Phép co dãn trong mặt phẳng

Nguy n ễ Thị LỜI NÓI ĐẦU Phép biến hình trong phẳng không chỉ cung cấp cho học sinh công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phươngpháp tư duy và suy luận mới, b

Khóa luận tốt nghiệp Khoa Toán

Nguy n ễ Thị

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn cô Đinh Thị Kim Thúy

đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Với những lời chỉ dẫn,

sự tận tình hướng dẫn của cô đã giúp em vượt qua nhiều khó khăn trongquá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu Do hạn chế về thời gian, kiếnthức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong cóđược những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn đọcquan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong tổ Hình Học vàcác thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thànhkhóa luận, cũng như trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè đãgiúp đỡ động viên em rất nhiều trong quá trình học tập để em có thể thựchiện tốt khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kìcông trình nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

Nội dung

MỤC LỤC

Lời

nói đầu 1

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng 3

Chương 2: Phép co - dãn trong mặt phẳng 9

2.1 Định nghĩa 9

2.2 Các tính chất của phép co – dãn 9

2.3 Áp dụng phép co - dãn để giải toán 13

2.3.1 Các bài toán định tính 13

2.3.2 Các bài toán quỹ tích 23

Chương 3: Bài tập đề nghị 36

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Nguy n ễ Thị

LỜI NÓI ĐẦU

Phép biến hình trong phẳng không chỉ cung cấp cho học sinh công

cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phươngpháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượngxung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng đểnghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phátminh và sáng tạo trong tương lai Ví dụ như trước đây, khi cần chứngminh hai tam giác nào đó bằng nhau, học sinh thường phải chứng minhcác cạnh và góc của hai tam giác đó thỏa mãn các điều kiện đã được nêu

ra trong định lí nói về hai tam giác bằng nhau Sau khi học các phép biếnhình trong mặt phẳng người ta có thể định nghĩa sự bằng nhau của haitam giác và tổng quát hơn đối với hai hình phẳng bất kì như sau: "Hình

H được gọi là bằng hình

biến hình H thành hình

H ' nếu có một phép dời hình trong mặt phẳng

H '" Như vậy khái niệm "bằng nhau" của haihình phẳng được xây dựng dựa trên khái niệm về phép dời hình là mộtphép biến hình Nhiều khái niệm tương tự của hình học như hai hìnhđồng dạng với nhau cũng được xây dựng trên cơ sở của các phép biếnhình tương ứng của chúng là phép đồng dạng

Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ giải toán thích hợp cho mỗiloại toán hình học khác nhau là một việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiếtkiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đó một cách hiệuquả nhất

Với lòng đam mê toán học cùng sự hướng dẫn tận tình của cô

Đinh Thị Kim Thúy em đã quyết định chọn đề tài cho mình là: "Phép

co - dãn trong mặt phẳng"

Có khá nhiều bài toán, phương pháp giải toán hay xoay quanhphép co - dãn trong mặt phẳng nhưng do mới bước đầu làm quen với

việc nghiên cứu khoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuônkhổ khóa luận này em xin trình bày một số vấn đề như sau:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặtphẳng

Chương 2: Phép co - dãn trong mặt phẳng

Chương 3: Bài tập đề nghị

"hình" Cách hiểu "hình" theo nghĩa trên đây cũng chứa đựng nội dungcủa "hình" theo nghĩa thông thường như hình tam giác, hình tứ giác, hìnhtròn

Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan đến lí thuyết tập hợp như giao của hai hìnhhay nhiều hình, hợp của các hình, một điểm A thuộc hình H , tập hợp B

là một tập con của tập C hay là một bộ phận của tập C Do đó trong lập

luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu lí thuyết tập hợp như:

- Điểm A thuộc đường thẳng d và kí hiệu: A  d

- Điểm M là giao điểm của hai đường thẳng a và b và kí hiệu:

M  a  b , v…v.

Việc hiểu "hình" là một tập hợp điểm đã giúp chúng ta trừu tượnghóa, khái quát hóa được khái niệm này và đã mang lại nhiều thuận tiệntrong việc nghiên cứu hình học bằng phép biến hình vì chúng ta có điều

kiện sử dụng các công cụ của lí thuyết tập hợp để lập luận và chứngminh.

1.1.2 Phép biến hình

Ta kí hiệu tất cả các điểm thuộc mặt phẳng là P

Khi đó mỗi hình H bất kì của mặt phẳng đều là tập con của P và

kí hiệu: H  P

a) Định nghĩa

Một song ánh f : P  P

từ tập điểm của P lên chính nó được gọi

là một phép biến hình của mặt phẳng (Ta kí hiệu P là mặt phẳng)

Như vậy cho một phép biến hình f : P → P là cho một quy tắc để

với bất kì điểm M  P, ta tìm được một điểm M '  f (M

là hai điểm phân

ii)Với một điểm M ' thuộc P bao giờ cũng có một điểm M  P, sao cho f (M )  M '.

phép biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của hình

phép biến hình f đó.

f (H

)qua

b) Sự xác định của phép biến hình

Muốn xác định một phép biến hình

tắc f đó bằng các cách sau đây:

f : P  P ta cần nêu rõ quy

Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong

mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào

đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đườngthẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm bán kính đã cho

Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ (x; y) của

điểm M ' điểmvới tọa độ (x '; y ') của M '  f (M

độ Oxy nói trên.

c) Ví dụ Ví dụ 1:

Cho đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng

P Phép biến hình biến mỗi điểm M thành

điểm M ' qua ∆ gọi là phép đối xứng trục

xứng

Z O

Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối

Phép đối xứng trục ∆ được kí hiệu là

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình

biến mỗi điểm M thành điểm

M ' đối xứng với M qua O được gọi là phép đối xứng tâm O Điểm O được gọi là tâm của phép đối xứng đó Phép đối xứng tâm O thường được kí hiệu là:

d) Điểm bất động của phép biến hình

Một điểm M  P là điểm bất động (hoặc điểm kép) đối với phép

biến hình f nếu f (M )  M Như vậy điểm M là điểm bất động đối với

phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua phép biến

hình f

Đối với phép đối xứng trục Z O , mọi điểm nằm trên trục đối xứng

∆ đều là điểm bất động, các điểm còn lại của P đều không phải là điểm

bất động

Đối với phép đối xứng tâm

động duy nhất

Z O chỉ có tâm đối xứng O là điểm bất

Đối với phép tịnh tiến 

P  P , mọi điểm của P đều là điểm

1.2.3 Tích của hai phép biến hình

Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên

tiếp với nhau Nếu ta dùng một phép biến hình f : P → P để biến mộtđiểm M bất kì của P thành một điểm M ' rồi lại dùng tiếp một phép

biến hình thứ hai g : P → P để biến M

Ví dụ 1: Xét hai phép biến hình là hai phép tịnh tiến T và T

vM

 M' u + v

M''

Như vậy tích các phép biến hình nói chung không có tính chấtgiao hoán

1.2.4 Phép biến hình đảo ngược

Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm

M ' Ta

có f (M )  M ' Khi đó phép biến hình biến điểm M ' thành

điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho

và kí hiệu là

f 1

Ta có: f 1 (M ')  M Rõ ràng là mỗi phép biến hình f có duy

nhất một phép biến hình đảo ngược

.Nếu k  1 thì F d (k ) được gọi là phép dãn.

● Nếu k  1 thì F d (k ) được gọi là phép co.

● Nếu k  1 thì F d (k

)được gọi là phép đồng nhất

(d ) được gọi là trục co hoặc trục dãn.

H

2.2 Các tính chất của phép co - dãn

a) Phép co - dãn F (k ) : (d

A, B, C là ba điểm thẳng hàng thì ảnh của ba điểm đó

trong phép co - dãn cũng thẳng hàng và biến đường thẳng x thành

đường thẳng x '

Ta chọn hệ tọa độ sao cho (d

độ đó A(x1; y1 )

,

B(x2 ; y2 ),

C(x3 ; y3 ) , ảnh của các điểm đó lần lượt là

Nguy n ễ Thị

TH2: A  (d ) và các đỉnh còn lại nằm về một phía với (d )

TH3: Tam giác ABC bất kì.

b được gọi là Elíp Các số thực a , b

được gọi là các bán trục của Elíp

Đồ thị của Elíp có dạng:

Ta chọn hệ tọa độ sao cho (d

3a2 34

Thực hiện phép dãn F ( a

)

Ox b biến elip (E) thành đường tròn (C)

= c ' Tức là ∆ A' B 'C ' là tam giác đều

Mà diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (C)

Dấu ''='' xảy ra  ∆ ABC là tam giác đều.

Ta tính tọa độ các đỉnh của ∆ ABC nội tiếp elip (E)

Trước hết ta tính tọa độ các đỉnh của ∆ A' B 'C ' đều nội tiếp đường tròn (C)

2  y '2  a2

Không mất tính tổng quát ta giả sử ∆ A' B 'C ' đều

nội tiếp đường tròn (C)

có một đỉnh A' nằm trên trục Oy  A'(0; a)

Đường tròn (C) có tâm I (0; 0) bán kính R  a Ta lấy điểm A1

đối xứng với A' qua tâm I (0; 0)  A

Tọa độ điểm B ', C ' là nghiệm hệ phương trình:

2

 a 3 2

;  a )2

b

y ' a

;  b ), A (0; b )2

C

y A

Ví

dụ 3 :

□ AB C

được gọi là tiếp

a2 b2

a tuyến của Elíp (E) Chứng minh rằng: Phép dãn F

biến tiếp

tuyến của elip (E) thành tiếp tuyến của đường tròn (C)

Nhận xét:

Như vậy bài toán tiếp tuyến của Elíp thể được chuyển thành bàitoán tiếp tuyến của đường tròn

Chứng minh rằng: k k = -

1 2 a 2

Q1của (C) , đường thẳng PM với hệ số

C 1

sau:

Từ kết quả trên ta có thể khai thác bài toán trong các trường hợp

TH1: Đường kính PQ của (E) cố định, ta cần xác định điểm M

thuộc (E) để ∆ MPQ thỏa mãn tính chất K nào đó.

TH2: Ngược lại, xác định phương trình quỹ tích điểm M sao chotích của các hệ số góc của 2 đường thẳng MP và MQ bằng - k 2

Nguy n ễ Thị

Phép dãn F (2) biến: O

x

∆ ABC thành ∆ A1 B1C1 nội tiếp trong đường tròn (Điểm A(2; 1)

nên ảnh của nó qua phép dãn với tỉ số k = 2 là điểm A1 (2; 2))

Vậy diện tích ∆ ABC nội tiếp trong Elíp đạt giá trị lớn nhất bằng

3 3 đạt được khi ∆ A1 B1C1 đều

Xác định tọa độ đỉnh B1 , C1 của tam giác ABC

Ta có ∆ A1 B1C1 là tam giác đều nội tiếp đường tròn



V TPT A1O (2; 2)

Khi đó B C  (C) = B ;C , tọa độ B , C là nghiệm của hệ:

2.3.2 Bài toán quỹ tích

Ta tìm cách biểu diễn tọa độ điểm M (x;

y)

theo tham số nào đó

Khử tham số giữa các biểu thức ta được phương trình dạng f (x; y) = 0.

Đó chính là phương trình quỹ tích điểm M (x; y) Trong trường hợp bài

toán có điều kiện ràng buộc chúng ta cần hạn chế quỹ tích

Ở đây ta sử dụng các phép biến hình đặc cụ thể là phép co - dãn đểchuyển bài toán quỹ tích Elíp về bài toán quỹ tích đường tròn, trongnhiều trường hợp tỏ ra rất hiệu quả, đưa bài toán phức tạp về bài toánđơn giản.Ta xét các dạng cơ bản sau đây:

TH3: Nếu (d

Phép dãn F ( a

) biến điểm M (x; y) thành điểm M '(x ; y ) sao

)với hệ

số góc

k = a k

a Điểm A (x A ; y A )

,

B(x B ; yB)

Trung điểm I của AB thành

I1 là trung điểm của A1B1

Vậy quỹ tích I là đường kính CD của (E) với:

(E) : x2  4y2

 25  0 ; (d

Trung điểm I của AB thành I1 là trung điểm của A1B1 .

Ta có I thuộc đường kính C D ( C D  A B ) của đường tròn

b2  1 (a  b  0) tại A, B Chứng minh rằng trung điểm I của

AB chạy trên một Elíp cố định

Xét trên đường tròn (C) có I1 là trung điểm của dây cung A1B1

nên suy ra: OI1  A1B1  I1 thuộc đường tròn (S1

Vậy I thuộc Elíp



9  14

Giả sử tiếp tuyến qua M có tiếp điểm là M 0 (x0 ; y0 ) , khi đó:

Phương trình tiếp tuyến qua M (6;

0)

là: 6x1  0  0

) sao cho Ox là phân giác của góc AOB Gọi M là trung điểm

AB , lập phương trình quỹ tích điểm M

Nguy n ễ Thị

Ví dụ :

Cho hai đường tròn (C1 )

và (C2 ) sao cho tia Ox là phân

giác của góc AOB Gọi M là trung điểm AB

a) Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm M là một Elíp (E)

b) Đường thẳng (d

) di động luôn đi qua điểm I (4; 8) cắt Elíp

(E) tại C , D Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm N của đoạn CD thuộc Elíp (E) cố định.

c) Các điểm P , Q di động trên Elíp sao cho tích các hệ số góc của

các đường thẳng OP và OQ bằng - 4 Các tiếp tuyến của (E)

D1 ,

N1 theo thứ tự là ảnh của I , C , D , N qua phép

dãn

F Ox ( ) 2

Ta có N1 nhìn OI1 dưới một góc vuông khi và chỉ khi N1 thuộc

Vậy N thuộc Elíp (E1 )

(E1 ) : (x2)2 ( 3 y 6)2

40 2

(x  2)2

40

( y  4)2



160 19

c) Phép dãn F O

x

( 3)2biến:

Vậy N thuộc Elíp (E2 )

là tạo ảnh của (S2 ) qua phép dãn F ( 3) :

và H là trực tâm của tam giác MAB Tìm

Cho Elíp (E)

Áp dụng cho bài toán sau:

Cho Elíp (E)

luôn cắt Elíp (E) tại 2 điểm phân biệt A ,

b Tìm tọa độ điểm C thuộc Elíp (E)

lớn nhất

Bài

7 :

sao cho ∆ ABC có diện tích

Cho ∆ ABC có diện tích lớn nhất nội tiếp trong Elíp (E) Xác định tọa độ đỉnh B , C biết:

và P nằm cùng phía với AB) Các dây cung NP và MQ cắt AB tươngứng tại K và H Chứng minh rằng

2

 a a

Cho tam giác

ABC Chứng minh rằng tồn tại hai phép co - dãn F1



Nguy n ễ Thị

M1 (x1; y1 )  (E)  M (x; y)  (C)  x  y  a

1

Nguy n ễ Thị

y (C)

x O

P Q

Suy ra H là ảnh của M qua phép dãn về trục Ox với tỉ số k = 4

thay vào (1) ta được phương

) cắt Elíp (E) tại 2 điểm phân biệt.

Tìm tọa độ giao điểm

Xét hệ phương trình tạo bởi (d

biến Elíp (E) thành đường tròn (C) :

x'2  y '2 

25 ,

điểm A(0;

1)5

tiếp trong đường tròn(C)

Ta có: Δ A' B 'C ' có diện tích lớn nhất khi Δ A' B 'C ' đều

a2 và được xét trong hệ tọa độ

Oxy sao cho (d

B□AC là góc lớn nhất của tam giác ABC và kẻ phân

với Ax một góc

450

và tam giác AB 'C ' vuông tại A Ta thực hiện phép

1

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ đề tài: "Phép co - dãn trong mặt phẳng" Đốivới mục đích nghiên cứu đề tài cơ bản đã hoàn thành những nhiệm vụđặt ra

Nghiên cứu về phép co - dãn đã đưa ra hai dạng toán cơ bản trongphẳng sử dụng phép co - dãn đó là: bài toán định tính và bài toán quỹtích Trong đó, chủ yếu đi nghiên cứu các bài toán liên quan tới Elíp,chuyển các bài toán Elíp sang đường tròn, đưa bài toán về dạng đơn giảnhơn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng tìm tòi nghiên cứu nhưng khả năngthời gian có hạn nên đề tài không thể tránh được những thiếu sót Vì vậy

em rất mong được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo vàcác bạn sinh viên để đề tài được hoàn chỉnh hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Mộng Hi (1996), Các phép biến hình trong mặt phẳng -

NXBGD

2 Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2008), Phương pháp giải toán hình học phẳng - NXB Hà Nội.

3 Lê Hồng Đức (2006), Giải toán hình học 10 - NXB Hà Nội.

4 Đỗ Thanh Sơn (2005), Phương pháp giải toán hình học phẳng 10

-NXB Đại Học quốc gia Hà Nội

5 Đỗ Thanh Sơn (2005), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông - Phép biến hình trong phẳng - NXBGD.

6 Trần Bá Hà (2011), Tổng ôn tập kiến thức Toán - Phần hình học -

NXB Đại Học quốc gia Hà Nội