Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán và bài toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học người hướng dẫn khoa học GV... Khóa luận tốt nghiệp

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

1

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Khoa toán

**********

đinh thị quỳnh liên

phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

Hà nội – 2009

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

và bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Hình học

người hướng dẫn khoa học

GV đinh văn thủy

Hà nội – 2009

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

3

Lời cảm ơn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được

sự quan tâm, giúp đỡ về vật chất, tinh thần của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình

học nói riêng và trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 nói chung cùng

với sự hỗ trợ và giúp đỡ của các bạn sinh viên

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Đinh Văn Thuỷ, người

đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành được khóa luận

này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em

trình bày trong khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu xót Em kính mong nhận

được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để

khoá luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Đinh Thị Quỳnh Liên

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

4

Lời cam đoan

Em xin cam đoan các vấn đề em trình bày trong khoá luận này là kết quả

nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thuỷ,

không trùng với tác giả khác

Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Đinh Thị Quỳnh Liên

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

5

Mục lục

Phần 1:Mở đầu 6

1 Lý do chọn đề tài 6

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 6

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 7

4 Phương pháp nghiên cứu 7

Phần 2: Nội dung 8

Chương 1:Phép nghịch đảo 8

1.1 Các định nghĩa 8

1.1.1 Không gian bảo giác 8

1.1.2 Phép nghịch đảo 8

1.2 Các tính chất 8

1.3 Các định lý 9

1.4 Phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc 15

Chương 2:Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích 17

2.1 Bài toán quỹ tích 17

2.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo 17

2.2.1 Phương pháp chung 17

2.2.2 Các ví dụ minh hoạ 17

2.2.3.Bài tập tự luyện 31

2.2.4 Hướng dẫn 34

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

6

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán Việc giải các

bài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó có những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy

tính sáng tạo và niềm say mê đối với môn học Mỗi bài tập hình học có thể giải

bằng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ,

phương pháp vectơ và phương pháp biến hình

Trong nhiều trường hợp, phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép giải

hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh, bài toán quỹ

tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán

Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến hình:

phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự Phép

nghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ thông, chỉ được đề

xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi Phép nghịch đảo với

những tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải quyết mới trong một số lớp bài

toán của hình học

Để góp phần làm rõ tính ưu việt của việc sử dụng phép biến hình vào giải các

bài toán của hình học, tôi đi sâu nghiên cứu về lý thuyết phép biến hình và ứng

dụng của phép biến hình để giải quyết các bài toán hình học

Trong khuôn khổ một khoá luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạn

nên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải các bài

toán quỹ tích

Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng của nó

trong việc giải bài toán quỹ tích

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

7

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh hoạ và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng

phương pháp biến hình vào giải bài toán quỹ tích

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo

- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo trong việc giải bài toán quỹ

tích trong mặt phẳng và không gian

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có

liên quan

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

8

Phần 2: Nội dung

1.1 Các định nghĩa

1.1.1 Không gian bảo giác

Không gian Enn  2,3 bổ sung phần tử  (điểm vô cực) gọi là không gian

bảo giác Bn

Trong không gian bảo giác Bn, mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều đi qua

điểm 

1.1.2 Phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O cố định và số thực k0 Phép

biến hình n : B  Bn sao cho:

Kí hiệu k

O

n hoặc n  O,k  Nhận xét:

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Nếu phương tích nghịch đảo k0 thì phép nghịch đảo n  O,k  có tập các

điểm bất động là siêu cầu tâm O, bán kính k (gọi là siêu cầu nghịch đảo)

Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo n  O,k  không có

điểm bất động

1.3 Các định lý

1.3.1.Định lý 1

Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu

đi qua cực nghịch đảo và biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo thành siêu phẳng

không đi qua cực nghịch đảo

Chứng minh:

Ta chứng minh trong E2.Việc chứng minh trong E3hoàn toàn tương tự

+ Phép nghịch đảo biến đường thẳng

không đi qua cực nghịch đảo thành

đường tròn đi qua cực nghịch đảo

Giả sử trong E2 cho phép nghịch đảo

M ' n M Khi đó: OM.OM 'OH.OH'k

Tứ giác MM ' N 'H là tứ giác nội tiếp

H' M ',MM ' H'H,MH 90

Hình 1.1

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

10

Do OH' cố định  M ' nằm trên đường tròn đường kính OH'

Ngược lại lấy điểm N ' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH',

+ Do tính chất: phép nghịch đảo là phép biến hình đối hợp nên phép nghịch

đảo biến đường tròn đi qua cực nghịch đảo đường thẳng không đi qua cực nghịch

đảo

1.3.2 Định lý 2

Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành siêu cầu

không đi qua cực

không đi qua O   C có tâm I, OI cắt   C tại A, B

Gọi A ', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo n (O,k) và   C'

là đường tròn đường kính A 'B' Ta chứng minh   C'    n    C 

• M    C , M '  n (M)

Nếu M A hoặc B thì M 'trùngA ' hoặc B', tức M '   A 'B' 

Nếu M    A,B thì ta có tứ giác AMM 'A ' là tứ giác nội tiếp

Hình 1.2

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

N n (N') nằm trên đường tròn đường kính AB

Vậy   N'   C' đều có N    C sao cho n (N)  N' (2)

Phép nghịch đảo biến siêu phẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính nó

Định lý này được suy ra ngay từ định nghĩa và tính chất

1.3.4 Định lý 4

Điều kiện cần và đủ để 2 điểm M, N tương ứng với nhau trong phép nghịch

đảo n (O,k) k   0  là có n siêu cầu đi qua M và N, trực giao với siêu cầu

nghịch đảo

Chứng minh:

Ta chứng minh trong E2:

• Điều kiện cần:

Giả sử cho phép nghịch đảo n (O,k) k   0 ,    C là đường tròn nghịch đảo

và M, M ' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo trên Ta phải chứng

minh có hai đường tròn     C , C1 2 trực giao với   C

Gọi   C' là đường tròn bất kỳ qua M và M '

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

 thuộc trục đẳng phương MM ' của   C1 và   C2 và OM.OM 'k

M, M ' là hai điểm tương ứng với nhau qua phép nghịch đảo N (O,k)

Dễ thấy k0 vì O là điểm nằm ngoài hai đường tròn   C vµ C1  2

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Cho phép nghịch đảo N(O,k) biến đường cong   C thành đường cong

  C' Nếu hai điểm A, A ' là hai

điểm tương ứng trên   C ,   C' và

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

14

tại đó chúng có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực

của đoạn thẳng AA '

Chứng minh bổ đề:

Ta lấy trên   C và   C' hai điểm tương ứng M, M ' khá gần A và A ' sao

cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần tới A Khi đó bốn điểm

A, A ', M, M ' luôn thuộc một đường tròn

Theo hệ thức:

 k MA

M 'A '

OA.OMthì khi M dần tới A thì M ' tiến dần tới A ' Do đó các cát tuyến MA, M 'A ' của

các đường cong   C ,   C' đến trùng với các tiếp tuyến At, A ' t ' của chúng ở

A, A '

Gọi   K là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AA ' M ' M, ở vị trí A, A ',   K

lần lượt tiếp xúc với   C ,   C' Khi đó các tiếp tuyến At, A 't ' đồng thời là tiếp

tuyến của   K tại A, A ' nên các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

15

Theo bổ đề trên, các tiếp tuyến At của   C và A ' t ' của   C' đối xứng

nhau qua trung trực của AA ', các tiếp tuyến Au của   S và A 'u' của   S' đối

xứng nhau qua trung trực của AA '

Vậy  At,Au     A 't ',A 'u' 

1.3.7 Định lý 7

Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực N (O,k) và N '(O,k ') là phép vị tự

tâm O, tỉ số k '

k Chứng minh:

Xét phép nghịch đảo N(O, k) trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy có gốc

toạ độ trùng với cực của phép nghịch đảo

M(x, y)là điểm bất kỳ và M '(x ', y ') là ảnh của M qua phép nghịch đảo đó

Khi đó, theo định nghĩa ta có:

OM.OM' k OM OM' O,M,M' k

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

16

1.4.2 Trong E3

Xét phép nghịch đảoN (O, k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz có gốc

toạ độ trùng với cực của phép nghịch đảo

Điểm M = (x, y,z) bất kỳ Ta kí hiệu M' = (x', y', z') là ảnh của M qua phép

nghịch đảo N(O, k) Theo định nghĩa, ta có:

O, M, M'

O, M, M'

.x' y' z'

OM.OM' k OM OM'  k

Hệ phương trình (**) xác định một phép nghịch đảo trong hệ toạ độ Đềcác

vuông góc, có cực trùng với gốc toạ độ và phương tích là k(k  0)

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

17

Chương 2:Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

2.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm có tính

chất α cho trước Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm

hoặc vô hạn điểm

Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo 2 bước sau:

Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất α thuộc hình (H)

Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α

2.2 Giải bài toán quỹ tích nhờ phép nghịch đảo

2.2.1 Phương pháp chung

Để tìm tập hợp những điểm Mcó tính chất α ta chọn phép nghịch đảo thích

hợp biến mỗi điểm Mcó tính chất α thành điểm M' có tính chất α' và quỹ tích

những điểm M' phải tìm được dễ dàng Từ đó suy ra quỹ tích của những điểm Mcó

tính chất α là ảnh của quỹ tích những điểm M'có tính chất α' qua phép nghịch đảo

đã chọn ở trên (Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo)

2.2.2 Các ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O) Hai dây cung AA', BB' vuông góc với nhau tại P cố

định trong vòng tròn (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A (C') là

đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A' Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của

(C) và (C')

Giải

Cách 1: Dùng phép biến hình

Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C'), Ax, A'y lần lượt là tiếp tuyến

tại A, A' của (O)

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

18

Xét phép nghịch đảo N cực P, phương tích kPP O Khi đó ta có:

(P, k)

N biến (C) thành A'y, (C') thành Ax

 N biến giao điểm I của (C) và (C') thành M là giao điểm của Axvà A'y

Mà M là cực của đường thẳng AA' đối với đường tròn (O), PAA'

M

 nằm trên đường thẳng đối cực p của điểm P đối với (O)

Suy ra tập hợp điểm I là ảnh của đường thẳng p qua phép nghịch đảo cực P,

Vậy, tập hợp điểm I là đường tròn đường kính OP

Cách 2: Không dùng phép biến hình

Thuận:

Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), M là giao điểm của các tiếp tuyến

Ax, A’y của (O), KOP sao cho PO.PK=PA.PA'

 Ta có: I, P, M thẳng hàng

Thật vậy: PI là trục đẳng phương của (C) và (C’),

Hình 2.1

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

PA PK POA ~ PA 'K OAP A 'KP

Mà OAA' là đường tròn đường kính OM  MKO 90 hay MK     OK

P, O là điểm cố định  I thuộc đường tròn đường kính OP

Đảo lại:

Với I bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OP Ta chứng minh tồn tại hai

đường tròn qua P và tiếp xúc với (O) tại hai điểm ,A A' sao cho A P A' thẳng , ,

hàng

Thật vậy:

Trên đường thẳng IP lấy điểm M sao cho PI.PM p P O

Bằng cách: + Kẻ qua P dây cung BB' ,

+ Dựng IBB' , 

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

20

+ Đường thẳng IP cắt IBB' tại giao điểm thứ 2 là M 

thì M là điểm cần dựng

Dựng đường tròn đường kính OM, đường tròn này cắt (O) tại hai điểm ,A A'

(C) là đường tròn (API),  C' là đường tròn A'PI 

OM

PB.PB' PI.PM (Do OIP=90 OIM=90 I (OM))

p

p

Theo cách dựng điểm M thì PI.PM PB.PB'

 P thuộc trục đẳng phương AA' của (O) và (OM) Hay ,A P A' thẳng hàng ,

Vậy quỹ tích giao điểm thứ hai của (C) và  C' là đường tròn đường kính OP

Nhận xét:

Ta thấy bài toán vẫn được giải nếu ta không sử dụng phép biến hình Tuy

nhiên, ta sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình giải bài toán nếu như ta không dự

đoán trước được quỹ tích các cần tìm Khó khăn này sẽ được khắc phục nếu ta dùng

phép nghịch đảo để tìm quỹ tích đó

Như vậy mặc dù phép nghịch đảo không được đưa vào chương trình toán

phổ thông nhưng nếu ta có một số hiểu biết về nó thì cũng có tác dụng tốt trong việc

giải toán hình học, chẳng hạn, ta có thêm một cách dự đoán quỹ tích cần tìm góp

phần giải quyết một khâu quan trọng trong việc giải bài toán quỹ tích

Ví dụ 2:

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là trung trực của AB Một đường

tròn thay đổi qua A, B cắt d tại D, E Các đường thẳng CD, CE cắt (O) tại

điểm thứ hai lần lượt là D', E' Tìm quỹ tích D', E'

Nhận xét:

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

21

Ta thấy PC O = CD.CD' = CE.CE' = CA.CB

C là điểm cố định cho trước

CA.CB là số không đổi và khác 0

Quỹ tích D, E là trung trực của đoạn thẳng AB

Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C, k) với k = CA.CB thì D', E' lần

lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo

Quỹ tích D', E' là ảnh của đường thẳng d qua N (C, k)

Ta thấy (O) là đường tròn bất động đối vớiN (C, k), góc giữa đường thẳng

d và (O) bằng 90o Do tính chất bảo tồn góc của hai đường cong của phép nghịch

đảo nênN(d)N(O) tức N (d)(O),C  d C N(d)

Vậy, ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo trên đường tròn đi qua   C và

trực giao với (O)

Gọi J là giao điểm của AC với (CD'E') thì (ABJC)= 1

Vậy, quỹ tích D', E' là đường tròn đường kính CJ, với J là điểm trên AC sao

cho (ABJC) 1

Ví dụ 3

Hình 2.2

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

22

Cho (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O) Các cát tuyến thay đổi AMN và

APQ cắt (O) tại M, N, P, Q Giả sử giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn

(AMP) và (ANQ), (AMQ) và (ANP) thứ

(AMP) và (ANQ) lần lượt biến thành các đường thẳng NQ và MP

Gọi I là giao điểm của MP và NQ thì I và B là hai điểm tương ứng với nhau

trong phép nghịch đảo đã chọn

Mặt khác, ta có A và I là hai điểm liên hợp với nhau đối với đường tròn (O)

 Tập hợp điểm I là đường đối cực d của điểm A đối với đường tròn (O)

 Tập hợp điểm B là ảnh của d qua phép nghịch đảo n (A,k)

(AMQ) ,(ANP) qua phép nghịch đảo n (A,k) lần lượt biến thành các đường thẳng

NP, MQ

Gọi J là giao điểm của NP và MQ thì J và C là hai điểm tương ứng với nhau

trong phép nghịch đảo n (A,k)

Mặt khác, A và J là hai điểm liên hợp đối với đường tròn (O)

 Tập hợp J là đường đối cực của điểm A đối với đường tròn (O)

 Tập hợp C là ảnh của đường thẳng d qua n (A,k) là đường tròn đường kính

OA

Ví dụ 4:

Cho (O), gọi     C , C' là hai đường tròn đi qua tâm O và trực giao với

nhau và cùng tiếp xúc với (O), cắt nhau tại giao điểm thứ hai là I.Tìm quỹ tích I khi

    C , C' thay đổi

Hình 2.3

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

23

Giải

Nhận xét:

Do hình vẽ có nhiều đường tròn nên ta có thể sử dụng phép nghịch đảo để

đưa về hình vẽ đơn giản hơn

Gọi R là bán kính của (O) Chọn phép

nghịch đảo cực là O, phương tích k = -R2, khi

đó (O) có ảnh là chính nó,     C , C'

lần lượt biến thành các đường thẳng t1, t2 Do

tính chất bảo tồn góc giữa hai đường cong của

phép nghịch đảo  t1, t2 là hai tiếp tuyến của

Cho ba điểm P, A, B thẳng hàng theo thứ tự, đường thẳng d quay quanh P

Gọi (C1), (C2) là các đường tròn qua A, B và tiếp xúc với d tại M1, M2

a Tìm tập hợp các điểm N1, N2 lần lượt là giao điểm của (AM1M2) với các

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

Giả sử A ' = N1(A) thì: PA.PA'   PA.PB

 A 'là điểm đối xứng của B qua P

Mặt khác, tứ giác AA ' M M là tứ giác nội tiếp 1 2  A ' AM M 1 2

Ví dụ 6

Cho (O) và hai điểm A,B cố định trên nó Giả sử điểm M di động trên (O)

Gọi (C1), (C2) thứ tự là các đường tròn qua M tiếp xúc với AB lần lượt tại A và B

Gọi M ' là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2)

Hình 2.5

Khóa luận tốt nghiệp Đinh Thị Quỳnh Liên _K31A SPToán

4 Xét phép nghịch đảo  

 

 

2

AB I, 4

M 'và M là hai điểm tương ứng với nhau

Theo đề bài, tập hợp các điểm M là

đường tròn (O)

 Tập hợp các điểm M ' là ảnh của (O)

qua phép nghịch đảo cực I phương tích

4Mặt khác A, B cũng là hai điểm tương ứng trong phép nghịch đảo  

2

AB I, 4N

A, B  ( O ' )

 ( O ' ) là đường tròn đối xứng với (O) qua đường thẳng AB

Ví dụ 7

Cho hai đường tròn (O) và ( O ' ) tiếp xúc ngoài tại A, d là trục đẳng phương

của (O) và ( O ' ) Chứng minh rằng có hai đường tròn (I) và ( I ') cùng đi qua một

Hình 2.6