdiđộngtrên(O)thìA2diđộngtrên(O1)

TậphợpcácđiểmA2làđườngtròn(O1)

Talạicó,B1=Đd(A2)nêntậphợpcácđiểmB1làđườngtrònảnhcủađườngtròn(O

1)quaphépđốixứngtrụcd

Kếtluận:TậphợpcácđiểmB1làđườngtròn(O2)với(O2)=Sd(O1)

Vídụ2.Trongmặtphẳng,chohaiđườngthẳngd1vàd2cắtnhauởOv à mộtđiểmPcốđịnhnằmngoàid1,d2.Mộtđườngthẳng quayxungquanhPcắtd1ởA,

d2ỏB.Cácđườngthẳng 1v à 2đốixứngvớilầnlượtquad1vàd2cắtnhauởM.Tìm

(OP1,OP)=2(OP1,d1)=2(d1,OP)(mod) (4)

(OP,OP2)=2(d2,OP2)=2(OP,d2)(mod) (5)

TheohệthứcChasles,

từ(4),(5)(OP1,OP2)=2(d1,d2)(mod) (ii)

Từ(i),(ii)⇒(MP1,MP2)=(OP1,OP2)(mod) (iii)

Tanhậnthấycácyếutốđốixứngtrụcđãxuấthiệnngaytrongdữkiênc ủ a bàitoán.Vìvậybàitoánnàyđòihỏiphảisửdụngtínhchấtcủaphépđốixứngtrụcvàgócđịnhhướngcủahaiđườngthẳng(mod )đểtìmquỹtích.

1 A

Vídụ3.ChoABC

nộitiếpđườngtròn(O),bánkínhRcốđịnh.Tìmq u ỹ tíchtrựctâmHcủaABCkhiAdiđộngtrên(O)

Lờigiải

GiảsửđườngcaoAHcắt(O,R)tạiA

1Tacó A1

C

(

AB)2Mặtkhác A1B190o

ờngtrònấyvàM1,M2.M3theothứtựlàcácđiểmđốixứngcủaM quaBC,CAvàAB

TìmtậphợpcácđiểmM1,M2.M3khiMdiđộngtrênđườngtrònấy.Lờigiải

Tacó MvàM1đốixứngnhauquaBC

DođókhiMdiđộngtrênđườngtròn(O)ngoạitiếptamgiácABCthìM1diđộngtrênđườngtrònảnhcủađườngtròn(O)đãchoquaphépđốixứngtrụcBC.TakíhiệuđườngtrònchứaM1l à(O1)

GọiRlàbánkínhcủa đườngtròn(O)và(O’) I làtrungđiểmcủađoạnMM’.

khôngđổi

VậykhiMvà M’d iđộngthìtậphợpđiểmJlàvòngtròn(O’,r).Mặtkhác, xéttamgiácMM’NcóIJlàđườngtrungbình

   

A

IJ//MN//OO'

IJ

=1O'Oh

a y2

JI1

O'O2DođóIlàảnhcủaJquaphéptịnhtiếnT 

1

O'O 2

Vậyk h i J c h ạ y t r ê n ( O’,r)t h ì I chạyt r ê n ( O’’,r),ảnhc ủ a (O’,r)qua

b) Trườnghợp2: AMvà AMngượchướng

A’B

Ic h ạ y t r ê n đoạnthẳngảnhc ủ a đườngkínhn à y q u a phéptịnh

tiếnT1 O'O 2

Vậyq u ỹ t í c h trungđ i ể m I c ủ a đoạnMM’l à1 đoạnthẳng,ả n h củađườngkínhcủađườngtròn(O’)điquatrungđiểmcủaBA’quaphéptịnhtiến

2

O d

E O 2

O1IFEAB

Kếtluận:Quỹt í c h đ i ể m B l à đườngtròn(O’2),ảnhc ủ a đườngtròn

(O,O1Oquaphéptịnhtiến

OA

Vídụ3.ChotamgiácABCcốđịnh,gọiBx,Cytheothứtựlàcáctiađốicủac

áctiaBAvàCA.CácđiểmDvàEthứtựchuyểnđộngtrêncáctiaBx,Cy.TìmquỹtíchcáctrungđiểmMcủaDEbiếtBD=2CE

VìBD=2CE=2BKDK//D0K0

Vậyq u ỹ t í c h trựctâmH c ủ a  MPQl à đườngtròn(O’,R),ả n h của

đườngtròn(O,R) bỏđihaiđiểmA vàB1(với B

Bước3:KếtluậntậphợpcácđiểmMlàảnhcủa(H)trongphépquay

2.5.2 Vídụ

Vídụ1.ChođườngtròntâmObánkínhR,Acốđịnh,A O,d â ycungBCdiđộngnhưngsốđo BC120o.GọiIlàtrungđiểmcủaBC.V

ẽtamgiácđềuAIJ.TìmtậphợpđiểmJ.Lờigiải

Tac ó I l à trungđiểmc ủ a B C , sốđo J

OI

bánkínhR

2Mặtkhác,AIJđềunêntacó:

(I) hoặc J=Q-600 (I)

(AI,AJ) 60

MàtậphợpđiểmIlàđườngtròn()tâmObánkínhR

2 nêntậphợpđiểmJlàmộttronghaiđườngtròn(1)và(2)với:

2

vớiO1=QA

vớiO=Q-600

(O)(O)Kếtluận:TậphợpđiểmJlàmộttronghaiđườngtròn(1)hoặc(2)làảnhcủa()quaphépquaytâmA,gócquaylầnlượtlà600hoặc-600,trong

Tacó OO1=OO2và (OO1,OO2)=khôngđổi

1O490o

MOAAOIO3O4180o

AIKcântạiI(vìAOBcântạiOchânđườngcaoIlàtrungđiểmcủaAB;trongvuôngKABcóKI=1ABAIIB)

2vàcó

o



 )I

:M



NA



CVậytậphợpđiểmNlàảnhcủatậphợpđiểmMtrongphépquaytrên,

tứclàảnhcủacun

uayQ

 ( 9 0

o



 ) I

Tómlại,quỹtíchcácđiểmN làảnhcủacung A Bnhỏtrongphépquay

 ( 9 0

o



 ) I

Nhậnxét:

1 Tacóthểdựngquỹtíchtrênnhưsau:

- DựngảnhO’của Otrongphépquay

- VẽđườngtròntâmO’,bánkínhO’I

- (O

’,O

’I)

cắt

tia

CBtạiB

’

 ( 9 0

o



 ) I

Khiđóquỹtích

củaNchínhl

àcungđường

tròn(O’,O’I)

CIB

(cungnhỏ

C

B

)của

TìmtậphợpcácđiểmE”Lờigiải

A’ O’

A BthìquỹtíchDchạytrêncunglớn

A



B



là

ảnhcủacunglớnA

Bquaphéptịnhtiếnđổi

T.Mặtkhác,tacó

B A

A

CB



không

⇒(AD

;AE)







k

quaphépqua

yQA ;cung ABnằmtrênđườngtròn(O”,R),ảnhcủađườngtròn

VAVì

khiđókẻdâyBCOM’tạiM’thìtacóBC= 2

A’

BCmàV2.V1 làmộtphépđốixứngtâmnêntâmcủa nólà Mvìảnhcủa Blà C.

“Chođườngtròn(O,R)vàmộtdâycungBCcốđịnh,Adichuyểntrên

cung BxCcủađườngtrònđó.TìmquỹtíchtrọngtâmGvàtrựctâmHcủa

ABC.”

O

VV

Khiđóxétphépvịtự 

:

OO’

(O)(O’)KẻđườngkínhADcủađườngtròn(O’)thì tacũngcó 

:AD

(k1).k1

KẻMO1//ABcắtOO’t ạ i O1,t a cótậphợpđiểmM l à đườngtròn

(O1, k    1

k1 R),trongđó

R 

Lờigiải

Tacó BM//CN

Haitamgiác BMSvàNCSđồngdạngnênta có:

N S

VậytậphợpcácđiểmSlàảnhcủađườngtròntâmOquaphépvịtự

tâmC,tỉsốvịtự k

R

.RR

Vídụ4.Chohaiđườngtrònđồngtâm(O,R)và(O,R’).

(R’<R),Alàmộtđiểmcốđịnhthuộc(O,R’).Mlàmộtđiểmdiđộngtrên(O,R’).KẻdâyBC của(O,R) ,BCvuônggócAMtạiAvàcắt(O,R’)tạiD

O’

· ElàảnhcủaJtrongphépvịtựV(A,2)tâmA,tỉsốk =2

DođótậphợpcácđiểmElàđườngtròn(),ảnhcủađườngtròn()quaphépvịtựV(A,2)

1 TacũngtìmđượcquỹtíchđiểmCkhiđiểmMchạytrênnửađườngtrònđườngkínhABlànửađườngtrònđườngkínhBA,ảnhcủađườngtrònđườngkínhBAquaphépđồngdạngZ(B, 1,-90o)

2 Thayđổimộtphầncủagiảthiếttacũngđươcbàitoánmớicócáchgiảitươngtựvớicáchvớibàitoánđẫcho

“Trênđườngtròn(O.R),chođiểmcốđịnhAvàmộtđiểmdiđộngB.DựnghìnhvuôngABCD.TìmtậphợpcácđiểmC”

22

AFMàAD=ABn ê n tacó:AE=EF

2

46

d C

G

d B

-48-1

1 tan2 

255

khôngđổi



 (OA,OG) ,khi

đót a có2OI

tan 1khôngđổi.Dođógóc

khôngđổithoảmãn tan 

1

2VậytậphợpcácđiểmGlàđườngthẳngd,ảnhcủađườngthẳngdqua

phépđồngdạngZ(O, , )

3Cáchdựngd:TìmdiểmGolàtrọngtâmcủaOHH.Đườngthẳng

-49-dvuônggó

c OGotạiGo

Phépbiếnhìnhlàmộtcôngcụhữuíchđốivớicácbàitoántronghìnhhọcphẳng.Khoáluậnnàyđãtrìnhbàyứngdụngphépbiếnhìnhđểgiảibàitoánquỹtích

2 Bấtcứlờigiảibàitoánquỹtíchnàocũngphảicóhaiphầnbắtbuộckhôngthểthiếuđược(thuậnv à đảo).Tuynhiênviệcchứngminhhaiphầnn à y c ó thểlinhhoạttheonhiềuphươngphápkhácnhau.Mộttrongcácphươngphápđólàsửdụngphépbiếnhình.Khisửdụngphépbiếnhìnhvàogiảibàitoánquỹtíchthìcùngmộtlúc

cảhaiphầnđóđềuđượctiếnhànhsongsongdotínhchấtmộtđốimộtcủaphépbiếnhình.Đóchínhlàưuđiểmđángk ể củaphépbiếnhìnhkhigiảibàitoánquỹtích

Dokiếnthứccònhạnchếvàvớivốnkinhnghiệmítỏicủabảnthân,đâylạilàlầnđầutiênthựchiệnmộtđềtàinghiêncứukhoahọcnênkhoáluậnc ủ a

e m khôngtránhkhỏithiếusótvàhạnchế

Emrấtmongnhậnđượcs ự gópý,c h ỉ bảocủac á c thầyc ôtrongtổhìnhhọcvàcácbạn

Bài1.ChohìnhbìnhhànhABCDvàcácđiểmM,N,P,Qlầnlượtlàtrungđiểmcủac á c cạnhAB,CD,AD,BC.GiảsửO làđiểmcốđịnhnằ m tronghìnhbìnhhànhvàkhôngthuộcMNvàPQ.TìntậphợpcácđiểmXvàYthuộccáccạnhcủahìnhbìnhhànhsaochoOlàtrungđiểmcủa đoạnXY

Bài4 Chot a m giácc â n ABC(AB=AC)c ó cạnhBC<AB.Vớimỗiđi ểm MtrêncạnhBCt a dựnghìnhbìnhhànhAPMQ(PAB,QAC).TìmtậphợpảnhcủađiểmMtrongphépđốixứngquađườngthẳngPQ

Bài5 Chođườngtròn(O)cốđịnhv à mộtđoạnthẳngM N cốđịnh.Trên(O)lấymộtđiểmAvàkẻđoạnthẳngAIsongsongvàbằngMN.TìmtậphợpcácđiểmIkhiAdiđộngtrên(O)

Bài6.ChotamgiácABCcốđịnh,trựctâmH.VẽhìnhthoiBCDE.KẻDD’

AB,EE’AC,DD’vàEE’cắtnhautạiM.TìmtậphợpđiểmM khihìnhthoiBCDEthayđổi

Bài7.MộttamgiácđềuABCcóđỉnhAcốđịnh,đỉnhBchạytrênmộtđườngtròn(O;R)khôngđiquaA TìmquỹtíchcácđỉnhC

Bài8.ChophépquaytâmOgócquayvàđiểmScốđịnh,SkhácO.VớimỗiđiểmA,phépquaybiếnAthànhA'

hợpđiểmA

saochoAA' điquaS.Tìmtập

Bài10.Chođườngtròn(O)vàđoạnABcốđịnh.Trênđườngtròn(O)t a lấyhaiđiểmCvàDsaochoCDcóđộdàikhôngđổi.GọiM,NlầnlượtlàtrungđiểmcủaADvàBC.TìmtậphợptrungđiểmcủađoạnMNkhiCvàDthayđổi

Bài11.Chođườngtròn(O)vàmộtđườngthẳngd Vớimỗiđi ểm Athuộc(O)vàđiểmBthuộcd,tadựngtamgiácvuôngcânABC(A=900).TìmtậphợpđỉnhCkhicácđỉnhAvà Bcùngthayđổi

Bài12.TamgiácABCbiếnđổi,luônluônđồngdạngvàcùnghướngvớichínhnósaochotrựctâmKcốđịnhvàđỉnhAdiđộngtrênđườngthẳngdđãcho.TìmquỹtíchcácđiểmBvà C

Bài1.GọiHlàgiaođiểmcủa PQvà

MN.TacoiOlàđiểmtrongcủahìnhbìnhhànhDNHP

NếuX,YlàcácđiểmtrêncáccạnhcủahìnhbìnhhànhABCDsaochoOlàtrungđiểmcủaXYthìphépđốixứngZO:X Y,D Dvàt ứ giácDXYD’làhìnhbìnhhành.VìOthuộchìnhbìnhhànhDNHPnênX,Y thuộccáccạnhDAvàDC.TậphợpđiểmXvàYlàmộtđiểmthuộcDAvàB C

Bài2.TheogiảthiếtZA:P P1;ZB:P1P2;ZC:P2

P’

  Nhưv ậ y ZD:P P’,trongđóDđượcxácđịnhbởihệthứcBD=BA+BCvà

Dl à điểmcốđịnh.TậphợpP ’ làđườngtròn(O’)ảnhcủađườngtròn(O)trongphépđốixứngZD.

Bài3 GọiH l à trungđiểmcủaAA’.Khiđó AHB=90o.

KẻquaA’đườngthẳngd//

x,cắtABtạiC,khiđóClàảnhcủaAtrongphépđốixứngquaB,vìvậyClàđiểmcốđịnh.TathấyđiểmA’luônnhìnđoạnACcốđịnhdướigócvuông

: A’A

()( ’)

VậytậphợpcácđiểmAlàđườngtròn(’),ảnhcủađườngtròn()quaphépquay 

Bài9 Xétphépvịtựt â m S , b i ế n Q thànhP thìbiếnA thànhB vàđườngtròn(O)thànhđườngtròn(O’)chứaB.ĐiểmCthuộcđườngtròntâm

IlàtrungđiểmcủađoạnOO'

đườngtròn(O)và(O’)

vàbánkínhbằngtrungbìnhcộnghaibánkính

1 1

bađoạnthẳngAB,MN,CDthẳnghàngvàtrungđiểmcủaMNcũnglàtrungđiểmcủađoạnthẳngnốitrungđiểmcủaABvàCD

Bài11 XemBlàđiểmcốđịnh

TathựchiệnphépđồngdạngZ=V Q

(B,2 )

(B,45o)biếnAthànhC,dođóđườngtròn(O)biếnthànhđườngtròn(O’)chứaC



OBO' vuôngcântạiO,bởivậyphépquaytâmOgócquay90

thànhO’,thìbiếnđườngthẳngdthànhđườngthẳngd’vuônggócvớidvàđiquaO’.KhiBthayđổitrênd,thìO’thayđổitrênd’.TậphợpđiểmClàhợpcácđườngtròn(O’)vớitâmO’thuộcd’vuônggócvớid.Cóhaitậphợpnhưvậy

Tươngtự,tậphợpcácđiểmClàđườngthẳngd2(C1d2vàd2KC1)