Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình nghiên cứu đề tài: " Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích" tôi đã nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong Tổ bộ môn hình học trường ĐHSP Hà Nội 2.. Trong nh

trờng đại học s phạm hà nội 2

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài: " Phép nghịch đảo với bài toán quỹ tích" tôi đã

nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô trong Tổ bộ môn hình học trường ĐHSP Hà Nội 2 Tác giả khóa luận xin gửi tới các thầy cô lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất, đặc biệt là thầy giáo Đinh Văn Thủy người đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

Tác giả khóa luận

Ngô Thị Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy Đinh Văn Thủy, không trùng với các tác giả khác.

Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012

Tác giả khóa luận

Ngô Thị Thủy

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọ đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 1

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO 3

1.1 Các định nghĩa 3

1.1.1 Không gian bảo giác 3

1.1.2 Phép nghịch đảo 3

1.2 Các tính chất 3

1.3 Các định lý 4

1.4 Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc 10

CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 12

2.1 Bài toán quỹ tích 12

2.2 Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích 12

2.3 Các ví dụ minh họa 12

2.4 Bài tập tự luyện 27

2.5 Hướng dẫn 30

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Hình học là môn học hấp dẫn thuhút nhiều học sinh yêu toán Việc giải cácbài tập, tìm ra nhiều cách giải, trong đó cónhững cách giải hay, độc đáo sẽ phát huytính sáng tạo và niềm say mê đối với mônhọc Mỗi bài tập hình học có thể giải bằngnhiều phương pháp khác nhau: phươngpháp tổng hợp, phương pháp tọa độ,phương pháp vectơ và phương pháp biếnhình

Trong nhiều trường hợp, phép biếnhình là công cụ hữu hiệu cho phép giải hợp

lý và ngắn gọn các bài toán của hình họcnhư bài toán chứng minh, bài toán quỹ tích,bài toán dựng hình và bài toán tính toán.Trong chương trình toán phổ thông,học sinh được học các phép biến hình:phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm,phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự Phépnghịch đảo là phép biến hình không đưavào chương trình phổ thông, chỉ được đềxuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡnghọc sinh giỏi Phép nghịch đảo với nhữngtính chất khác biệt của nó đưa đến hướnggiải quyết mới trong một số lớp bài toáncủa hình học

Để góp phần làm rõ tính ưu việt củaviệc sử dụng phép nghịch đảo và giải các5

bài toán của hình

học, tôi đi vào

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập tự luyện thể hiện việc sử dụng phép nghịch đảo vào giải bài toán quỹ tích.

3.Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo.

- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và không gian

4.Phương pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham khảo có liên quan

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: PHÉP NGHỊCH ĐẢO

không gian bảo giác Bn

Trong không gian bảo giác Bn

qua điểm ∞

1.1.2 Phép nghịch đảo

Trong không gian bảo giác Bn

mỗi đường thẳng hay mặt phẳng đều đi

thì N được gọi là phép nghịch đảo cực O , phương tích k

Kí hiệu N k hoặc N (O,k).

Nhận xét:

N (O,k) = Xo° N (O,-k) trong

đó Xo

1.2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất 1

O

là phép đối xứng tâm O.Phép nghịch đảo là biến hình đối hợp : N 2 là phép đồng nhất.

1.2.2 Tính chất 2

Nếu M' là ảnh của M qua N (O,k) thì O, M, M' thẳng hàng

Nếu M, O, N không thẳng hàng M', N' lần lượt là ảnh của M, N qua

N (O,k) thì tứ giác MM'N'N là tứ giác nội tiếp.

1.2.3 Tính chất 3

Nếu phương tích nghịch đảo k > 0 thì phép nghịch đảo N (O,k) có tập

các điểm bất động là siêu cầu tâm O , bán kính

đảo)

( gọi là siêu cầu nghịch

Nếu phương tích nghịch đảo k < 0 thì phép nghịch đảo N (O,k)

Chứng minh:

tương tự

Ta chứng minh trong E2 Việc chứng minh trong E3 hoàn toàn

+) Phép nghịch đảo biến đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo thành đường tròn đi qua cực nghịch đảo

Giả sử trong E2

đó không đi qua O

cho phép nghịch đảo N (O,k) và d là đường thẳng nào

Hạ OH ⊥ d, H∈d, H' = N (H)

Xét M bất kỳ thuộc d và M' = N (M).

Khi đó OM.OM ' =OH.OH ' = k

⇒ Tứ giác MM'N'H là tứ giác nội tiếp

⇒ ( H'M', MM') = (H'H, MH) = 90ο

Do OH' cố định ⇒ M' nằm trên đường tròn đường khính OH

Ngược lại, lấy điểm N' bất kỳ trên đường tròn đường kính OH',

N = N (N') , tương tự như trên ta có :

Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) và (C) là đường tròn không đi

qua O (C) có tâm I, OI cắt (C) tại A,B

Gọi A', B' thứ tự là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo N (O,k) và (C')

là đường tròn đường kính A'B' Ta chứng minh (C') = N [(C)]

+) M ∈ (C), M' = N (M).

Nếu M ≡ A hoặc B thì M' trùng A' hoặc B' tức M' ∈

(A'B') Nếu M ∉ {A, B} thì ta có tứ giác AMM'A' là

tứ giác nội tiếp

⇒ A□MO = A□A 'M '

Tứ giác BMM'B' nội tiếp ⇒ A□'B'M ' = B□MM '

Do M ∈ (C) ⇒ A□MB = 90ο tức M' ∈ (C') (1)

+) ∀N' ∈ (C') đều có A, B là ảnh của A', B' qua phép nghịchđảo N.

⇒A'B' = |k|

ABOA.OB

OB OA

= |kOA.OB| BA

+) Nếu A, B, O không thẳng hàng Khi đó ta có: ABB'A' là tứ giác nội tiếp.

− R

P (O

1

Chứng minh:

Ta chứng minh trong

E2 :

+) Điều kiện cần :

Giả sử cho phép nghịch đảo N (O,k) (k > 0), (C) là đường trònnghịch đảo và M, M' là 2 điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảotrên Ta phải chứng minh có hai đường tròn ( C1 ), ( C2 ) trực giao với (C).Gọi (C') là đường tròn bất kỳ qua M và M'

Cho phép nghịch đảo N (O,k) biến đường cong (C) thành đường cong

(C') Nếu hai điểm A, A' là hai điểm tương ứng trên (C), (C') và tại đó chúng

có tiếp tuyến thì các tiếp tuyến này đối xứng với nhau qua trung trực của đoạnthẳng AA'.

k MA

+) Chứng minh bổ đề:

Ta lấy trên (C) và (C')

hai điểm tương ứng M , M' khá

gần A và A' sao cho khoảng cách

OM không bị triệt tiêu khi M tiến

dần tới A Khi đó bốn điểm A, A',

M, M' luôn thuộc một đường tròn

Theo bổ đề trên, các tiếp

tuyến At của (C) và A't' của (C')

đối xứng nhau qua trung trực của AA', các tiếp tuyến Au của (S) và A'u' của (S') đối xứng nhau qua trung trực của AA'

Vậy (At,Au) = −(A't',A'u')

1.3.7 Định lý 7

Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực N (O,k) và N '(O,k') là phép vị

tự tâm O, tỉ số k '

kChứng minh:

Do M bất kỳ trong không gian En ⇒  N ' ° N = VO,  .

1.4 Phép nghịch đảo trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc

1.4.1 Trong E1

Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy có

gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo

M(x,y) là điểm bất kỳ và M'(x',y') là ảnh của M qua phép nghịch đảo

đó Khi đó, theo định nghĩa ta có:

Xét phép nghịch đảo N (O,k) trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz có

gốc tọa độ trùng với cực của phép nghịch đảo

Điểm M = (x,y,z) bất kỳ Ta ký hiệu M' = (x',y',z') là ảnh của M qua phép nghịch đảo N (O,k) Theo định nghĩa, ta có:

21

CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH 2.1 Bài toán quỹ tích

Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích (hay tập hợp) những điểm

có tính chất α cho trước Quỹ tích này rất đa dạng: có thể là tập rỗng,tập hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm

Thông thường, để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo hai bước:Bước 1 (phần thuận): Chứng minh những điểm có tính chất αthuộc hình (H)

Bước 2 (phần đảo): Chứng minh mọi điểm thuộc hình (H) đều cótính chất α

2.2 Phương pháp chung để giải bài toán quỹ tích

α ' qua phép nghịch đảo đã chọn ở trên (Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo)

2.3 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O) Hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại P

cố định trong vòng tròn (C) là đường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A (C') làđường tròn qua P tiếp xúc với (O) tại A’ Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của(C) và (C’)

Giải

Cách 1: Dùng phép biến hình.

Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), Ax, A’y lần lượt là tiếp tuyến tại A, A’ của (O).

Xét phép nghịch đảo của N cực P, phương tích P ( P

điểm của Ax và A’y mà M là cực

của đường thẳng AA’ đối với

P ( P

(O)) + OP.KP = 0Đặt K’ là ảnh của K qua phép nghịch đảo đã chọn, ta có:

PK.PK ' = P ( P (O))

⇒ K’ trùng với O

Vậy, tập hợp điểm I là đường tròn đường kính OP

Cách 2: Không dùng phép biến hình.

Gọi I là giao điểm thứ hai của (C) và (C’), M là giao điểm của các tiếp

tuyến Ax, A’y của (O) , K

Vậy P, I, M thẳng hàng

+) Ta chứng minh OK ⊥ KM

Thật vậy: Theo cách lấy đểm K thì: PO.PK = PA.PA '

⇒ PO.PK = PA.PA ' ⇒ PO = PA'

PA PK

⇒ ∆POA □ ∆PA 'K ⇒ O□AP = A□'KP

Mà (OAA’) là đường tròn đường kính OM

P, O là điểm cố định ⇒ I thuộc đường tròn

đường kính OP Đảo lại:

Với I bất kỳ thuộc đường tròn đường kính OP Ta chứng minh tồn tạihai đường tròn qua P và tiếp xúc với (O) tại hai điểm A, A’ sao cho A, P, A’thẳng hàng.

Thật vậy:

Trên đường thẳng IP lấy điểm M sao cho PI.PM = P ( P

(O))Bằng cách: + Kẻ qua P dây cung BB’

Theo cách dựng điểm M thì PI.PM = PB.PB'

⇒ P thuộc trục đẳng phương AA’ của (O) và (OM) Hay

không dự đoán trước được quỹ tích cần tìm Khó khăn này sẽ được khắc phụcnếu ta dùng phép nghịch đảo để tìm quỹ tích đó.

Như vậy mặc dù phép nghịch đảo không được đưa vào chương trìnhtoán phổ thông nhưng nếu ta có một số hiểu biết về nó thì cũng có tác dụngtốt trong việc giải toán hình học, chẳng hạn, ta có thêm một cách dự đoán quỹtích cần tìm góp phần giải quyết một khâu quan trọng trong việc giải bài toánquỹ tích

Do hình vẽ có nhiều đường tròn nên ta có thể sử dụng phép nghịch đảo

để đưa về hình vẽ đơn giản hơn

Gọi R là bán kính của (O)

Chọn phép nghịch đảo cực là O, phương

tích k = -R2, khi đó (O) có ảnh là chính nó,

(C), (C’) lần lượt biến thành các đường

thẳng t1, t2 Do tính chất bảo tồn góc giữa

hai đường cong của phép nghịch đảo

⇒ t1, t2 là hai tiếp tuyến

⇒ Qua N , đường

tròn (O) và (O’) biến thành chính

nó, các đường tròn qua M tiếp

xúc với (O) và (O’) biến thành

các tiếp tuyến chung của

(O) và (O’) là c và c’ Vậy, với mỗi

điểm M ∈ d, có hai đường tròn

qua M, tiếp xúc với cả (O) và (O’)

là ảnh của hai tiếp tuyến chung c và

c’ của

hai đường tròn (O) và (O’) qua phép nghịch đảo N.

+) Quỹ tích giao điểm thứ hai của (I) và (I’)

Gọi N’ là giao điểm của 2 tiếp tuyến chung c và c’ của (O) và (O’), và

N là ảnh của N’ qua phép nghịch đảo N đã chọn , tức ta có:

MA2 = MN.MN '

⇒

AN ⊥ MN ' hay A□NN ' = 90ο

(1)

Giao điểm thứ hai của (I) và (I’) là ảnh của N’ qua phép nghịch đảo

N (M, MA2 ).

Theo (1): A□NN '

= 90°

⇒ Tập hợp điểm N là đường tròn đường kính

Ví dụ 4:

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và d là trung trực của AB Một đườngtròn thay đổi qua A, B cắt d tại D, E Các đường thẳng CD, CE cắt (O) tạiđiểm thứ hai lần lượt là D’, E’.Tìm quỹ tích D’, E’

Nhận xét

Ta thấy P (C

(O)) = CD.CD' = CE.CE' = CA.CB

C là điểm cố định cho trước

CA.CB là số không đổi và khác 0

Quỹ tích D, E là trung trực của đoạn thẳng AB

Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C,k) với k =

Ta thấy (O) là đường tròn bất động

đối với N (C, k), góc giữa đường thẳng d

và (O) bằng 900 Do tính chất bảo tồn góccủa hai đường cong của phép nghịch đảo

nên N (d) ⊥ N (O) tức N (d) ⊥ (O), C∉d ⇒ C∈N

(d)

Vậy ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo trên là đường tròn điqua (C) và trực giao với (O)

Gọi J là giao điểm của AC với (CD’E’) thì (ABJC) = −1

Vậy, quỹ tích D’, E’ là đường tròn đường kính CJ, với J là điểm trên AC sao cho (ABJC) = −1

⇒ Tập hợp các điểm M’ là ảnh của (O) qua phép nghịch đảo cực I,

AB2

phương tích

4

Cho ba điểm P, A, B thẳng hàng theo thứ tự, đường thẳng d quay quanh

P Gọi (C1), (C2) là các đường tròn qua A, B và tiếp xúc với d tại M1, M2

a Tìm tập hợp các điểm N1, N2 lần lượt là giao điểm của (AM1M2) với các đường thẳng BM1, BM2

b Tìm tập hợp các điểm Q là giao điểm thứ hai của M1M2 và N1N2 Giải

Hiển nhiên: PM1.PM2 = −PA.PB = k

Giả sử A'= N 1(A) thì: PA.PA ' = −PA.PB

⇒ A' là điểm đối xứng của B qua P

Mặt khác, tứ giác AA'M1M2 là tứ giác nội tiếp ⇒

 Q 

= QM.QM

= QN QN

(C)) = P

(Q (C'))

1 2

Tìm quỹ tích điểm B,C.

Giải

Xét phép nghịch đảo cực A, phương tích k = P (A

(O)) thì M và

M, P và Q là hai cặp điểm tương ứng với nhau

Khi đó:

(AMP) và (ANQ) lần lượt biến thành các đường thẳng NQ và MP

Gọi I là giao điểm của MP và NQ thì I và B là hai điểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo đã chọn

Mặt khác, ta có A và I là hai điểm liên hợp với nhau đối với đườngtròn (O)

(AMQ), (ANP) qua phép nghịch

đảo N (A,k) lần lượt biến thành các

đường thẳng NP, MQ

Gọi J là giao điểm của NP và MQ thì J và C là hai diểm tương ứng với nhau trong phép nghịch đảo N (A,k)

Mặt khác, A và J là hai điểm liên hợp đối với đường tròn (O)

⇒ Tập hợp J là đường đối cực của điểm A đối với đường tròn (O)

⇒ Tập hợp C là ảnh của đường thẳng d qua N (A.k) là đường tròn đường kính OA

Ví dụ 8:

Cho (C) là đường tròn tâm O bán kính R và I là điểm cố định sao cho

OI = 2R Gọi (C1) và (C2) là hai đường tròn thay đổi qua I, tiếp xúc với (C) vàtrực giao với nhau Gọi M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2)

Tìm quĩ tích M

GiảiXép phép nghịch đảo N cực I, phương tích P

(

I(O)) = OI2 − R 2

= 3R2

Khi đó, (O,R) có ảnh là chính nó qua phép nghịch đảo N

Gọi P, Q lần lượt là tiếp điểm của (C1), (C2) với (O,R), P', Q' thứ tự làảnh của P, Q qua phép nghịch đảo N , P'x, Q'y là các tiếp tuyến của (O,R) tại

P', Q'

Khi đó: N : (C1) → P' x

(C2 ) → Q' y

Do (C1) và (C2) trực giao với

nhau, theo tính chất bảo tồn góc giữa

hai đường cong của phép nghịch đảo thì

P' x ⊥ Q' y

Gọi M’ là giao điểm P'x và Q'y thì

M', M là hai điểm tương ứng với nhau trong

phép nghịch đảo đã chọn và tứ giác OP'M'Q

là hình vuông cạnh R ⇒OM' = R 2 , tức tập hợp các điểm M'

Nhận xét:

(P) cố định, O là điểm cố định nên H cũng cố định ⇒ OH không đổi

∆OHM vuông tại H, HM' ⊥ OM

Do đó: OM.OM ' = OH2 tức M' là ảnh của M qua phép nghịch đảo

cực

O phương tích OH2

GiảiĐặt OH = h Khi đó ta có:

OM.OM ' = h2

 23 

Xét phép nghịch đảo N cực

O, phương tích k = h2 thì : M’ = f(M)

Vì M∈(P) thuộc mặt cầu (W) là ảnh của mặt phẳng (P) qua phép nghịch đảo N với (W) là mặt cầu đường kính OH.

Mặt khác, M thuộc mặt cầu đi qua O và đường tròn (S) nên M' thuộc vào mặt phẳng (P') là ảnh của mặt cầu đó qua phép nghịch đảo đã chọn.

Vậy, tập hợp điểm M' là một đường tròn được xác định bởi giao tuyến của mặt phẳng (P') và mặt cầu (W)

Ta đã biết siêu cầu (S) có ảnh là chính nó trong phép nghịch đảo N có

cực O, phương tích k nếu phương tích nghịch đảo k bằng phương tích của cựcnghịch đảo O đối với siêu cầu (S): k = P (O

(S))

Vận dụng điều này để giải quyết bài toán

GiảiGọi N là phép nghịch đảo có cực là S, phương tích k (k ∈□ , k

1 2