Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng

Do điều kiện về thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn khoá luận tốt nghiệp của em không tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến c

TRƯỜNG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Do điều kiện về thời gian và tính chất của đề tài chắc chắn khoá luận tốt nghiệp của em không tránh khỏi những thiếu sót.Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và ý kiến của các bạn đồng môn để bài khoá luận được hoàn thiện hơn.

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo

trong tổ hình học , các thầy giáo trong khoa toán và đặc biệt là thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG đã hướng dẫn em hoàn thành khoá luận này.

Em xin chân thành cảm ơn!

Ngày 15 tháng 5 năm 2010.

Sinh viên : PHẠM THỊ HIỀN

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu,cùng với sự tạo điều kiện của các thầy cô giáo trong khoa toán, đặc biệt là sựhướng dẫntận tình của thầy giáo Phan Hồng Trường

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Bài toán cực trị về hình học trong mặtphẳng” không có sự trùng hợp với kết quả của đề tài khác

Mục lục Trang

Lời nói đầu ……….

4 Chương 1 : Phương pháp giải một bài toán cực trị về hình học A) Bài toán cực trị về hình học ……… 5

B) Phương pháp chung để giải một bài toán cực trị về hình học 5 Bài tập đề nghị chương 1……… 14

Chương 2 : Cách vận dụng các bất đẳng thức trong hình học A) Bất đẳng thức tam giác……… 15

B) Đường vuông góc và đường xiên……… 16

C) Độ dài đường gấp khúc ……… 17

D) Các bất đẳng thức trong đường tròn……… 19

Bài tập đề nghị chương 2 ……… 21

Chương 3 : Cách vận dụng các bất đẳng thức trong đại sốvào bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng A) Các bất đẳng thức đại số thường dùng……… 22 B) Các ví dụ áp dụng ……… ………… 23 Bài tập đề nghị chương 3……… 25

Chương 4 : Toạ độ và vectơ trong mặt phẳng với bài toán cực trị về hình học A)Toạ độ trong mặt phẳng với bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng ……….… 26

B) Vecto trong mặt phẳng với bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng ………

28 Kết luận……… 31

LỜI NÓI ĐẦU

1) Lý do chọn đề t ài

Trong nhà trường phổ thông , hình học là một môn học khó đối với học sinh.Bởi hình học là một môn học yêu cầu người học phải có tư duy logic , chặt chẽ và có khả năng trừu tượng hoá cao hơn các môn học khác.

Học sinh đã được tiếp cận với hình học ngay từ những năm học tiểu học

và được học một cách hệ thông từ ở lớp 6 Học sinh được học cách giải rất nhiều dạng bài toán nhưng bài toán tìm giá trị cực trị của một đại lượng hình học nào đó trong mặt phẳng luôn là bài toán gây nhiều khó khăn cho học sinh.

Với sự gợi ý hướng dẫn của thầy giáo PHAN HỒNG TRƯỜNG ,cùng với mục đích tìm hiểu và đưa ra phương pháp chung để giải một bài toán cực trị

về hình học trong mặt phẳng cũng như tìm hiểu cách vận dụng một số bất đẳng thức trong hình học ,bất đẳng thức trong đại số để giải bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng , em đã lựa chọn đề tài “ Bài toán cực trị về hình học trong mặt phẳng ”.

2) Nhi ệm vụ nghi ên cứu :

+ Trình bày cơ sở lí thuyết

+ Đề xuất phương pháp

+Xây dựng hệ thống ví dụ bài tập luyện tập.

3 )P hương p háp ng hiên cứu

+ Thống kê

+ Khái quát hoá , trừu tượng hoá

+ Nghiên cứu sách giáo khoa , tài liệu tham khảo , báo toán học và

tuổi trẻ

CHƯƠN G 1 :PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ HÌNH

HỌC TRONG MẶT PHẲNG A,

Bài t oá n cực t rị về hình học

Xét một đại lượng hình học y (độ dài của một đoạn thẳng,tổng của nhiều đoạn

thẳng,chu vi ,diện tích của một hình, độ lớn của một góc,v.v…).

1,

Bài toán tìm cực ti ểu v ề hì nh họ c

Nếu có một giá trị không đổi y 1 sao cho luôn có y≥ y 1 , đồng thời tồn tại một vị trí hình học của y (hoặc hình chứa y) tại đó y đạt được giá trị y 1 ,thì ta nói rằng y 1

là giá trị nhỏ nhất (cực tiểu ) của y.

2,

Bài t oá n t ìm cực đ ại v ề hì nh họ c

Tương tự,nếu có một giá trị không đổi y 2 sao cho luôn có y≤ y 2 , đồng thời tồn tại một vị trí hình học của y (hoặc hình chứa y) tại đó y đạt được giá trị y 2

,thì ta nói rằng y 2 là giá trị lớn nhất (cực đại ) của y.

Bài toán tìm cực tiểu hay cực đại của y được gọi chung là bài toán cực trị về hình học.

Người ta thường kí hiệu min y = y 1 (hay y min = y 1 ) ;

Max y = y 2 (hay y max =y 2 ) ;

B,P hương p háp chung đ ể giải m ột b ài toá n cực t rị v ề hì nh học trong m ặt ph ẳ ng

Căn cứ vào đầu bài,người ta thường giải bài toán cực trị về hình học theo ba cách sau:

1,Cách 1 :

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị , thay các điều kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đuơng.Có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số,dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn,nhưng cũng

có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán.Biểu thị ẩn

số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm,

từ đó suy ra vị trí của hình để đạt được cực trị.

Người ta thường dùng cách này khi đầu bài dược cho dưới dạng : “ Tìm một hình thoả mãn các điều kiện cực trị cho trứơc ‟‟

Xét các tam giác có chung đáy là BC = a và có cùng điện tích là S

Gọi AH là đuờng cao tương ứng với cạnh đáy BC ta có:

S = 1 AH.BC ⇒

AH = 2S ( không đổi )

2 a Suy ra A di động trên một đường thẳng xy

Song song với BC và cách BC một khoảng bằng 2S

(2) có dấu “=” khi và chỉ khi B‟, A, C thẳng hàng.

Khi đó A ≡ A 0 Vì A 0 B = A 0 B‟ = A 0 C nên ∆A 0 BC cân tại A 0

Vậy trong các tam giác có chung một đáy và có cùng diện tích tam giác cân có chu

⇔ a h y = h-x B

hx - x 2 ) =

a h

h 4 2

ah a(x- ) 2

4 h 2 4 dấu “=” xảy ra khi x - h = 0

⇔ x = h

khi đó K là trung điểm của AH hay MN là

2 2 đường trung bình của ∆ABC.

Vậy max S = ah

4 ⇔ x = h

2

Chú Ý :

Ta có thể giải bài toán trên bằng cách áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy

Từ (*) ta nhận thấy : a, h đều là hằng số dương nên S lớn nhất khi và chỉ khi x(h -x) lớn nhất Do x >0; x < h nên h - x > 0, hai số dương x và (h - x) có tổng không đổi

x + (h - x) = h nên tích x(h - x) sẽ lớn nhất khi chúng bằng nhau :

x = h - x hay x = h

2

2,Cách 2

Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu

tố ( mà ta phải tìm cực trị ) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra.

Đường thẳng xy ∥ BC ta chỉ việc chứng minh chu vi ∆ABC≥ chu vi ∆A 0 BC tức

là

AB + AC ≥ A 0 B + A 0 C như đã trình bày cách giải ở ví dụ 1.

Ví dụ 5 :

Cho hình vuông ABCD cạnh a Xét các hình thang có bốn đỉnh ở trên bốn cạnh của hình vuông và hai đáy song song với một đường chéo của hình vuông Tìm hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất ấy.

GIẢI

Gọi EFGH là hình thang có các đỉnh nằm trên các cạnh của hình vuông và hai đáy

FG, EH song song với đường chéo BD của hình vuông.

Gọi S là hiệu diện tích hình vuông và

diện tích hình thang EFGH thì :

S = S AEH + S CFG + 2S BEF

= 1 AE 2 + 1 CF 2 + BE.BF

2

= x + y

2 + ( a - x )( a - y )

Khi đó các đường chéo EG và HF song song với các cạnh của hình vuông và diện 2 tích lớn nhất của hình thang phải tìm là a

2

(*) CHÖ Ý QUAN TRỌNG

(i) Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A , ta chia A thành tổng của

nhiều đại lượng khác :

A = B + C rồi đi tìm cực trị của B và C, từ đó suy ra cực trị của A ,ta cần chứng minh : “ khi B đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị và ngược lại ”

Ví dụ 6:

Cho tam giác ABC vuông tại A , ở bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB , AC Một dường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự ở M,N ( khác A ) Xác định vị trí của M,N sao cho chu vi của tứ giác BCNM lớn nhất.

GIẢI Đặt BM = x ; AM = y ; AN = z ; NC = t ;

BM 2 + MA 2 = AB 2 hay

x 2 + y 2 = AB 2

Áp dụng bất đẳng thức (*) : ( x + y ) 2 ≤ 2

AB 2

2 2

⇔ x + y ≤ AB

2

dấu „„ =‟‟ xảy ra khi và chỉ khi x = y Tương tự : z + t ≤ AC 2 dấu „„ =‟‟ xảy ra khi và chỉ khi z = t

Khi x = y thì M là điểm chính giữa của cung AB , khi đó tam giác AMB

⇒ N là điểm chính giữa cung AC

Vậy chu vi của tứ giác BCNM lớn nhất khi M,N đồng thời là điểm chính giữa của các cung AB ,AC

( ii) Nếu bài toán đã cho có thể xảy ra nhiều khả năng tương ứng với các trường

hợp khác nhau của hình thì phải tìm cực trị trong từng trường hợp, cuối cùng so sánh các giá trị đó để tìm ra cực trị của bài toán.

Gọi M là trung điểm

Mà MM‟ ≤ AM ( đường vuông góc và đường

xiên kẻ từ M tới d ).

Do đó : BB‟ + CC‟ lớn nhất khi M‟ ≡ A Lúc đó BB‟ + CC‟ = 2 AM và d ⊥ AM tại A

Như vậy , ứng với hai trường hợp , ta được hai kết quả (1) và (2) , do đó ta phải so sánh BC với 2AM ,

điều này rõ ràng phụ thuộc vào hình dạng của tam ABC cho trước

∃

a) A < 90 o

Kéo dài AM một đoạn MN = MA

Tứ giác ABNC là hình bình hành

vì có hai đường chéo giao nhau tại trung

điểm của mỗi đường, suy ra AB = CN ;

∃

A < 90 o

suy ra ACN > 90 o hay ACN > CAB

Xét hai tam giác BAC và NCA chúng có : AB = CN ,

c) A > 90 o : Chứng minh tương tự trường hợp 1) ta được BC > 2 AM.

Từ kết quả trên ta suy ra :

GIẢI

Ta cần xét các trường hợp sau :

a)

Trường hợp AB ∥ xy :

Dựng đường tròn (O) qua A ,B và tiếp xúc

với xy tại M ( trước hết dựng trung trực của

AB cắt xy tại M ;Dựng thêm trung trực của

AM cắt

trung trực của MB tại tâm O cần tìm ).

∃

Ta sẽ chứng minh góc AMB là lớn nhất

Thật vậy , nếu lấy một điểm M‟ bất kì

( M‟ ο M ) trên xy , nối M‟ với A

∃

ANB = AMB

⇒

AM‟B ≤ AMB dấu „„=‟‟ xảy ra hi và chỉ khi M ≡ M‟.

b) Trường hợp AB ⊥ xy khi đó ta dựng được hai đường tròn

(O) và ( O‟ ) đi qua A , B tiếp xúc với xy tại M 1 và M 2

Do ∆AOO‟ cân nên :

trường hợp tổng quát Trước

hết ta hãy giải bài toán :

Cho đường thẳng xy , hai điểm A và B không

nằm trên xy và thuộc cùng một nửa mặt phẳng

có bờ là đường thẳng xy ; AB không song

song và cũng không vuông góc với xy

Dựng đường tròn qua A , B và tiếp xúc với xy

Giả sử ta đã dựng đựơc đường tròn (O) qua A

,

B và tiếp xúc với xy tại M , vì A,B không song song với xy nên AB cắt xy tại một điểm y.

Vẽ đường tròn (O‟) qua A và B (

tâm O‟ nằm trên trung trực của AB

).Kẻ tiếp tuyến IT với (O‟) theo chứng

M 1 , M 2 cắt đường trung trực của AB tại O 1 ; O 2 ;đó là tâm của hai đường

tròn (O 1 ; O 1 M 1 ) và (O 2 ;O 2 M 2 ) đi qua A ,B và tiếp xúc với xy tại M 1 , M 2

Trở lại bài toán đầu ,tương tự trường hợp a)

Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số S 1 +S 2 +S 3

S

BÀI 1.5 :

Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O,R).Tìm điểm M thuộc cung

BC sao cho nếu gọi H ,G , K thứ tự là hình chiếu của M trên AB , BC , AC thì tổng MA

+ MB + MC + MH + MI + MK lớn nhất ? nhỏ nhất ?

Gọi A‟ là điểm đối xứng của điểm

A qua xy thì A‟ hoàn toàn xác

Nối A‟ với B và áp dụng bất đẳng thức

Tam giác cho ba điểm A‟ , M , B ta có:

Nếu lấy một điểm N bất kì trên xy thì | NA - NB| ≤ AB Giá trị lớn nhất của

| NA - NB| bằng AB khi và chỉ khi B là điểm nằm giữa hai điểm A và N

Suy ra : + Nếu AB ∥ xy thì :

Không tìm được điểm N thoả mãn yêu cầu bài toán

+ Nếu AB 1 xy :Gọi N o = AB

∩ xy Thì N o là điểm cần tìm.

Vậy max | NA - NB| = AB ⇔ N ≡ N o

Ví dụ 2:

Cho đường tròn (O) và một điểm M ở ngoài đường tròn Đường thẳng kẻ từ M qua tâm O cắt đường tròn ở A và B ( A là điểm nằm giữa hai điểm M và O ) Chứng minh rằng MA là khoảng cách nhỏ nhất trong các khoảng cách từ M tới tất cả các điểm của đường tròn và MB là khoảng cách lớn nhất trong tất cả các khoảng cách đó.

Theo giả thiết , A là điểm nằm giữa

hai điểm M và O nên

MO = MA + AO

tức là MO - OA = MA

Vậy MA ≤ MA‟

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A ≡ A‟

Tương tự , với mọi điểm B‟∈ (O) và B‟ ≠ B , xét

2, Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến một một đường thẳng , đường xiên nào

có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngựơc lại

Ví dụ 1 :

Cho tam giác ABC có ba goc nhọn.Tìm điểm M ở trong tam giác sao cho

MA.BC + MB.CA + MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất

2 ( S AMB + S AMC ) ≤ BC.AM

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi E và

4 ( S ABM + S ACM + S CBM ) ≤ MA.BC + MB.CA + MC.AB

Do dó : min ( MA.BC + MB.CA + MC.AB ) = 4 S ABC khi và chỉ

khi AM ⊥ BC ; BM ⊥ AC ; CM ⊥ AB , khi đó M là

trực tâm của ∆ABC.

Ví dụ 2 :

Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm O đến d là

OH > R Lấy hai điểm bất kì A ∈ d và B ∈ (O;R) Hãy chỉ ra vị trí của A , B sao cho độ dài Ab ngắn nhất và chứng minh điều ấy.

GIẢI Từ tâm O kẻ OH ⊥ d cắt

(O;R) tại K Xét ∆ABO ,ta có :

AB + OB ≥ OA

Mà OA ≥ OH (đường xiên và đường Vuông góc kẻ từ O đến d )

⇒ AB + OB ≥ OH

⇒ AB ≥ OH - OH =

OH - OK = KH Vậy min AB = KH ⇔ A

≡ H và B ≡ K

MN + NP + PQ + MQ =

= 2 ( BJ +JI + IK + KD ) ≥ 2 BD Chu vi tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất bằng hai lần độ dài đường chéo hình vuông, khi đường gấp khúc trùng với đường chéo

BD, khi đó MN ∥ AC ∥ PQ và

MQ ∥ BD ∥ NP Tứ giác MNPQ trở thành hình chữ nhật.

Từ bài toán trên tacó thể rút ra kết luận : Mọi hình chữ nhật nội tiếp được trong một hình vuông đã cho đều có chu vi bằng nhau và chu vi đó nhỏ nhất so với chu vi của bất kì tứ giác nào nội tiếp trong hình vuông này.

Ví dụ 2 :

Cho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120 o Tìm điểm M nằm bên trong tam giác sao cho tổng MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất.

GI ẢI

Xét một điểm M nằm trong tam giác ABC Ta phải xác định vị trí của M để tổng

MA + MB + MC có giá trị nhỏ nhất.

Ta tìm cách đưa tổng của ba đoạn thành tổng của các đoạn thẳng của một đường gấp khúc nối hai điểm xác định nào đó.

Thực hiện phép quay tâm A ,góc quay 60 o , ngược chiều kim đồng hồ :

Biến : M thành M‟ ; C thành C‟ Như vậy tam giác AMM‟ là tam giác đều

suy ra MA =MM‟ Tam giác ACC‟ cũng là tam giác đều nên C‟ hoàn toàn xác định ;

M‟C‟ = MC ( vì phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm )

Do đó hai tia BC‟ và CB‟ luôn cắt nhau tại một điểm M o nằm trong tam giác ABC.

D, CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG Đ ƢỜN G TRÕ N

1, Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

2, Trong hai dây cung không bằng nhau , dây nào lớn hơn thì có khoảng cách từ tâm đến dây đó nhỏ hơn và ngược lại.

Ví dụ 1 :

Cho hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại A và B Một cát tuyến qua B ,

cắt (O 1 ) tại M , cắt (O 2 ) tại N Xác định vị trí cuả MN để chu vi tam giác AMN đạt giá trị lớn nhất.

Dấu “=” xảy ra khi AM là đường kính trong đường tròn (O 1 ) ,

khi đó AN là đường kính trong

đường tròn (O 2 ) ,do đó O 1 O 2 là đường trung bình của tam giác AMN

a) Dây AB lớn nhất qua M phải dựng là dây qua tâm O ( hay dựng

đường kính của đường tròn qua M ).

b)

Giả sử AB là một dây bất kì qua M

và OH là khoảng cách từ tâm O tới dây đó

Dây AB sẽ ngắn nhất khi và chỉ khi

OH dài nhất Xét tam giác OHM ta