Luận văn một số kết quả về định lý paley wiener

ch ng minh.. Ch ng minh đư c hoàn thành... Khi đóδa là hàm suy r ng tăng ch m.. Ch ng minh đư c hoàn thành... Ch ng minh đư c hoàn thành... Ch ng minh đư c hoàn thành... Nên theo đ nh lý

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

L i cám ơn

Trư c khi trình bày n i dung chính c a lu n văn, tôi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c c a mình t i TS Vũ Nh t Huy, ngư i đã t n tình giúp đ và

ch b o tôi trong su t quá trình hoàn thành lu n văn t t nghi p

Tôi cũng xin chân thành cám ơn s giúp đ c a các th y giáo, cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin h c, trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà

N i và Khoa sau đ i h c, đã nhi t tình truy n th ki n th c và t o đi u ki n giúp đ tôi hoàn thành khóa Cao h c

Tôi xin bày t lòng bi t ơn đ n gia đình, b n bè đã luôn đ ng viên và khuy n khích tôi r t nhi u trong th i gian nghiên c u và h c t p

Do m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c và còn h n ch v th i gian

th c hi n nên lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót Tôi kính mong nh n đư

c ý ki n đóng góp c a các th y cô và các b n đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn

Hà N i, 11/2015

Đ ng Văn Ti n

2

M cl c

1 CÁC KHÔNG GIAN HÀM CƠ B N VÀ KHÔNG GIAN HÀM

1.1 Không gian hàm cơ b n ∆(Rn) 6

1.2 Không gian các hàm suy r ng ∆ (Rn) 7

1.3 C p c a hàm suy r ng 8

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn) 10

Không gian các hàm suy r ng tăng ch m Σ (Rn) 11

Giá c a hàm suy r ng 13

Không gian hàm suy r ng v i giá compact Ε (Rn) 14

Tích ch p 15

Phép bi n đ i Fourier 16

1.9.1 Phép bi n đ i Fourier trong không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn) 16

1.9.2 Phép bi n đ i Fourier trong không gian Σ (Rn) và Ε (Rn) 23 2 D NG PH C C A Đ NH LÝ PALEY- WIENER 25 2.1 D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) 25

2.2 D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c Ε (Rn) 28

3 D NG TH C C A Đ NH LÝ PALEY- WIENER 30 3.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c ∆(Rn) 30

3.1.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact b t kì 30 3.1.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i dãy s 35

3.1.3 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa

th c 40 3.1.4 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i 42

3.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm thu c Ε (Rn) 43

3.2.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact

b t kì 43 3.2.2 D ng th

c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i dãy

s 48 3.2.3 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i đa

th c 50 3.2.4 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p l i 51

4

M đu

Bi n đ i Fourier đư c đ t tên theo nhà toán h c ngư i Pháp Joseph Fourier,

là m t trong nh ng hư ng nghiên c u quan tr ng c a Toán h c nói chung và c a Gi

i tích nói riêng Phép bi n đ i Fourier là m t trong l p nh ng phép bi n đ i tích phân ph bi n nh t, có ng d ng r ng rãi nh t

Lu n văn này đ c p t i nghiên c u m t s tính ch t c a hàm kh vi vô h n thông qua giá c a bi n đ i Fourier V n đ này có ý nghĩa r t l n đ i v i

ng d ng vào gi i quy t nh ng bài toán khó khác nhau trong Gi i tích hàm,

Phương trình vi phân đ o hàm riêng, Lý thuy t hàm suy r ng, Lý thuy t nhúng, Lýthuy t x p x , Lý thuy t sóng nh

Ngoài ph n m đ u, k t lu n và tài li u tham kh o, lu n văn đư c chia làm

ba chương:

Chương 1: Các không gian hàm cơ b n và không gian hàm suy r ng Chương này lu n văn trình bày nh ng ki n th c cơ b n v không gian các hàm cơ b

n, không gian các hàm suy r ng, tích ch p c a hàm suy r ng, phép bi n đ i

Fourier c a m t hàm cơ b n, c a hàm suy r ng, các đ nh lý và k t qu liên quan đ n

lu n văn làm cơ s đ xây d ng n i dung chương ti p theo

Chương 2: M t s k t qu v d ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener Chương này lu n văn đưa ra đi u ki n c n và đ đ m t hàm s là bi n đ i Fourier c a hàm s

có giá ch a trong m t hình c u tâm 0, bán kính R cho trư c

và bi n đư c xét đây là bi n ph c

Chương 3: M t s k t qu v d ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener Chương này

lu n văn trình bày d ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p

compact b t kì, t p sinh b i dãy s , t p sinh b i đa th c và cho t p l i

Trư c khi nghiên c u v không gian các hàm cơ b n, lu n văn ch ra m t s ký

hi u đư c trình bày trong lu n văn

Bây gi là lúc ta có th phát bi u đ nh nghĩa, đ nh lý, đ ng th i đưa ra các ví

d minh h a đ làm rõ v không gian các hàm cơ b n

Đ nh nghĩa 1.1 Không gian ∆(Rn) là không gian g m các hàm ϕ ∈ C∞(Rn) 0

v i khái ni m h i t sau: dãy {ϕ j}∞ các hàm trong C∞(Rn) đư c g i là h i t

Đ nh nghĩa 1.2 Ta nói r ng f là m t hàm suy r ng trong Rn n u f là m t phi m hàm tuy n tính liên t c trên ∆(Rn)

Hàm suy r ng f ∈ ∆ (Rn) tác đ ng lên m i ϕ ∈ ∆(Rn) đư c vi t là f, ϕ Hai

hàm suy r ng f, g ∈ ∆ (Rn) đư c g i là b ng nhau n u

f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ ∆(Rn )

T p t t c các hàm suy r ng trong Rn l p thành không gian ∆ (Rn )

Chú ý 1.1 Trên ∆ (Rn) có th xây d ng m t c u trúc không gian vectơ trên C, nghĩa là ta có th đ nh nghĩa các phép toán tuy n tính như sau

(i) phép c ng: v i f, g ∈ ∆ (Rn) t ng f + g đư c xác đ nh như sau

khi đó,λf ∈ ∆ (Rn), nghĩa là,λf là phi m hàm tuy n tính liên t c trên ∆(Rn)

Hơn th , ta còn có th đ nh nghĩa phép nhân v i m t hàm trong C∞(Rn)

V iφ ∈ C∞(Rn ), f ∈ ∆ (Rn) tíchφf ∈ ∆ (Rn) đư c xác đ nh như sau

Như v y, có th coi L1(Rn) là t p con c a ∆ (Rn) Hàm suy r ng f ∈ L1(Rn)

đư c g i là hàm suy r ng chính quy

V i f, g ∈ L1(Rn), thì s b ng nhau theo nghĩa hàm suy r ng và theo nghĩa thông

thư ng là như nhau, nghĩa là

f, g ∈ L1(Rn ), f (x)ϕ(x)dx = g(x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ ∆(Rn)

thì f = g, h.k.n trong Rn

Đ nh nghĩa 1.3 Cho K ⊂ Rn , f ∈ ∆ (Rn) Ta nói hàm suy r ng f có c p h u

h n trên K n u có m t s nguyên không âm k và m t s dương C sao cho

| f, ϕ | ≤ C sup |Dαϕ(x)| , ∀ϕ ∈ C∞(Rn ), suppϕ ⊂ K 0

|α|≤k x∈K

8

(1.1)

S nguyên không âm k nh nh t trong các s nguyên không âm mà ta có b t

đ ng th c (1.1) đư c g i là c p c a hàm suy r ng f trên t p K N u không có m t s nguyên không âm k nào đ có (1.1) v i s dương C nào đó, thì ta nói r ng, hàm suy r ng f có c p vô h n trên K Đ đơn gi n, ta nói r ng, hàm suy

Đ nh lý 1.1 M i phi m hàm tuy n tính f trên ∆(Rn) là m t hàm suy r ng khi

và ch khi, trên m i t p compact K ⊂ Rn, có m t s nguyên không âm k và m t

s dương C sao cho

| f, ϕ | ≤ C sup

n |Dαϕ(x)| = C ϕ

|α|≤k x∈ R

C k( Rn), ∀ϕ ∈ C∞(Rn ), suppϕ ⊂ K 0

Ch ng minh Đ ch ng minh đi u ki n đ ta ch c n ch ng minh tính liên t c

c a f t i g c, nghĩa là n u có m t dãy {ϕ j}∞ trong C∞(Rn) mà ∆−

j l

→∞ ϕ j = 0 thì

∈

∆

(R

n

),

trái

v

i

gi

thi

t

ch

ng

minh

1 4

K h ô n g

g i a n

c á c

h à m

g i m

n h a n h Σ

( R

n

)

Đ

nh

nghĩa

1

4

Không

gian

Σ

(R

n

)

là

ϕ

(

x

)làhàmgimv0khi

x

→

∞

nhanh

ơn b t

kỳ hàm

có d

ng như sau

1/P (x) ,

x ∈

Rn

Vì v

y, chún

g ta g

i Σ

(Rn)

là khôn

g gian các

hàm

gi

m

nha

h

Ví d 1.4 Không gian C∞(Rn) là không gian con c a không gian các hàm gi m 0

nhanh

Σ

(R

n

)

Ch

ng

minh

Xét

hàm

n đ n hàm

ϕ ∈ Σ

(Rn), t đây suy

ra đư c

C∞(Rn)

là không 0

gian

co

n

c

a

không

gian

các

hàm

gi

m

nhanh

Σ

(R

n

)

Ch

ng

minh

đư

c

hoàn

thành

10

x

2

e

−

x

n

Q

1

, x

2

, , x

∈

Z

n

, x

suy

ra

ng

minh

đư

c

hoàn

thành

Đ nh nghĩa 1.5 Ta nói r ng f là hàm suy r ng tăng ch m n u f là m tphi m

ch m Σ (Rn) là t p h p t t c các hàm suy

Trên không gian các hàm suy r ng tăng ch m Σ (Rn) có th xây d ng m t

c u trúc không gian vectơ trên Rn, nghĩa là ta có th đ nh nghĩa các phép toán tuy n tính như sau

Hơn th , ta có th đ nh nghĩa phép nhân c a hàm suy r ng tăng ch m f v i

m t đa th c P (x) như sau

P (x)f : ϕ → f, P ϕ ∀ϕ ∈ Σ (Rn )

Khi đó P (x)f ∈ Σ (Rn )

Ví d 1.6 Hàmδa Dirac t i a là phi m hàm xác đ nh như sau

δ, ϕ = ϕ (−a) ∀ϕ ∈ Σ (Rn )

Khi đóδa là hàm suy r ng tăng ch m

Ch ng minh Hi n nhiên ta th y hàm Dirac t i a là m t phi m hàm tuy n tính,

δa, ϕ k = ϕ k (−a) ∀ϕ ∈ Σ (Rn ) , k = 1, 2,

Nên ta nh n đư c

lim δa, ϕ k = δa, ϕ ∀ϕ ∈ Σ (Rn )

k→∞

V y nênδa là hàm suy r ng tăng ch m Ch ng

minh đư c hoàn thành

Trư c h t, ta đ nh nghĩa th nào là hai hàm suy r ng tăng ch m b ng nhau t i

m t đi m trong Rn Cùng v i đó ta s đ nh nghĩa giá c a hàm suy r ng trong không gian các hàm tăng ch m Σ (Rn)

Đ nh nghĩa 1.6 Cho x ∈ Rn, các hàm suy r ng f, g ∈ Σ (Rn) Ta nói r ng

hàm suy r ng f = g t i x n u t n t i m t lân c n mω ∈ Rn c a x đ

f , ϕ = g, ϕ ∀ϕ ∈ Σ (Rn ) , supp ϕ ⊂ω

T đ nh nghĩa trên, ta th y r ng hàm suy r ng f = g t i x ∈ Rn, n u v i m i

lân c n mω ⊂ Rn c a đi m x đ u t n t i m t hàm ϕ ∈ C∞(Rn ), supp ϕ ⊂ω0

sao cho

f , ϕ = g, ϕ

Đ nh nghĩa 1.7 (Giá c a hàm suy r ng)

Cho hàm suy r ng f ∈ Σ (Rn) Giá c a hàm suy r ng f đư c xác đ nh như sau

Ch ng minh đư c hoàn thành

Trong ph n này, ta s nghiên c u v đ c đi m c a hàm suy r ng v i giá compact

Ε (Rn) Trư c tiên, ta s đi vào khái ni m h i t trong không gian Ε (Rn)

Đ nh nghĩa 1.8 Không gian Ε (Rn) là không gian tôpô tuy n tính các hàm

ϕ ∈ C∞ (Rn) v i khái ni m h i t như sau: dãy {ϕ k}∞=1 các hàm trong không k

Khi đó, không gian hàm cơ b n Ε (Rn) là không gian đ y đ và t p C∞ (Rn) là 0

t p trù m t trong không gian hàm cơ b n Ε (Rn)

Đ nh nghĩa 1.9 M t phi m hàm tuy n tính liên t c xác đ nh trong không gian hàm cơ b n Ε (Rn) đư c g i là m t hàm suy r ng xác đ nh trên không gian hàm

cơ b n Ε (Rn) T p h p t t c các hàm suy r ng xác đ nh trong không gian hàm cơ b

n Ε (Rn), ký hi u là Ε (Rn )

14

Đ nh lý 1.2 i) Gi s f là hàm suy r ng có giá compact Khi đó, ta có th

thác tri n f lên thành phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian hàm cơ

b n Ε (Rn)

ii) Gi s f là phi m hàm tuy n tính liên t c trên không gian hàm cơ b n Ε (Rn) Khi

đó, ta có th thu h p hàm f trên không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn)

thành hàm suy r ng có giá compact

M nh đ 1.2 i) Cho hàm suy r ng f ∈ Ε (Rn ) , ϕ ∈ C∞ (Rn) và 0

suppf ∩ suppϕ =∅khi đó,

f, ϕ = 0

ii) Cho hàm suy r ng f ∈ Ε (Rn ) , ϕ ∈ C∞ (Rn) khi đó, supp (fϕ) ⊂ suppϕ∩suppf 0

Hơn n a, các hàm suy r ng f, g ∈ Ε (Rn) khi đó, supp(f + g) ⊂ suppf ∪ suppg

xác đ nh v i h u h t x ∈ Rn(nghĩa là t p các giá tr x ∈ Rn đ tích phân trên không t n t i là

t p có đ đo không) và hàm kh tích đ a phương trên Rn bi n x

thành Rn f (x − y) g (y)dy đư c g i là tích ch p c a hàm f và hàm g, ký hi u là

f ∗ g Như v y

(f ∗ g) (x) = f (x − y) g (y)dy = f (y) g (x − y)dy

Ta g i f ∗ g là tích ch p c a hàm f và hàm g Rõ ràng trong trư ng h p này

tích ch p c a hàm f và hàm g, và tích ch p c a hàm g và hàm f là như nhau Đi u này có nghĩa là tích ch p có tính giao hoán f ∗ g = g ∗ f

Đ nh nghĩa 1.11 (Tích ch p c a hàm suy r ng thu c ∆ (Rn) và ∆(Rn)) Cho

Đ i tư ng chính c a lu n văn nghiên c u trong ph n này, s là phép bi n đ i

Fourier c a nh ng hàm thu c không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn), không gian các hàm tăng ch m Σ (Rn), không gian hàm suy r ng v i giá compact Ε (Rn) 1.9.1 Phép bi n đ i Fourier trong không gian các hàm gi m

Bây gi ta xét các tính ch t nh Fourier, nh Fourier ngư c c a hàm thu c

không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn) B ng cách đi nghiên c u k hơn các

m nh đ sau đây, d a trên tài li u (xem [1], [2], [5])

Đ nh lý 1.4 Cho hàm ϕ ∈ Σ (Rn) Khi đó Φϕ, Φ− 1ϕ ∈ Σ (Rn) và

• DαΦϕ (ξ) = (−i)|α|Φ (xαϕ (x)) (ξ) , DαΦ− 1ϕ (ξ) = i|α|Φ− 1 (xαϕ (x)) (ξ) ,

•ξαΦϕ (ξ) = (−i)|α|Φ (Dαϕ (x)) (ξ) , ξαΦ− 1ϕ (ξ) = i|α|Φ− 1 (Dαϕ (x)) (ξ)

16

Ch ng minh Theo đ nh nghĩa phép bi n đ i Fourier c a hàm ϕ thu c không

Đ i v i phép bi n đ i Fourier ngư c Φ− 1 ta ch ng minh tương t

Ch ng minh đư c hoàn thành

Nên theo đ nh lý Fubini, có

Ch ng minh S d ng đ nh nghĩa bi n đ i Fourier cho hàmψ (x) trong không

Dư i đây lu n văn s trình bày m t s tính ch t khác c a phép bi n đ i

Fourier, trong không gian các hàm gi m nhanh Σ (Rn)

1.9.2 Phép bi n đ i Fourier trong không gian Σ (Rn) và Ε (Rn)

Trong ph n này, lu n văn s phát bi u tiêu chí xác đ nh nh Fourier, nh Fourier ngư c c a hàm suy r ng thu c không gian các hàm suy r ng Σ (Rn) và Ε (Rn) Sau đó, lu n văn s d ng đ nh nghĩa đư c nêu trên, đ v n d ng vào gi i ví d

minh h a kèm theo

Đ nh nghĩa 1.14 Cho hàm f ∈ Σ (Rn) nh Fourier c a hàm suy r ng tăng

ch m f, ký hi u là f (hay Φf), là hàm suy r ng tăng ch m đư c xác đ nh b i

Khi đó bi n đ i Fourier và bi n đ i Fourier ngư c c a hàmδ0 đ u là hàm

h ng (2π)−n/2 Ch ng minh đư c hoàn thành

23

Đ nh nghĩa 1.16 Cho hàm suy r ng f ∈ Ε (Rn)

Do không gian Ε (Rn) ⊂ Σ (Rn) nên nh Fourier Φf đư c xác đ nh như sau

Đ nh lý 2.1 Choψ : Cn → C là hàm nguyên và s dương R Khi đó, đi u ki n

c n và đ đ có m t hàm ϕ ∈ C∞ (Rn ) , supp ϕ ⊂ Β[0, R] sao choψ (ζ) = Φϕ (ζ) 0

hàm nguyên trên Cn nên nó gi i tích theo t ng bi n, ta có

2.2 D ng ph c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho hàm

thu c Ε (Rn)

Đ nh lý 2.2 Choψ : Cn → R là hàm nguyên Khi đó, đi u ki n c n và đ

đ có m t s R > 0, m t hàm suy r ng f ∈ Ε (Rn ), supp f ⊂ Β[0, R] sao cho

là hàm nguyên trên Cn

L i có, doρε ∈ C∞ (Rn), supp(ρε) ⊂ Β[0, ε] nên theo Đ nh lý Paley- Wiener cho 0

hàm thu c không gian ∆(Rn) v i m i N1 > 0, đ u có m t s C N1 > 0 đ

Chương 3

D NG TH C C A Đ NH LÝ

PALEY- WIENER

Trong chương 3 này lu n văn s trình bày đi u ki n c n và đ lên bi n đ i

Fourier đ hàm s có giá compact ch a trong m t t p compact K cho trư c, các v n

đ này đư c tham kh o trong tài li u [4]

thu c ∆ (Rn)

Trong m c 3.1 này lu n văn s trình bày đi u ki n c n và đ lên bi n đ i Fourier

đ hàm s đã cho là m t hàm kh vi vô h n và có giá compact ch a trong t p

compact b t kì cho trư c, t p sinh b i dãy s , t p sinh b i đa th c, t p l i

3.1.1 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p compact

Đ nh lý 3.1 Gi s K là m t t p compact b t kì trong Rn Khi đó u(ξ) ∈ C∞(K) 0

khi và ch khi v i N, δ > 0 b t kì t n t i m t h ng s C N,δ sao cho

|P (∆)u(η)| ≤ C N,δ(1 + η )−N sup |P (z)| (3.1)

z∈K( δ )

v i m iη ∈ Rn và v i m i đa th c P (ξ)

Trư c khi ch ng minh đ nh lý, ta s ch ng minh b đ sau

ξ ∈K

31

3 2

đư

| α

|

≤

m

| α

|

≤

m

Do

đó,

th

+

η

β

(∆)u(η) = ηβΦ (P (ξ)u(ξ)(η)) = (−i)|β|Φ ∆βP (ξ)u(ξ) (η)

n

=(

d

ξ

K

= ((2

π

Đi u ki n đ : Gi s đánh giá (3.1) đúng v i m iη ∈ Rn và m i đa th c P (ξ)

ta c n ch ng minh u ∈ C∞(K) Th t v y, áp d ng (3.1) cho đa th c P (x) = xα, 0

θ ∈ suppu, nhưngθ ∈ K Khi đó v i m iδ > 0 thì t n t i m t hàm h ∈ /

C∞(Rn ), supp h ⊂ B(θ, ) sao cho u, h = 0. Ta đ nh nghĩa 0

Q(x) = t − (x −θ)2,

Đi u này là mâu thu n Đi u ph i ch ng minh

3.1.2 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i

Ch ng minh Gi s K là t p compact l i đ i x ng trong Rn

Khi đó, rõ ràng, K th a mãn (3.7) Hơn n a, gi s y ∈ K Khi đó có m t vectơ /

Do (3.7), y ∈ K khi và ch khi (|y1| , , |y n|) ∈ K Do đó, đi u này là đ khi ta

Ch ng minh Đi u ki n c n: Gi s u(ξ) ∈ C∞(K) và N > 0, δ là các s dương 0

cho trư c Ta c n ch ng minh t n t i h ng s C N,δ th a mãn đánh giá (3.10)

Áp d ng Đ nh lý 1.4 ta có:

Dαu(η) = (−i)|α|Φ(ξαu(ξ))(η)

37

θ ∈ suppu, nhưngθ ∈ K Khi đó v i m iδ > 0 thì t n t i m t hàm h ∈ /

C∞(Rn ), supp h ⊂ B(θ, ) sao cho u, h = 0. T K = g(K) t n t iγ ∈ Zn sao cho

Đi u này là mâu thu n Đi u ph i ch ng minh

3.1.3 D ng th c c a Đ nh lý Paley- Wiener cho t p sinh b i

M t khác, có ít nh t m − |ν| ≥ m − N đa ch s b ng không trong sθ1, , θm

Do đó, k t h p u ∈ Σ, (3.18), phương trình cu i và đ nh nghĩa c a Q(P ) cho m t

h ng s C không ph thu c vào m vàβ sao cho