Một số kết quả về đa giác

d Đa giác lồi : Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó.. Khi đó tập hợp P\H là hợp của hai tập hợp H 0 và H  , có các

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “ MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐA GIÁC “ làkết quả mà tôi đã trực tiếp tìm tòi nghiên cứu Trong quá trình nghiêncứu tôi đã sử dụng lài liệu của một số tác giả Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở

để tôi rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình Đây là kết quảcủa cá nhân tôi, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Hoàng Thị Liên

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo Bùi Văn Bình,người đã hướng dẫn em tận tình, chu đáo trong suốt quá trình em thựchiện đề tài này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ HìnhHọc, Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán, Ban Quản lí Trường Đại Học SưPhạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trìnhhọc tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp em thực hiên khóa luận này

Đề tài của em chủ yếu nghiên cứu tài liệu, tổng kết và thu thập tàiliệu cũng đã có những cách giải sáng tạo của cá nhân nhưng còn hạn chế Với thời gian và năng lực còn hạn chế nhưng em hy vọng đề tài sẽ giúp ích nho nhỏ cho người đọc và mong mọi người đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn Và em hy vọng qua đề tài này những người yêu Toán sẽ có thái độ đúng đắn và sâu sắc hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Hoàng Thị Liên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

3.NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

4.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

6.GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 2

I LÝ THUYẾT 3

1 Các định nghĩa 3

2 Miền trong, điểm trong của đa giác 4

3.Các tính chất của đa giác 4

4 Đường chéo của đa giác 6

5 Cách gọi tên đa giác 6

6.Đường tròn ngoại tiếp 7

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 7

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC 9

IV MỘT SỐ BÀI TOÁN 9

1 Tính số cạnh của một đa giác 9

2 Tính số đo góc trong đa giác 13

3 Bài Toán liên quan đến đường chéo của một đa giác 19

4 Diện tích đa giác 24

4.1 Hàm diện tích 24

4.2 Diện tích đa giác đơn 24

4.3 Diện tích của các hình phẳng 24

a Hình đơn giản 24

b Hình khả diện 24

c Các tính chất của diện tích đa giác 24

4.4 Các công thức tính diện tích 25

5 Các khoảng cách trong đa giác 31

6.Ứng dụng của định lí Ptoleme vào giải bài toán đa giác 35

6.1 Nội dung và lí thuyết 35

6.2 Áp dụng 36

6.2.1 Bất đẳng thức Ptoleme và những kết quả kinh điển 36

IV KẾT LUẬN 47

V TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

MỞ ĐẦU

1.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các môn học đối với học sinh thì môn Toán có một ý nghĩa

và vị trí đặc biệt quan trọng.Toán học với tư cách là một khoa họcnghiên cứu một số mặt của thế giới hiện thực,nó có một hệ thống kháiniệm, quy luật và có phương pháp riêng Hệ thống này luôn phát triểntrong quá trình nhận thức thế giới và đưa ra kết quả là những tri thứctoán học Những tri thức toán học, những kĩ năng toán học cùng phươngpháp toán học đã trở thành công cụ toán học giúp học sinh ứng dụngkhoa học vào thực tiễn, đồng thời phát triển tư duy và nhân cách họcsinh

Đa giác là một chương quan trọng trong chương trình hình học trunghọc cơ sở nói chung và hình học 8 nói riêng.Nó cung cấp cho học sinhcách nhìn tổng quan về hình học Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiêncứu là:

“Một số kết quả về đa giác”

Đề tài này nhằm mục đích sưu tầm và khái quát hóa các dạng toánliên quan đến đa giác và diện tích đa giác để giúp cho người đọc có cáinhìn hệ thống về lĩnh vực này ; giúp các em học sinh và phụ huynh có tàiliệu hữu ích để tham khao, nghiên cứu cũng như phục vụ nhu cầu giảngdạy của những sinh viên sư phạm chúng em sau này

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đưa ra một số kết quả mang tính chất hệ thống là tài liệu giúp họcsinh, phụ huynh có thể tra cứu, tham khảo nhằm góp phần nâng cao việcgiảng dạy và học

3.NỘI DUNG VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.

3.1Xác định các căn cứ xây dựng hệ thống và cấu trúc hệ thống các kếtquả về đa giác

3.2 Xây dựng và phân loại các hệ thống bài tập và phương pháp giảinhằm rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong việc giải các bài toán đagiác

4.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

4.1Đối tượng nghiên cứu :các kết quả về đa giác, các bài toán áp dụng vớicách giải cụ thể

4.2Phạm vi nghiên cứu : các kết quả về bài toán đa giác

5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

5.1 Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các sách,báo, tạp chí,các công trìnhnghiên cứu,một số đề thi học sinh giỏi các quốc gia … có liên quan đến

đề tài

5.2 Thực hành giải toán : Giải các bài toán liên quan tới các kết quả bàitoán đa giác đưa ra

6 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu biết xây dựng hệ thống các kết quả, các bài tập áp dụng cụ thể

rõ ràng thì đề tài sẽ là một tài liệu hữu ích, thích hợp,chủ động nâng caochất lượng học tập của học sinh và giảng dạy của thầy cô,tạo tiềm lựcphát triển năng lực học toán cho các em

Ai

Ai1

gọi là các cạnh của đường gấp khúc Từ định

nghĩa trên ta suy ra ba đỉnh liên tiếp

Ai Ai1 chỉ có điểm chung duy nhất là đỉnh

b) Đa giác : Đa giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n  3 )

A1 A2 An1 Đa giác n cạnh còn gọi là n 

Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác, các đoạn thẳng Ai Ai1

gọi là

các cạnh của đa giác Góc

Ai1 Ai Ai1 gọi là góc của đa giác ở đỉnh

Ai

c) Đa giác đơn : Đa giác đơn là đa giác mà bất kỳ hai cạnh không liên

tiếp nào cũng không có điểm chung

d) Đa giác lồi : Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đối với

đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào của đa giác đó

e) Đa giác đều : là đa giác có tất cả các cạnh của chúng bằng nhau và tất cả

các góc của chúng bằng nhau

2 Miền trong, điểm trong của đa giác.

a) Định lí Jordan: Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳng P Khi đó tập

hợp P\H là hợp của hai tập hợp H 0 và H 

, có các tính chất sau đây:i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không có điểm chung với H.ii)Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp

H  thì luôn có điểm chung với H

Mỗi điểm của

H 0 gọi là điểm trong của đa giác H Mỗi điểm thuộc

H  gọi là điểm ngoài của đa giác H

Tập

H 0  H = P\ H  gọi là miền của đa giác H, hoặc đơn giản làmiền đa giác H Miền đa giác H được kí hiệu là  H 

3.Các tính chất của đa giác

a) Trong mặt phẳng cho điểm A và một số  > 0, tập hợp tất cả nhữngđiểm cách A một khoảng < được gọi là lân cận của điểm A Nói cáchkhác lân cận  của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đường tròntâm A bán kính  Lân cận đó đươc kí hiệu là  A,  

i) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm trong của đa giác H là có một lân cận  của A chứa trong

 A,    H 0

H 0 , nói khác đi có  > 0 sao cho

Thật vậy, nếu A là điểm trong của H, ta có thể chọn  là số dương,sao cho  < AM với mọi điểm M  H Khi đó nếu điểm B   A,   thìhiển nhiên đoạn thẳng AB cũng không cắt H Vì A là điểm trong nên B cũng là điểm trong.

Ngược lại nếu điểm A có lân cận  A,    H 0

tức A là điểm trong

thì cố nhiên A H 0

ii) Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là có một lân cận

 của A chứa trong H  :  A,    H  .

Từ đó suy ra :

iii) Nếu A H thì mọi lân cận  A,  

ngoài của H.

đều có chứa điểm trong và điểm

b ) Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác H, và hai cạnh có chung đỉnh

A là AB và AC Ta có thể lấy một lân cận  A,   với  đủ nhỏ sao cho

nó không có điểm chung với các cạnh khác của H ngoài hai cạnh AB và

AC Khi đó lân cận  A,   được phân thành hai phần : một phần nằmtrong góc BAC mà ta kí hiệu là phần I, và phần kia nằm ngoài góc BAC

mà ta kí hiệu là phần II Hiển nhiên nếu một trong hai phần đó chứa mộtđiểm trong (tương ứng một điểm ngoài) của H thì mọi điểm của phần đóđều là điểm trong (tương ứng là điểm ngoài) của H

Vì lân cận A,   phải chứa cả điểm ngoài và cả điểm trong nên tasuy ra: Một trong hai phần đó chứa trong

H 

H 0 , và phần kia chứa trong

Định nghĩa : Đỉnh A gọi là đỉnh lồi nếu phần I chứa trong

gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong H 

Định lí : Mỗi đa giác có ít nhất là một đỉnh lồi

H 0 , và

4 Đường chéo của đa giác

ĐN: Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh không kề nhau của một đa giác gọi là

đường chéo của đa giác đó

ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n – giác đơn có thể phân

hoạch thành 2 đa giác có số cạnh bé hơn

5 Cách gọi tên đa giác.

Đa giác thường được gọi theo số cạnh của nó, người Việt thường dùng các từ chỉ số lượng Hán- Việt Ví dụ:

Tên đa giác tam giác tứ giác ngũ giác lục giác bát giác thập giác

Tuy nhiên gần đây có xu hướng Viêt hóa các từ này.Trừ các tam giác và

tứ giác đã quá quen thuộc, người ta đã bắt đầu gọi hình năm cạnh thaycho ngũ giác,hình sáu cạnh thay cho lục giác,hình mười cạnh thay chothập giác…,tuy chưa thông dụng lắm.Đặc biệt đa giác với các số cạnhlớn đã thường xuyên dùng với từ Việt hóa: hình mười cạnh,hình haimười cạnh,…Nếu cẩn trọng thì dùng từ :đa giác mười cạnh,đa giác haimươi cạnh.Sở dĩ như vậy vì các từ Hán- Việt chỉ số đếm như thập nhất,thập nhị đã dần xa lạ đa số người Việt

6.Đường tròn ngoại tiếp

Trong Hình học, đường tròn ngoại tiếp của một đa giác là một đườngtròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác

Một đa giác có đường tròn ngoại tiếp được gọi là đa giác nội tiếp đườngtròn.Tất cả các đa giác đều, các tam giác và các hình chữ nhật đều là đagiác nội tiếp đường tròn

Một khái niệm có liên quan là bao tròn nhỏ nhất, đó là đường tròn nhỏnhất chứa toàn bộ đa giác ở bên trong Không phải mọi đa giác đều cóđường tròn ngoại tiếp thì, nhưng mọi đa giác đều có bao tròn nhỏ nhất.Thậm chí một đa giác có đường tròn ngoại tiếp thì đường tròn đó có thểtrùng với bao tròn nhỏ nhất; ví dụ, một tam giác tù, bao tròn nhỏ nhấtcủa nó có đường kính là một cạnh nhưng nó không đi qua đỉnh góc tùcủa tam giác

II MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC VD1:

Cho hình n_ giác lồi

Chứng mính rằng tổng các góc của hình n_giác bằng (n - 2)1800.Giải:

Vẽ các đường chéo xuất phát từ một định của n_ giác đó

Khi đó các đường chéo và các cạnh của đa giác tạo thành n – 2tam giác.

Tổng các góc của hình n_ giác bằng tổng các góc của (n - 2) tamgiác

Vì tổng số đo các góc trong 1 tam giác bằng 180

Vậy tổng số đo các góc của hình n_giác bằng (n - 2).1800

VD2: Chứng minh hình n_ giác có tổng tất cả

Giải:

n  n  3  2

đường chéo

Cách 1: Từ mỗi đỉnh của hình n_ giác ta có thể vẽ được (n - 1)đoạn thẳng nối từ đỉnh đó với (n - 1) đỉnh còn lại của đa giác (trong đó

có 2 đoạn thẳng trùng với hai cạnh của đa giác)

Qua mỗi đỉnh của hình n_giác vẽ được n – 1 – 2 = n – 3 đườngchéo

Do đó hình n_ giác vẽ được n(n - 3) đường chéo

Vì mỗi đường chéo được tính 2 lần nên trong hình n_ giác có tất

+ Mặt khác trong số này có n đoạn thẳng là cạnh của hình n _

Vậy hình n_ giác có n(n 21) - n = n(n 2 3) đường chéo.

III PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC

1 Tính số cạnh của một đa giác

2 Tính số đo góc trong một đa giác

3 Bài toán liên quan đến đường chéo của đa giác

4 Diện tích đa giác

5 Các khoảng cách trong đa giác

6 Ứng dụng định lí Ptoleme trong giải bài toán đa giác

IV.MỘT SỐ BÀI TOÁN

1 Tính số cạnh của một đa giác.

2 : Tính số cạnh của một đa giác, biết đa giác đó có:

a Tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài ( tại mỗi đỉnh của đa giác chỉ kẻ một góc ngoài)

b Số đường chéo gấp đôi số cạnh

c Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 Giải:

a Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3)

+ Tổng số đo các góc trong của đa giác là (n - 2).1800.

+ Tổng số đo các góc ngoài của 1 đa giác là 3600

Theo giả thuyết ta có: (n - 2).1800 = 3600  n = 4

Vậy số cạnh của đa giác đó là n = 4

b Gọi số cạnh của đa giác là n (n > 3)

Số đường chéo của đa giác gấp 2 lần sô cạnh của đa giác nên ta

n(n-3)2

= 2n  n2 – 3n = 4n  n = 7

Vậy đa giác đó có 7 cạnh

c Tổng các góc trong trừ đi một góc của đa giác bằng 25700 nên:

Giải:

+ Giả sử sau n lần cắt ta nhận được 100 đa giác 20 cạnh

Sau mỗi lần cắt số đỉnh tăng nhiều nhất là 4 đỉnh

Vậy sau n lần cắt số đỉnh sẽ không vượt quá 4n + 4 đỉnh

+ Sau mỗi lần cắt số mảnh giấy tăng thêm 1  Sau n lần cắt số mảnh giấy là n + 1.

+ Số mảnh giấy không phải là hình 20 cạnh bằng n + 1 – 100 = n –

99  Tổng số đỉnh của các đa giác này là 3(n - 99) đỉnh

4 : Trong mặt phẳng cho n đường thẳng đôi một cắt nhau và không

có 3 đường thẳng nào đồng quy Chứng minh rằng:

a Khi n  1 thì đường thẳng đó chia mặt phẳng thành Pn =

+ (n - 1) + 2 n2

- n + 2

2 2

Đường thẳng dn bị n – 1 đường thẳng nói trên chia thành n phần(trong đó có n – 2 đoạn thẳng và 2 tia), ta gọi các phần đó là

Δn

1 , 2 ,…

Mỗi Δi

đều nằm trong một và chỉ một Dj nào đó và chia Dj thành

2 phần bởi vậy số phần mà n đường thẳng phân chia là:

Bây giờ ta giả sử mệnh đề b, đúng với n – 1 đường thẳng (n  4)

và ta chứng minh b, đúng cho trường hợp n đường thẳng

Giả sử ta có n đường thẳng d1, d2, …dn (đôi một cắt nhau và không

có 3 đường thẳng nào đồng quy) Vì mệnh đề đúng đối với n – 1 đườngthẳng d1, d2, …dn -1 nên trong số phần chúng phân chia mặt phẳng có :

 Mệnh đề đúng cho trường hợp n đường thẳng  đpcm.

5 : Tổng tất cả các góc trong và một trong các góc ngoài của đa giác

là 22250 Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

2 Tính số đo góc trong đa giác

2 : Cho ngũ giác lồi ABCDE

a Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB,BC,DE,EA; I

và K lần lượt là trung điểm của QN, MP Chứng minh rằng IK= 1 CD

+ Dựng Δ đều EFB sao cho F và C ở cùng

tổng các góc ngoài của nó sẽ lớn hơn 3600 (vô lí vì trong một đa giác lồibất kì tổng các góc ngoài chỉ bằng 3600)

Vậy một đa giác lồi không thể có quá 3 góc nhọn



Bài 5 : Cho ngũ giác lồi ABCDE có tất cả các cạnh bằng nhau và

A□BC = 2D□BE Hãy

+ 900 - D□E

A 2

1 : Cho lục giác đều ABCDEF, M và N theo thứ tự là trung điểm của

CD và DE Gọi I là giao điểm của AM và BN

5 : Cho lục giác lồi ABCDEF có các cặp cạnh đối AB và DE, BC và

EF, CD và AE vừa song song vừa bằng nhau Lục giác ABCDEF có nhấtthiếy là lục giác đều hay không?

9 : Cho hình vuông ABCD Ta lấy các điểm P, Q trên các cạnh AB

và BC tương ứng sao cho BP = BQ Giả sử H là chân đường vuông góc

hạ từ điểm B xuống cạnh PC Chứng minh rằng D□HQ = 1v.

Bài

10 : Cho hình thang cân ABCD( BC□AD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA

a Chứng minh MP là tia phân giác của góc Q□MN

b Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với 2 đường chéo để M□NQ = 450

Bài

11 : Cho hình vuông ABCD, độ dài cạnh bằng đơn vị Gọi P và Q là

2 điểm lần lượt trên các cạnh AB và AD Chứng minh: Chu vi

15 : Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằngnhau thì có ít nhất một góc là góc tù

Bài 16: Cho tứ giác ABCD có

B□AC  25,C□AD  75, □ABD  40,C□BD  85 Tính số đo

Chằng hạn:

+ Một đa giác 10 cạnh có số đường chéo là 10(102  3)  35

+ Nếu đa giác có số đường chéo là 35 thì số cạnh là bao nhiêu?

Ta có n(n  3) = 35  n2 – 3n = 70  (n  3)2  17 )2  n  10

Vậy đa giác đó có 10 cạnh

+ Nếu đa giác có số đường chéo là 36 thì số cạnh sẽ là bao nhiêu?

Giải pt n(n  3) = 36 với n nguyên dương ta thấy phương trình này vô

2

nghiệm, nghĩa là không tồn tại đa giác có số đường chéo đúng là 36Nhận xét: Không phải bất lì một số nguyên dương nào cũng là số đường chéo của một đa giác

+ Một câu hỏi đặt ra là có tồn tại đa giác có số cạnh bằng số đường chéo không?

2

Vậy đa giác duy nhất có số cạnh bằng số đường chéo là ngũ giác.

+ Tương tự như vậy chúng ta cũng có thể trả lời được những câu hỏi như

có tồn tại hay không đa giác có số đường chéo lớn gấp k lần số cạnh hay

là tìm số cạnh của một đa giác biết số đường chéo nằm trong một khoảngxác đinh

1 : Tính số đường chéo của hình 5 cạnh đều, 9 cạnh đều

Giải: + Số đường chéo của hình 5 cạnh đều là: 5(5  3)  5

Mặt khác: AA’ + B’C < AC

BB’ + C’D < BDCC’ + D’E < CEDD’ + E’A < DAEE’ + A’B < EB

11

2 3 2 15 2 11 3 15

( )  (n  )  ( )   n  

 AB + BC + CD + DE + EA < AC + BD + CE + DA + EB.

Bài

3 : Chứng minh rằng nếu trong một lục giác lồi mỗi một trong 3đường chéo chính nối các cặp đỉnh đối diện chia lục giác thành 2 phầntương đương thì 3 đường chéo này đồng quy

Chứng minh:

+ Giả sử ABCDEF là lục giác đã cho

Gọi H là giao điểm của AD và CF