Phép co dãn trong mặt phẳng

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong tổ Hình Học và các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận, cũng như trong suốt thời gian học tập và ng

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn cô Đinh Thị Kim Thúy

đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận Với những lời chỉ dẫn,

sự tận tình hướng dẫn của cô đã giúp em vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong có được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn đọc quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong tổ Hình Học và các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận, cũng như trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè đã giúp đỡ động viên em rất nhiều trong quá trình học tập để em có thể thực hiện tốt khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công trình nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

MỤC LỤC

Nội dung

Lời nói đầu 1

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng 3

Chương 2: Phép co - dãn trong mặt phẳng 9

2.1 Định nghĩa 9

2.2 Các tính chất của phép co – dãn 9

2.3 Áp dụng phép co - dãn để giải toán 13

2.3.1 Các bài toán định tính 13

2.3.2 Các bài toán quỹ tích 23

Chương 3: Bài tập đề nghị 36

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

LỜI NÓI ĐẦU

Phép biến hình trong phẳng không chỉ cung cấp cho học sinh công

cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong tương lai Ví dụ như trước đây, khi cần chứng minh hai tam giác nào đó bằng nhau, học sinh thường phải chứng minh các cạnh và góc của hai tam giác đó thỏa mãn các điều kiện đã được nêu

ra trong định lí nói về hai tam giác bằng nhau Sau khi học các phép biến hình trong mặt phẳng người ta có thể định nghĩa sự bằng nhau của hai tam giác và tổng quát hơn đối với hai hình phẳng bất kì như sau: "Hình

H được gọi là bằng hình H' nếu có một phép dời hình trong mặt phẳng biến hình H thành hình H'" Như vậy khái niệm "bằng nhau" của hai hình phẳng được xây dựng dựa trên khái niệm về phép dời hình là một phép biến hình Nhiều khái niệm tương tự của hình học như hai hình đồng dạng với nhau cũng được xây dựng trên cơ sở của các phép biến hình tương ứng của chúng là phép đồng dạng

Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ giải toán thích hợp cho mỗi loại toán hình học khác nhau là một việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đó một cách hiệu quả nhất

Với lòng đam mê toán học cùng sự hướng dẫn tận tình của cô Đinh Thị Kim Thúy em đã quyết định chọn đề tài cho mình là: "Phép

co - dãn trong mặt phẳng"

việc nghiên cứu khoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn khổ khóa luận này em xin trình bày một số vấn đề như sau:

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng

Chương 2: Phép co - dãn trong mặt phẳng

Chương 3: Bài tập đề nghị

"hình" Cách hiểu "hình" theo nghĩa trên đây cũng chứa đựng nội dung của "hình" theo nghĩa thông thường như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn

Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số khái niệm khác có liên quan đến lí thuyết tập hợp như giao của hai hình hay nhiều hình, hợp của các hình, một điểm A thuộc hình H, tập hợp B

là một tập con của tập C hay là một bộ phận của tập C Do đó trong lập luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu lí thuyết tập hợp như:

- Điểm A thuộc đường thẳng d và kí hiệu: Ad

- Điểm M là giao điểm của hai đường thẳng a và b và kí hiệu:

M   , v…v a b

Việc hiểu "hình" là một tập hợp điểm đã giúp chúng ta trừu tượng hóa, khái quát hóa được khái niệm này và đã mang lại nhiều thuận tiện trong việc nghiên cứu hình học bằng phép biến hình vì chúng ta có điều

kiện sử dụng các công cụ của lí thuyết tập hợp để lập luận và chứng minh

1.1.2 Phép biến hình

Ta kí hiệu tất cả các điểm thuộc mặt phẳng là P

Khi đó mỗi hình H bất kì của mặt phẳng đều là tập con của P và

kí hiệu: H P

a) Định nghĩa

Một song ánh f : PP từ tập điểm của P lên chính nó được gọi

là một phép biến hình của mặt phẳng (Ta kí hiệu P là mặt phẳng)

Như vậy cho một phép biến hình f : P→P là cho một quy tắc để với bất kì điểm MP, ta tìm được một điểm M' f M( ) hoàn toàn xác định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

i) Nếu M N, là hai điểm của P thì (f M), ( )f N là hai điểm phân

biệt của P

ii)Với một điểm M'thuộc P bao giờ cũng có một điểm MP,sao cho (f M)M'

Điểm (f M) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f

Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm ( f M) qua phép biến hình f nói trên Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm ( )

f M và ta có ( f M)M'

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

f H  f M M H Khi đó (f H) gọi là ảnh của hình H qua

phép biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của hình (f H) qua

phép biến hình f đó

b) Sự xác định của phép biến hình

Muốn xác định một phép biến hình f : PP ta cần nêu rõ quy

tắc f đó bằng các cách sau đây:

Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong

mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào

đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm bán kính đã cho

Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ

( ; )x y của điểm M' với tọa độ ( '; ')x y của điểm M' f M( ) đối với hệ

tọa độ Oxy cho trước nào đó Thí dụ như phép biến hình f được cho

bằng hệ thức:

''

độ Oxy nói trên

c) Ví dụ

Ví dụ 1:

Cho đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng

P Phép biến hình biến mỗi điểm M thành

điểm M'qua ∆ gọi là phép đối xứng trục

Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình

biến mỗi điểm M thành điểm M đối xứng với M qua O được gọi là 'phép đối xứng tâm O Điểm O được gọi là tâm của phép đối xứng đó

Phép đối xứng tâm O thường được kí hiệu là: Z Ta có : O

O

Z ( M ) = M'(Hình 2)

O

M' M

Hình 2 d) Điểm bất động của phép biến hình

Một điểm M  P là điểm bất động (hoặc điểm kép) đối với phép

biến hình f nếu ( f M)M Như vậy điểm M là điểm bất động đối với

phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua phép biến

hình f

Đối với phép đối xứng trục Z , O mọi điểm nằm trên trục đối xứng

∆ đều là điểm bất động, các điểm còn lại của P đều không phải là điểm

1.2.3 Tích của hai phép biến hình

Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên

tiếp với nhau Nếu ta dùng một phép biến hình f : P→P để biến một điểm M bất kì của P thành một điểm M'rồi lại dùng tiếp một phép

biến hình thứ hai g : P → P để biến M' thành M Ta có '' M '  f M( )

tích g ◦ f và tích của f ◦ g là hai phép biến hình khác nhau

Ví dụ 1: Xét hai phép biến hình là hai phép tịnh tiến

u

Tvà

v

TGiả sử M là một điểm bất kì của P

+ v 

Như vậy tích các phép biến hình nói chung không có tính chất giao hoán

1.2.4 Phép biến hình đảo ngược

Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm '

M Ta có f M( )M' Khi đó phép biến hình biến điểm M thành 'điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho

và kí hiệu là f 1

Ta có: f1(M')M Rõ ràng là mỗi phép biến hình f có duy

nhất một phép biến hình đảo ngược f1 và ta có f  f1 f1 f e

Cho một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M , sau đó '

nếu ta thực hiện tiếp phép biến hình f đó đối với điểm M' và giả sử

M trong phép co - dãn về trục ( )d với hệ số k và kí hiệu

( ):

d

F k M M'.Nếu k  thì 1 F k được gọi là phép dãn d( )

 Nếu k 1 thì F k được gọi là phép co d( )

 Nếu k 1 thì F k d( ) được gọi là phép đồng nhất

( )d được gọi là trục co hoặc trục dãn

Thật vậy: Nếu M ( )d thì ( ) d MM '

= k MM '

= 0 

suy ra '

M M

b) Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng thì ảnh của ba điểm đó trong phép co - dãn cũng thẳng hàng và biến đường thẳng x thành

đường thẳng 'x

Ta chọn hệ tọa độ sao cho ( )d trùng với trục Ox và trong hệ tọa

độ đó A x y , ( ; )1 1 B x( ; )2 y , 2 C x( ; )3 y , ảnh của các điểm đó lần lượt là 3

Hệ quả: Nếu AB và CD là hai đoạn thẳng song song hoặc cùng

nằm trên một đường thẳng, A B và ' ' C D là ảnh của chúng trong phép ' '

co - dãn thì A B' ' và C D cùng phương và ' ' ' '

' '

A B AB

C D CD Dựa vào tính chất b ở trên ta dễ dàng chứng minh được điều này c) Giả sử tam giác ABC có diện tích S , Δ ' ' ' A B C là ảnh của tam giác ABC trong phép co - dãn F k và có diện tích ' d( ) S , khi đó 'S kS

Ta xét 3 trường hợp sau đây:

TH1: AB ( )d

TH2: A  ( )d và các đỉnh còn lại nằm về một phía với ( ) d

TH3: Tam giác ABC bất kì

Ta dễ dàng chứng minh được 'S kS

d) Tồn tại phép co - dãn F k biến một đường tròn thành một Elíp d( )

và nếu ( )d trùng trục cuả Elíp thì tồn tại một phép co - dãn biến Elíp

được gọi là các bán trục của Elíp

Ta chọn hệ tọa độ sao cho ( )d trùng với trục Ox và trong hệ tọa

độ này ( )C có phương trình: x2 y2 R2 (1)

Thực hiện phép co F Ox( )k : M(x; y)→ M'(x'; y') (k  1,0) trong

đó 'x  và x y'ky, ta thay vào (1) ta được:

2

2

'' y

R k R  (E 1)

Vì (k  1,0) nên R2 k R2 2 suy ra (E là một Elíp 1)

Nếu k < 1 thì R > k2 2R suy ra 2 (E là Elíp có trục lớn nằm trên 1)

Nếu k < 1 thì R > k2 2R2 suy ra (E là Elíp có trục lớn nằm 1)

Thực hiện phép dãn F Ox( )a

b biến elip ( )E thành đường tròn ( ) C

có phương trình: x '2 y '2  a2 Khi đó ∆ABC biến thành ∆ ' ' ' A B C nội

tiếp trong đường tròn ( )C

Mặt khác, diện tích ∆ ' ' 'A B C =

' ' '4

Dấu ''='' xảy ra  'a = 'b = 'c Tức là ∆ ' ' 'A B C là tam giác đều

Mà diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn ( )C bán kính a

Dấu ''='' xảy ra ∆ABC là tam giác đều

Ta tính tọa độ các đỉnh của ∆ABC nội tiếp elip ( ) E

Trước hết ta tính tọa độ các đỉnh của ∆ ' ' 'A B C đều nội tiếp đường tròn ( )C : x'2y'2a2 Không mất tính tổng quát ta giả sử ∆ ' ' 'A B C đều nội tiếp đường tròn ( )C có một đỉnh A' nằm trên trục Oy  '(0;A a )

Đường tròn ( )C có tâm I (0; 0) bán kính R Ta lấy điểm a A 1

đối xứng với A' qua tâm I(0; 0)  A (0; 1  ) a

Đường tròn (C nhận 1) A (0; 1  ) làm tâm và có bán kính a có a

phương trình là: x'2( 'y a )2a2

Tọa độ điểm B , ' C là nghiệm hệ phương trình: '

3 '

' 2

a x

2'

2

a x

a y

a b  (a > b > 0) và ∆ABC ngoại tiếp ( ) E

(các cạnh của tam giác là tiếp tuyến của ( )E ) Chứng minh rằng:

a  b  được gọi là tiếp

tuyến của Elíp ( )E Chứng minh rằng: Phép dãn F Ox( )a

Đường thẳng: x x0' 'y0' 'y a2 là tiếp tuyến của ( )C :x'2 y'2  a2

tại M'(x0';y ) 0'  ( )C Từ kết quả trên ta suy phép dãn F Ox( )a

Bài toán tương tự: Cho Elíp có phương trình:

2 2

2 2 1

a b  (a b 0) có các đỉnh trên các trục lớn làA , 1 A và các đỉnh trên trục 2

nhỏ là B , 1 B Chứng minh rằng: trục đẳng phương của hai đường tròn 2

ngoại tiếp ∆MA A , ∆ 1 2 MB B1 2 tiếp xúc với ( )E

M  elip ( )E  Tọa độ điểm M(x; y) thỏa mãn phương

Cho đường tròn ( )C có phương trình: ( x  1)2 ( y  2)2 4 Tìm

ảnh của đường tròn ( )C qua phép co về trục Ox với tỉ số k = 1

2

2 ''

Cho ∆ MPQ nội tiếp trong elip ( ) E với PQ là đường kính của

Elíp ( )E , giả sử k , 1 k là hệ số góc của các đường thẳng 2 PM và QM

Chứng minh rằng: k 1 k = -2

2 2

b

a

x x b

''

1

b y

b a

Từ kết quả trên ta có thể khai thác bài toán trong các trường hợp sau:

TH1: Đường kính PQ của ( ) E cố định, ta cần xác định điểm M

thuộc ( )E để ∆ MPQ thỏa mãn tính chất K nào đó

TH2: Ngược lại, xác định phương trình quỹ tích điểm M sao cho tích của các hệ số góc của 2 đường thẳng MP và MQ bằng -k 2

Cho ∆ ABC có diện tích lớn nhất nội tiếp trong Elíp ( ) E Xác

định tọa độ các đỉnh B , C biết A(2; 1)

Giải:

2

a k

Điểm M x( ; y) thành điểm M x1( ; y )1 1 thỏa mãn: 1

Vậy diện tích ∆ ABC nội tiếp trong Elíp đạt giá trị lớn nhất bằng

3 3 đạt được khi ∆A B C đều 1 1 1

Xác định tọa độ đỉnh B , 1 C của tam giác ABC 1

Ta có ∆A B C là tam giác đều nội tiếp đường tròn ( )1 1 1 C  tâm O

2 2

1 1

2.3.2 Bài toán quỹ tích

Ta tìm cách biểu diễn tọa độ điểm M x( ; y) theo tham số nào đó Khử tham số giữa các biểu thức ta được phương trình dạng ( ; y)f x = 0

Đó chính là phương trình quỹ tích điểm M x( ; y) Trong trường hợp bài toán có điều kiện ràng buộc chúng ta cần hạn chế quỹ tích

Ở đây ta sử dụng các phép biến hình đặc cụ thể là phép co - dãn để chuyển bài toán quỹ tích Elíp về bài toán quỹ tích đường tròn, trong nhiều trường hợp tỏ ra rất hiệu quả, đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn giản.Ta xét các dạng cơ bản sau đây:

Bài toán 1: Đường thẳng ( )d ó phương trình không đổi cắt Elíp

Trong hệ trực chuẩn Oxy : Xét 3 trường hợp sau đây:

TH1: Nếu ( )d song song trục Ox thì quỹ tích trung điểm I là trục

1 2

B B của ( ) E

TH2: Nếu ( )d song trục Oy thì quỹ tích trung điểm là trục I là trục A A

TH3: Nếu ( )d có hệ số góc k ( k 0) không đổi

Trung điểm I của AB thành I là trung điểm của 1 A B 1 1

Ta có I1 thuộc đường kính C D1 1 (C D1 1 A B ) của đường tròn ( )1 1 C , ta

Vậy quỹ tích I là đường kính CD của ( ) E với:

( CD ):

2 2

b x a





 hệ số góc của đường thẳng này là: k =

2 2

b ka

Ví dụ :

Cho Elíp ( )E và đường thẳng ( )d lần lượt có phương trình:

O A

Giả sử ( )d cắt ( ) E tại hai điểm A, B Tìm quỹ tích trung điểm I

Trung điểm I của AB thành I là trung điểm của 1 A B 1 1

Ta có I thuộc đường kính 1 C D1 1 (C D1 1 A B ) của đường tròn 1 1

Đường thẳng ( )d đi qua điểm MOx cố định cắt Elíp ( )E :

2 2

2 2 1

a b  (a b 0) tại A, B Chứng minh rằng trung điểm I của

AB chạy trên một Elíp cố định

Xét trên đường tròn ( )C có I1 là trung điểm của dây cung A B1 1

nên suy ra: OI1 A B1 1  I1 thuộc đường tròn ( )S1 đường kính MO

Đường tròn này có phương trình là: