Luận văn sư phạm Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Em xin chân thành c m n!. Sinh viên inh Th Qu nh Liên... Sinh viên inh Th Qu nh Liên... Bài toán qu tích.

Trang 1

Khóa lu n t t nghi p inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Trang 2

Trang 3

3

L i c m n

Trong quá trình nghiên c u và hoàn thành khoá lu n này, em đã nh n đ c

s quan tâm, giúp đ v v t ch t, tinh th n c a các th y giáo, cô giáo trong t Hình

h c nói riêng và trong khoa Toán tr ng i h c s ph m Hà N i 2 nói chung cùng

v i s h tr và giúp đ c a các b n sinh viên

Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i th y giáo inh V n Thu , ng i

đã t n tình h ng d n em trong su t th i gian qua đ em hoàn thành đ c khóa lu n

này

Do trình đ và th i gian nghiên c u còn h n ch nên nh ng v n đ mà em

trình bày trong khoá lu n s không tránh kh i nh ng thi u xót Em kính mong nh n

đ c s ch b o và đóng góp ý ki n c a các th y giáo, cô giáo, các b n sinh viên đ

khoá lu n c a em đ c hoàn thi n h n

Em xin chân thành c m n!

Sinh viên

inh Th Qu nh Liên

Trang 4

4

L i cam đoan

Em xin cam đoan các v n đ em trình bày trong khoá lu n này là k t qu

nghiên c u c a riêng em d i s h ng d n tr c ti p c a th y inh V n Thu ,

không trùng v i tác gi khác

N u sai em hoàn toàn ch u trách nhi m

Sinh viên

inh Th Qu nh Liên

Trang 5

5

M c l c

Ph n 1:M đ u 6

1 Lý do ch n đ tài 6

2 M c đích, nhi m v nghiên c u 6

3 i t ng, ph m vi nghiên c u 7

4 Ph ng pháp nghiên c u 7

Ph n 2: N i dung 8

Ch ng 1:Phép ngh ch đ o 8

1.1 Các đ nh ngh a 8

1.1.1 Không gian b o giác 8

1.1.2 Phép ngh ch đ o 8

1.2 Các tính ch t 8

1.3 Các đ nh lý 9

1.4 Phép ngh ch đ o trong h to đ các vuông góc 15

Ch ng 2:Phép ngh ch đ o và bài toán qu tích 17

2.1 Bài toán qu tích 17

2.2 Gi i bài toán qu tích nh phép ngh ch đ o 17

2.2.1 Ph ng pháp chung 17

2.2.2 Các ví d minh ho 17

2.2.3.Bài t p t luy n 31

2.2.4 H ng d n 34

K t lu n 50

Tài li u tham kh o 51

Trang 6

Trong nhi u tr ng h p, phép bi n hình là công c h u hi u cho phép gi i

h p lý và ng n g n các bài toán c a hình h c nh bài toán ch ng minh, bài toán qu tích, bài toán d ng hình và bài toán tính toán

Trong ch ng trình toán ph thông, h c sinh đ c h c các phép bi n hình:

phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép quay, phép t nh ti n, phép v t Phép

ngh ch đ o là phép bi n hình không đ a vào ch ng trình ph thông, ch đ c đ

xu t khi luy n h c sinh chuyên, b i d ng h c sinh gi i Phép ngh ch đ o v i

nh ng tính ch t khác bi t c a nó đ a đ n h ng gi i quy t m i trong m t s l p bài

toán c a hình h c

góp ph n làm rõ tính u vi t c a vi c s d ng phép bi n hình vào gi i các bài toán c a hình h c, tôi đi sâu nghiên c u v lý thuy t phép bi n hình và ng

d ng c a phép bi n hình đ gi i quy t các bài toán hình h c

Trong khuôn kh m t khoá lu n t t nghi p, do th i gian nghiên c u có h n nên tôi ch t p trung khai thác ng d ng c a phép ngh ch đ o trong vi c gi i các bài

Trang 7

7

- Xây d ng h th ng ví d minh ho và bài t p t luy n th hi n vi c s d ng

ph ng pháp bi n hình vào gi i bài toán qu tích

3 i t ng, ph m vi nghiên c u

- i t ng nghiên c u: phép ngh ch đ o

- Ph m vi nghiên c u: ng d ng phép ngh ch đ o trong vi c gi i bài toán qu

tích trong m t ph ng và không gian

4 Ph ng pháp nghiên c u

Nghiên c u sách giáo trình, bài gi ng chuyên đ và các tài li u tham kh o có

liên quan

Trang 8

8

Ch ng 1: Phép ngh ch đ o

1.1 Các đ nh ngh a

1.1.1 Không gian b o giác

Không gian Enn 2,3   b sung ph n t  (đi m vô c c) g i là không gian

Trang 9

Phép ngh ch đ o bi n siêu ph ng không đi qua c c ngh ch đ o thành siêu c u

đi qua c c ngh ch đ o và bi n siêu c u đi qua c c ngh ch đ o thành siêu ph ng

không đi qua c c ngh ch đ o

Trang 10

10

Do OH' c đ nh  M ' n m trên đ ng tròn đ ng kính OH'

Ng c l i l y đi m N ' b t k trên đ ng tròn đ ng kính OH',

Phép ngh ch đ o bi n siêu c u không đi qua c c ngh ch đ o thành siêu c u

không đi qua c c

Trang 11

Phép ngh ch đ o bi n siêu ph ng đi qua c c ngh ch đ o thành chính nó

nh lý này đ c suy ra ngay t đ nh ngh a và tính ch t

1.3.4 nh lý 4

i u ki n c n và đ đ 2 đi m M, N t ng ng v i nhau trong phép ngh ch

đ o n (O,k) k   0  là có n siêu c u đi qua M và N, tr c giao v i siêu c u

và M, M ' là 2 đi m t ng ng v i nhau trong phép ngh ch đ o trên Ta ph i ch ng

minh có hai đ ng tròn     C , C1 2 tr c giao v i   C

G i   C' là đ ng tròn b t k qua M và M '

Trang 12

 M, M ' là hai đi m t ng ng v i nhau qua phép ngh ch đ o N (O,k)

D th y k0 vì O là đi m n m ngoài hai đ ng tròn   C vµ C1  2

Trang 13

Cho phép ngh ch đ o N(O,k) bi n đ ng cong   C thành đ ng cong

  C' N u hai đi m A, A ' là hai

đi m t ng ng trên   C ,   C' và

Trang 14

A, A '

G i   K là đ ng tròn ngo i ti p t giác AA ' M ' M, v trí A, A ',   K

l n l t ti p xúc v i   C ,   C' Khi đó các ti p tuy n At, A 't ' đ ng th i là ti p

tuy n c a   K t i A, A ' nên các ti p tuy n này đ i x ng v i nhau qua trung tr c

Trang 15

15

Theo b đ trên, các ti p tuy n At c a   C và A ' t ' c a   C' đ i x ng

nhau qua trung tr c c a AA ', các ti p tuy n Au c a   S và A 'u' c a   S' đ i

x ng nhau qua trung tr c c a AA '

V y  At,Au     A 't ',A 'u' 

OM.OM' k OM OM' O,M,M' k

O,M,M'

x.x' + y.y' = k (* )

Công th c (*) xác đ nh to đ c a đi m M' đ i v i h to đ đã ch n

Trang 16

OM.OM' k OM OM'  k

H ph ng trình (**) xác đ nh m t phép ngh ch đ o trong h to đ các

vuông góc, có c c trùng v i g c to đ và ph ng tích là k(k  0)

Trang 17

17

Ch ng 2:Phép ngh ch đ o và bài toán qu tích

2.1 Bài toán qu tích

Bài toán qu tích là bài toán tìm qu tích (hay t p h p) nh ng đi m có tính

ch t cho tr c Qu tích này r t đa d ng: có th là t p r ng, t p h u h n đi m

ho c vô h n đi m

Thông th ng, đ gi i bài toán qu tích ta c n ti n hành theo 2 b c sau:

B c 1 (ph n thu n): Ch ng minh nh ng đi m có tính ch t thu c hình (H)

B c 2 (ph n đ o): Ch ng minh m i đi m thu c hình (H) đ u có tính ch t

Cho đ ng tròn (O) Hai dây cung AA', BB' vuông góc v i nhau t i P c

đ nh trong vòng tròn (C) là đ ng tròn qua P ti p xúc v i (O) t i A (C') là

đ ng tròn qua P ti p xúc v i (O) t i A' Tìm qu tích giao đi m th hai c a

Trang 18

18

Xét phép ngh ch đ o N c c P, ph ng tích kPP O Khi đó ta có:

(P, k)

N bi n (C) thành A'y, (C') thành Ax

 N bi n giao đi m I c a (C) và (C') thành M là giao đi m c a Axvà A'y

Mà M là c c c a đ ng th ng AA'đ i v i đ ng tròn (O), PAA'

M

 n m trên đ ng th ng đ i c c p c a đi m P đ i v i (O)

Suy ra t p h p đi m I là nh c a đ ng th ng p qua phép ngh ch đ o c c P,

V y, t p h p đi m I là đ ng tròn đ ng kính OP

Cách 2: Không dùng phép bi n hình

Thu n:

G i I là giao đi m th hai c a (C) và (C’), M là giao đi m c a các ti p tuy n

Ax, A’y c a (O), KOP sao cho PO.PK=PA.PA'

 Ta có: I, P, M th ng hàng

Th t v y: PI là tr c đ ng ph ng c a (C) và (C’),

Hình 2.1

Trang 19

PA PK POA ~ PA 'K OAP A 'KP

Mà OAA' là  đ ng tròn đ ng kính OM MKO 90 hay MK ฀    OK

P, O là đi m c đ nh  I thu c đ ng tròn đ ng kính OP

o l i:

V i I b t k thu c đ ng tròn đ ng kính OP Ta ch ng minh t n t i hai

đ ng tròn qua P và ti p xúc v i (O) t i hai đi m ,A A' sao cho A P A' th ng , ,hàng

Th t v y:

Trên đ ng th ng IP l y đi m M sao cho PI.PM p P O

B ng cách: + K qua P dây cung BB' ,

+ D ng IBB' , 

Trang 20

OM

PB.PB' PI.PM (Do OIP=90 OIM=90 I (OM))

p

Theo cách d ng đi m M thì PI.PM PB.PB'

 P thu c tr c đ ng ph ng AA' c a (O) và (OM) Hay ,A P A' th ng hàng ,

V y qu tích giao đi m th hai c a (C) và  C' là đ ng tròn đ ng kính OP

Nh n xét:

Ta th y bài toán v n đ c gi i n u ta không s d ng phép bi n hình Tuy

nhiên, ta s g p nhi u khó kh n trong quá trình gi i bài toán n u nh ta không d

đoán tr c đ c qu tích các c n tìm Khó kh n này s đ c kh c ph c n u ta dùng

phép ngh ch đ o đ tìm qu tích đó

Nh v y m c dù phép ngh ch đ o không đ c đ a vào ch ng trình toán

ph thông nh ng n u ta có m t s hi u bi t v nó thì c ng có tác d ng t t trong vi c

gi i toán hình h c, ch ng h n, ta có thêm m t cách d đoán qu tích c n tìm góp

ph n gi i quy t m t khâu quan tr ng trong vi c gi i bài toán qu tích

Ví d 2:

Cho ba đi m A, B, C th ng hàng và d là trung tr c c a AB M t đ ng

tròn thay đ i qua A, B c t d t i D, E Các đ ng th ng CD, CE c t (O) t i

đi m th hai l n l t là D', E' Tìm qu tích D', E'

Nh n xét:

Trang 21

d và (O) b ng 90o Do tính ch t b o t n góc c a hai đ ng cong c a phép ngh ch

đ o nênN(d)N(O) t c N (d)(O),C  d C N(d)

V y, nh c a đ ng th ng d qua phép ngh ch đ o trên đ ng tròn đi qua   C và

tr c giao v i (O)

G i J là giao đi m c a AC v i (CD'E') thì (ABJC)= 1

V y, qu tích D', E' là đ ng tròn đ ng kính CJ, v i J là đi m trên AC sao

cho (ABJC) 1

Ví d 3

Hình 2.2

Trang 22

22

Cho (O) và đi m A c đ nh n m ngoài (O) Các cát tuy n thay đ i AMN và

APQ c t (O) t i M, N, P, Q Gi s giao đi m th hai c a các c p đ ng tròn

(AMP) và (ANQ), (AMQ) và (ANP) th

M t khác, ta có A và I là hai đi m liên h p v i nhau đ i v i đ ng tròn (O)

 T p h p đi m I là đ ng đ i c c d c a đi m A đ i v i đ ng tròn (O)

 T p h p đi m B là nh c a d qua phép ngh ch đ o n (A,k)

(AMQ) ,(ANP) qua phép ngh ch đ o n (A,k) l n l t bi n thành các đ ng th ng

Cho (O), g i     C , C' là hai đ ng tròn đi qua tâm O và tr c giao v i

nhau và cùng ti p xúc v i (O), c t nhau t i giao đi m th hai là I.Tìm qu tích I khi

    C , C' thay đ i

Hình 2.3

Trang 23

Trang 24

Trang 25

N thì :

M 'và M là hai đi m t ng ng v i nhau

Theo đ bài, t p h p các đi m M là

A, B  ( O ' )

 ( O ' ) là đ ng tròn đ i x ng v i (O) qua đ ng th ng AB

Ví d 7

Cho hai đ ng tròn (O) và (O') ti p xúc ngoài t i A, d là tr c đ ng ph ng

c a (O) và ( O ' ) Ch ng minh r ng có hai đ ng tròn (I) và ( I') cùng đi qua m t

Hình 2.6

Trang 26

 Qua N , đ ng tròn (O) và ( O') bi n thành chính nó, các đ ng tròn qua M,

ti p xúc v i (O) và ( O ' ) bi n thành các ti p tuy n chung c a (O) và ( O ' ) là c và c '

V y, v i m i đi m M d, có hai đ ng tròn qua M, ti p xúc v i c (O) và (O')

là nh c a hai ti p tuy n chung c và c'

Ví d 8

Cho (C) là đ ng tròn tâm O bán kính R và I là đi m c đ nh sao cho

OI=2R G i (C1) và (C2) là hai đ ng tròn thay đ i qua I, ti p xúc v i (C) và tr c

giao v i nhau G i M là giao đi m th hai c a (C1) và (C2)

Tìm qu tích M

Gi i

Hình 2.7

Trang 27

: (C ) P' x (C ) Q' y

N

Do (C1) và (C2) tr c giao v i nhau, theo tính

ch t b o t n góc gi a hai đ ng cong c a phép

ngh ch đ o thì P'xQ'y

G i M'là giao đi m c a P'x và Q'y thì M',

M là hai đi m t ng ng v i nhau trong phép

Trang 28

Trong không gian cho m t ph ng (P) và đ ng tròn (S) n m trên m t ph ng

(P), O là đi m n m ngoài (P) G i H là hình chi u vuông góc c a O trên (P) V i

m i đi m M thu c đ ng tròn (S) ta ký hi u M ' là hình chi u vuông góc c a H

xu ng OM Tìm t p h p đi m M ', khi M bi n thiên trên (S)

Trang 29

Cho hai m t c u    S 1  O ,R1 1và   S 2  O ,R2 2 n m ngoài nhau Tìm

t p h p các đi m S sao cho phép ngh ch đ o tâm S bi n  O ,R1 1 thành chính nó và

P

N bi n (S2) =(O2,R2) thành chính nó  

2

S(S ) k (2)

Trang 30

Trong không gian cho hình l p ph ng ABCD.A 'B'C'D' G i (P) là m t

ph ng qua A và vuông góc v i AC', M là đi m thay đ i trên (P) Tìm t p h p

nh ng đi m M ' sao cho A'M.A'M' 1

Trang 31

V y, t p h p nh ng đi m M ' là m t c u có tâm I là đi m đ i x ng c a tâm

K c a hình h p ABCD.A 'B'C'D' qua m t ph ng ( A 'B'C'D' ) và đi qua A '

2.2.3.Bài t p t luy n

Bài 1:

Cho  O,R  và (O',R' ) tr c giao c t nhau t i hai đi m A, B Gi s P, Q

th t là nh c a đi m M n m trên đ ng th ng AB qua  2

Trong m t ph ng cho hai đ ng tròn b ng nhau (C) và ( C' ) c t nhau t i hai

đi m A, B Xét c p đ ng tròn (O) và (O') thay đ i ti p xúc v i nhau và ti p xúc

v i c (C) và (C' ) Tìm qu tích ti p đi m M c a (O) và (O')

Bài 3:

Cho đ ng tròn (C) và A là đi m c đ nh Tìm t p h p đi m B sao cho hai

đ ng tròn qua A và B cùng ti p xúc v i (C) s tr c giao v i nhau

Trang 32

32

Bài 4:

Cho (O) và hai dây cung AB, CD vuông góc v i nhau Gi s P là đi m di

đ ng trên đ ng tròn Ti p tuy n t i P c a (O) c t AB, CD th t t i I, J Tr c đ ng

ph ng c a (O) và (OIJ) c t AB, CD th t t i E, F Tìm t p h p trung đi m M c a

EF

Bài 5:

Cho hai đ ng tròn (O) và (O') c t nhau t i I ng tròn (C) qua I c t (O)

và (O') th t t i các đi m th hai là A, A ' ng th ng A ' I c t ( O') t i B',

đ ng th ng AI c t (O) t i B

Tìm t p h p giao đi m th hai c a hai đ ng tròn ( IAA' ) và ( IBB' )

Bài 6:

Cho đ ng tròn tâm O đ ng kính AB Hai đi m M, M 'di đ ng trên ti p

tuy n t i A sao cho AM.AM'= k- s không đ i G i giao đi m th hai c a BM,

BM ' v i (O) th t là N, N ' Các ti p tuy n xu t phát t M, M 'v i (O) có ti p

đi m l n l t là T, T'

a Ch ng minh NN' đi qua đi m c đ nh

b Ch ng minh TT' đi qua đi m c đ nh

c Tìm t p h p giao đi m c a các ti p tuy n th hai qua M, M 'c a (O)

Bài 7:

Cho hai đ ng tròn (C) , (C' ) và đi m O Tam giác ABC có A, B  (C),

C  (C' ) sao cho O là chân đ ng cao h t C xu ng c nh AB

a Tìm qu tích tr c tâm c a tam giác ABC

b Ch n (C) , ( C' ) th nào đ qu tích trên là (C) ?

c Ch n d ki n c a bài toán th nào đ qu tích trên là ( C' ) ?

Bài 8:

Cho hai đ ng th ng a, b vuông góc v i nhau và đi m A n m ngoài c hai

đ ng th ng đó Góc vuông xAy quay quanh A c t a M, M ' i m B n m trên b

nh ng không n m trên a

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	1,01 MB