Một số vấn đề về Spline đa thức và ứng dụng

Saucùngtácgiảxingửilờicảmơnchânthànhnhấtđếngiađình,bạnbèđãluônquantâm,độngviêngiúpđỡtácgiảtrong suốtthờigianhọctậpvà hoànthànhluậnvăn... Giảthuyếtkhoahọc Trìnhbàyhệthốnghóalạinhữngvấnđềc

Tácg i ảx i n b à y tỏlòngbiếtơnc h â n t h à n h v à s â u s ắcnhấtđếnT S NguyễnVănKhải-

Ngườithầyđãtậntâm,nhiệttìnhchỉbảo,giúpđỡtácgiảt r o n g suốtquátrìnhhìnhthành,nghiêncứuvàhoànchỉnhluậnvăn

Tácg i ảx i n t r â n trọngc ảmơ nc á c thầy,c ô g i á o t r o n g K h o a Toán,PhòngSauđạihọcTrườngĐạihọcSưphạmHàNội2,tổToántrườngTHPTL ụcNgạnsố1-

BắcGiangđãtạomọiđiềukiệnthuậnlợivàgiúpđỡtácgiảhoànthànhluậnvănnày

Saucùngtácgiảxingửilờicảmơnchânthànhnhấtđếngiađình,bạnbèđãluônquantâm,độngviêngiúpđỡtácgiảtrong suốtthờigianhọctậpvà hoànthànhluậnvăn

HàNội,tháng10năm2009

Tácgiả

Tôix i n c a m đ oanluậnv ănn à y l à c ô n g trìnhn g h i ê n cứucủar i ê n g t ô i , dướisựhướngdẫncủaTS.NguyễnVănKhải

Trongkhinghiêncứuluậnvăn,tôiđãkếthừathànhquảnghiêncứucủac á c nhàkhoahọc,cácnhànghiêncứuvớisựtrântrọngvàbiếtơn

HàNội,tháng 10

năm2009Tácgiả

Mụclục Trang

Trangp h ụb ì a … … … …

… … 2 Lờicảmơn………

…… 3Lờicam đoan………

…… 4Mụcl ục… … … …

… … … 5

MỞ ĐẦU 6

Chương1 8

MỘTSỐKIẾNTHỨCCHUẨNBỊ 8

1.1 Mộtsốkháiniệmgiảitíchhàm……….81.1 1Khônggianvéctơ 8

1.1.2 Khônggianmêtric 10

1.1.3 KhônggianBanach 12

1.1.4 KhônggianHilbert 15

1.2 Matrậnđườngchéotrộivàđathứcnộisuy 16

1.2.1 Ma trậnđườngchéo trội 16

1.2.2 ĐathứcnộisuyLagrange……….171.2 3Đathức nộisuyHermite 17

Chương2 18

CÁCSPLINEĐATHỨCBẬCBA 18

2.1 Các splineđa thứcbậcbavớimốccáchđều 18

2.2 Splineđa thức vớimốckhôngđều 33

2.3 Mộtsốtínhchấtcủasplinebậcba 36

2.4 Nộisuybậcbavớisựlàmtrơn 40

Chương3 45

SPLINETỔNGQUÁTVÀXẤPXỈHÀMnBIẾN(n2) 45

3.1 Splineđathức tổngquát 45

3.1.1 Mộtsốkháiniệm vềsplinevàphươngtrìnhviphân 45

3.1.2 Splineđa thứctổngquát 51

3.2 Xấpxỉhàmnbiến(n 2) 57

Kếtluận 74

Tàiliệuthamkhảo……… 75

1 Lídochọnđềtài

MỞĐẦU

Lýthuyếtđ athứcn ộisuyc ó lịchsửp h á t triểnlâud à i c ù n g vớiv a i t r ò q u a n tr ọngcủalýthuyếtnày,trongcảtoánhọclýthuyếtcũngnhưtrongtoánh ọcứngdụngvà cácvấnđềthuộckhoahọckỹthuậtkhác

TrongcácđathứcnộisuythôngthườngnhưlàđathứcLagrange,New ton, Hermitecóhạnchếcănbảnlànếutăngmốcnộisuythìnóichunglàbậccủađ at h ứcn ộisuycũngtăngl ê n t h e o , điềun à y rấtk h ô n g thuậntiệnt r o n g tínhtoáncụthể.Đểkhắcphụchạnchếđó,ngườitađãđề xuấtcác phươnghướngkhác n h a u vàmộttrongnhữnghướngđólàđềxuấtcáchàmsplineđathức.

Cácsplineđathứccóưuđiểmlàdùmốcnộisuytănglênnhưngxéttrênmỗiđoạnconcủabàitoánnộisuynóchỉcóbậcthấp(bậc 3nếutaxétcácsplinebậc3)

Vớimụctiêumuốntìmhiểunhữngkháiniệmcơbảnvềcáchàmspline,t ô i đãchọnđềtài:

“Mộtsốvấnđ ề vềsplineđ athứcvàứngd ụng” đ ể t h ựch i ệnluậnvăntố

Sửdụngcácphươngphápcủagiảitíchhàmvàcủalýthuyếtnộisuy

5 Giảthuyếtkhoahọc

Trìnhbàyhệthốnghóalạinhữngvấnđềcơbảncủalýthuyếtnộisuyvànêu mộtvàiápdụngcủađathứcnộisuyspline

6 Bốcụccủaluậnvăn

Nộidungcủaluậnvănchủyếugồmbachương:Chương1M

ộtsốkiếnthứcchuẩnbịChương2Cácsplineđ athứcbậcba

Chương3Splinetổngquátvàxấpxỉhàmnbiến(n2)

ur ur ur ure)(x+y) x y Evµx,y

KhiK= R t h ì E đ ư ợ cg ọil à khônggianvéct ơt h ực( h a y k h ô n g g i a n tuyếntínhthực),cònkhiK=CthìEđượcgọilàkhônggianvéctơphức

(i)i= 1,2,

…,nđ ư ợ cg ọil à độclậptuyến

n uur rtínhnếu xii0k é o theoxi0víii1,2, ,n

i1Hệv é c t ơ (uuri)i= 1,2,…,nđ ư ợ cg ọil à p h ụthuộctuyếntínhnếun ó

0 0

n

n

1.1.2 Khụnggianmờtric

Địnhnghĩa1.1.2.1ChoXlàtậpkhỏcrỗng,hàmthực :XxX  Rđượcg ọilà một

khoảngcỏch(haymờtric)trờnXnếucỏc tớnhchấtsauđ ư ợ cthỏam ó n :

a)(x,y)0x,y  Xvà (x,y)0x=y;

b)(x,y)(y,x)x,y  X;

c)(x,z))(x,y)+(y,z))x,y,z) X(bấtđẳngthứctamgiác).Cặp(X, )trongđútậpXkhỏcrỗngcũn làkhoảngcỏchtrờnXgọilàk h ụ n g g

i an mờtric,saunàyt a c ũ nc ú thểviếtX t h a y cho (X ,  )nếu đóđượccốđịnh

nxnếu(xn,x)0khin 

ÁnhxạAtừkhụnggianmờtricXvàokhụnggianmờtric YđượcgọilàliờntụctạiđiểmxX nếuvớimọidóyx

Địnhnghĩa1.1.2.5GiảsửXlàkhụnggianmờtricvàỏnhxạA:X  X.Khiđútanú

i:

a) x Xg ọ i làđiểmbấtđộngcủaAnếuA(x x

x*

A(x*)

.Giảsử, làhaiđiểmbấtđộngcủaA,tacó:

d ụ 1: C[a,b] làmộtkhônggianBanach

Thậtvậy,taxétC[a,b]làkhônggiancáchàmsốliêntụctrên[a,b].Vớix(t),y(t)C[a,b]vàkR,tađịnhnghĩa:

(x+y)(t)=x(t)+y(t) t[a,b];

(kx)(t)=kx(t)t[a,b].a,b]

RừràngC[a,b]cựngvớihaiphộptoỏntrờnlàmộtkhụnggiantuyếntớnhtrờnR

Với xC[a,b],đặ t xmaxx(t)thìtacóthểchứngminhđ−ợc

t[a,b].a,b]

làmộtchuẩnt r ờ n C[a,b]vàC[a,b]cựngvớichuẩnnờ utrờnl à mộtkhụngg ia nBanach

1

⎛  p⎛pVới xlp ,tađặt x ⎛ xn⎛

p

⎛ n1 ⎛Tacúthểchứngminhđược làmộtchuẩntrờnlpvàlpc ự n gvớichuẩnt r ờ n làkhụnggianBanach

(A)x= (Ax)trongđóA,BL(X,Y)xXvà R

Đặt AsupA x

x0 x ,tacúthểkiểmtrađượcL(X,Y)làkhụnggiantuyếntớnhđịnhchuẩn

KhiđúL (X , Y ) đ ư ợ cgọilà khụnggi an đầynếuYđầyvà kh iY R

i,j1BachuẩnthườngđượcdựngtrongRn

2 1in i

trongđó(ATA)

làcácgiátrịriêngcủamatrậnđốixứngATA

vàn

maxa

 1in ij

⎧1nÕui=j(ei,ej)⎛

⎛ 0nÕuij

gianHilbertX.Khiđócóthểxâydựngđượcmộthệe trựcchuẩn.

làmộth ệtrựcchuẩnt r o n g k h ô n g g i a nHilbertXvớimỗix X

Khiđóbốnmệnhđềsaulàtươngđương:

iiN

a) x=(xi,ei)eix X;

n

a )

aijj1j

 ajjj1,2, ,n

Địnhlý1.2.1.2MatrậnAcótínhchấtđườngchéotrộithìAkhôngsuybiến.

Tuynhiêncómộtcâuhỏiđặtralà:

Ngoàitấtcảcácđathứcbậcnhỏhơnhoặcbằngbatrên[a,b]thìcáchàmsplinebậcbakháccódạngnhưthếnào?

liêntụctrên[a,b].

⎛

3

00

2.1.4 Bàitoánnộisuy

Bàitoán:Giảsửtrên[a,b]chophânhoạch():axox1 xnb với

xi1xihi0,1,2, ,n1,y=f(x)liêntụctrên[a,b]vàyif(xi),f '(a),

⎛ g(xi)f(xi)i=0,1,2, ,n

⎛f'(b).Tìmg(x)B3 ()saocho: ⎛ g'(a)f'

(a)

⎛ g'(b)f'(b)

n+1 1 B-

1(xn)B0(xn)B1(xn) Bn+1(xn)B'-1(b)B'0(b)B'1(b) B'n+1(b)

  .

n1

f'(a)

f0

f1.b=

fnf'(b)

VìAlàmatrậnđườngcótínhchấtđườngchéotrộinênsuyraAkhôngs u y biến.Vậyhệ(n+3)phươngtrìnhtrêncónghiệmduynhất.Từđóta

cóđịnhlýsau:

2.1.5 Địnhlý Tồntạivàduynhấtg(x)B3() lànghiệmcủabàitoánnộisuy2.1.4

),f’(x ),f(x )vớimọii=0,1,…,ntrongđịnhlý2.1.5nóitrên.Taxéthàmg(x)=f(x)–s(x)

⎛TheođịnhlýRolleshàmg’(x)cónnghiệmy thỏamãn:

xiyixi1i0,1,2, ,n1

k1 k

k1 k

Suyrag'(x)cãtængcéng(n+2)nghiÖm g''(x)cã (n+1)nghiệm:

z)i:x0z)0y0,x0z)1y1, ,xn1z)nxnNhưngg’’(x)làđathứcbậcnhỏhơnhoặcbằng1trênx ,x nênsuyrag’’(x)=0trên[xk1,xk ]nghĩalàg(x)=x  trênx ,x

Màg(x )g(x) 0nêng(x)0trªn[a,b].x ,x] ,từđósuyrag(x)0trªn[a,b].a,b]

⎧S a b(x1)c(x1)0 0 0 0 2d(x1)0 3 x[a,b].-1;-0,5]

⎪S a b(x0,5)c(x0,5)2d(x0,5)3 x[a,b].-0,5;0]S(x)

⎧S'0(0,5)S'1(0,5)

⎛2c2 3d22c3

28Từđiềukiệnbiêntựnhiên,tacó:

pt7:=bC0.5$fC0.25$yC0.125$n=c; pt7 :=bC0.5fC0.25yC0.125n=c

>

pt8:=cC0.5$gC0.25$zC0.125$p=d; p t8:=cC0.5gC0.25zC0.125p=

solve({pt1,pt6,pt7,pt8,pt9,p t 1 0 ,p t 1 1 ,p 1 3 ,p t 1 4 ,p t 1 7 ,pt2,p t3,pt4,pt5,pt15,pt16},{e,f,g,h,y,z,t,m,n,p,q});

> solve({pt13,pt16 },{m,n,y});

solve({pt2,pt3,pt4,pt5,p t 1 6 ,p t 1 7 ,pt6,pt7,pt8,pt9,p t 1 0 ,pt1 1,p t 1 3 ,p t 1 4 ,p t 1 5 ,p t 1 }

> g1:=plot([0.038461538K0.4831375509$(xC1)

C2.728306175$(xC1)3],x=K1 K0.5);

g1:=INTERFACE_PLOT( )

c)T¹ic¸cmècnéisuyxn g(x)thỏamãncácđẳngthức:

g(xk )= fkk0,1,2, ,n;d)g''(x)tháam·n®iÒukiÖnbiªn:g’ ’( a) =

g’’(b)=0

Sauđâytasẽchứngminhbàitoántìmhàmnộisuyg(x)bậcbatừngkhúcnóitrêncónghiệmduynhất

Thậtvậy,từavàbtasuyrag’’(x)làliêntụcvàtuyếntínhtrênmỗiđoạn

xi1,xii=1,2,…,n

Vậyvớixthỏamãn xi.1 ⎛xxi,taviết:

(xx )3

 mi1

6h

i6h

+(f  m

i1hi)(xix)(f  mihi)(xxi1) (2.6)i1

(2.7)tatínhđượccácgiớihạnmộtphíacủađạohàmtại

x1,x2, ,xn.g'(xi

1

0.Vậytađược(n-1)phươngtrìnhđạisốtuyếntínhđểtìm(m1,m2, ,mn1)

h1 h2 hn fTrongđóHlàmatrậnchữnhậtncột,(n-1)dòng

CóthểkiểmtrađượcrằngmatrậnAcótínhchấtđườngchéotrộinênsuyr aAkhôngsuybiến

Vậy(m1,m2, ,mn1 )làduynhất

Nhưvậy,hàmsplineg(x)xácđịnhduynhấttheocôngthức(2.6)vàbàito á

n tìmhàmg(x)ởtrêncónghiệmduynhất

Xétphiếmhàm : XR

b

(u) u''(x)2dx

aGọi XfX:f(x) f k0,1,2, ,n

u(x) u k0,1,2, ,n.

Đồngthờitacũngsuyratínhduynhấtcủag(x)làmchophiếmhàmđạtc ựctiểu

Vậytừtrêntacóthểđịnhnghĩatươngđươngkhácvềhàmsplinebậcbat ừngkhúcnhưsau:

2.3.2 Địnhnghĩa

Splinebậcbatừngkhúclàhàmthuộclớp

W2[a,b].a,b]

nhậngiátrịchotrướctạicácđiểmmốcnộisuylàmcựctiểuphiếmhàm:

Chkp axb

trongđóClàhằngsốkhôngâmkhôngphụthuộcvàophânhoạch và

h=maxh1in i i1

⎬f'(x)g'(x) C[a,b].a,b] gC2 [a,b].a,b]

'(x)f'(x)g'(x) cócácnghiệmyii=0,1,2, ,n saocho

x0y0x1,x1y1x2, ,xn1yn1xn



yk1(f'(x)g'(x)dx

max''(x) C khiđótacómax''(x) C

ÁpdụngđịnhlýRollestasuyra:

''(x)f''(x)g''(x)cócácnghiệmzit hỏamãn

x0z)0y0z)1y1 yn1z)n1xn.Vậytaxétsaisốtạiđiểmxbấtkỳthìx[a,b].z)k-1,z)k]n oà đónênsuyra:

f(x)g(x)

x

(f'(x)g'(x)dxz) k1

x

z) k1

(f'(x)g'(x)dx

Vậy

C3(xz)k1)2hC3.maxf''(x)g''(x) Ch t r o n g đóC22C3.

2

is u y l à ítcó ý nghĩa.Chínhv ì l ẽđ ót a x â y dựngmộth à m cógiátrịgầnvớicácgiátrịchotrước.

Khiđóngườitagọicáchàmnàylàhàmđượclàmtrơn

 :W2[a,b].a,b]

Ru(u)

bu''dx p ⎛ u(x )f%⎛ trongđó2 p 0

đủ.Vìsplinebậcbag(x)xácđịnhduynhấtbởitậpcácgiátrịn củanótạicácmốcnộisuyxn

kk0nênđểcựctiểuhóaphiếmhàm  (u)dẫnđếnviệc

tìmcựctiểucủahệhàm(n+1)biến0,1, ,n.

Tacóg’’(x)làphiếmhàmtuyếntínhtừngkhúcdạng:

k0 ( f)2.Vìmbiểuthịtuyếntínhqua (0,1, ,n).Từđó

⎣ s ⎦ s

m(Am)Tm

⎢

P0 0

0 P1 00 0 00P 0 0 P2 0 0 .

Pn

Nhâncảhaivếcủa(2.9)vớiHP1,tacó:

HP1

H*mHP1PHP1Pf%

HP1

H*m+H=Hf%

HP1

H*m+Am=Hf%

(HP1

H*

A)mHf%.Saukhigiảiratìmđượcvéctơm,tacầnxácđịnhgiátrị  tạicácmốcn ộisuytheocôngthức(2.9)tasuyra:

 f%P1

H*m

Khit í n h được tạicácmốcn ộisuyt h ì t a sẽx â y d ựngđượcg ( x ) theocôngthứcđãbiết

Quátrìnhtrênlàcácbướclàmtrơnđathứcsplinebậcba

s(x)0t r ê n(x ,x)i=1,2,…,ntrongđós(x)làhàm(d+1)lầnkhảviliêntụctrênmỗikhoảngcon(xi1,xi).Địnhnghĩa3.1 1.3

Splineđathứcnộisuys(x)bậcd,trơncấpklàmộthàmk lầnkhảviliêntụctrên[a,b]vàthỏamãnphươngtrìnhviphân:

f(x) 1jm-1

i-1 i

Nhưvậy,khim=2thìnghiệmcủabàitoánchínhlàsplinebậcba.Sauđâytaxéthaiđịnhlýcủađathứcsplinenộisuy

⎧Lg(t)Dm

g(t)Kíhiệu:⎨

⎩L*g(t)(1)mDm

b

s(m1)[a,b].f(m-1)s(m1)

]dxa

i1

dof'(xi)s'(xi)vàf’(xi1)=s’(xi1)

Dođó:

nI=( 1)(2m2)

c(fs)x i =0dof(x )=s(x ),f(x )=s(x i1

b

=[a,b].f(m)

s(m)]

2dxa

b

=g( m)

g(m)

dx

xa b

g( m1)g( m1)d

xadogm1(a)

s(m)]2dxa

b

g(2m2)

g''dxa

nx k

g(2m2)

g''dxk1x

nx

[a,b].f(2m)

s(2m)][a,b].f-s]dxk1x

k1

b

[a,b].f(2m)

s(2m)][a,b].f-s]dxa

b

=f(2m)s]dxa b

[a,b].f-= [a,b].f-s]L*

fdx

aNhưvậyđịnhlýđượcchứngminh

(3.2)cùng vớimộthệđiềukiệnchotrước.

Nếu am(x)k h ô n g đồngnhấtbằngkhôngtrên[a,b]thìtabiếtphươngtrình

(3.2)có2mnghiệmđộclậptuyếntính

u1,u2, ,u2m,cácnghiệmn à y sẽl à cơsởcủakhônggianN(L*

L)vàlàkhônggiannghiệmcủatoántử L*

L

Mộtcáchtổngq u á t , t a c ó thểghépc á c h à m t r o n g k h ô n g g i a n nghiệmN(L*

L)t r ê n từngkhoảngc o n củap h â n hoạch( )trênđoạn[a,b]và từc á c điềukiệnnộisuytacóthểtìmđượchàmsplinenày

ud1.e  d2e2t

.Cùngvớiđiềukiệncủabàitoántacósplines(x)nộisuyhàmf(x)là:

4)0

Vậynộisuysplines(x)củabàitoánlà:

s(x)=s i n xcosxsin2xcos2x

Sauđâytasẽphátbiểuhaiđịnhlýcủasplinetổngquáttươngtựnhưcácsplineđathứcđãxét

aThậtvậy,xétbiểuthức:

b[a,b].f(m) b

s(m)]a(x)Ls(1)m

Dm[a,b].a(x)Ls]

Cuốicùngtacó:

bI= (fs) [a,b].(-1)j

⎛

⎛ g(xi)  0 i=0,1, ,n

⎛

Djg(b)  0 1jm-1

Khiđótaxét:

bI[a,b].Lg]2dxa

b

=[a,b].a(x)g(m)(x)

 a(x)g'(x)+a(x)g(x)]Lgdx

g(m)(x)a(x)Lg 

a b

g(x)[a,b].(-1)mDm[a,b].a

(x)Lg] (1)1D[a,b].a

(x)Lg][a,b].a(x)Lg]

a b

g(x)L*

Lga

b

(fs)L*

L(fs)a

0 ak,l(x  x)i(y  y)j;c) T¹ic¸cmècnéisuyDh,g(x,y)nhËnc¸cgi¸trÞchotr−íc:g(xk,yl)

g(x)m

(xi x)3  m (xx )3

⎛⎛ h  mi1 i i x)i1

Trướchết,t a xétbàit o á n mộtchiềuv ền ộis u y splinebậcbatrêncác

đườnglưới yyjj0,1, ,m

Muốnvậytaphảigiảihệ(m+1)phươngtrìnhđạisốdạng:

Am=Hf

i0,1, ,nvà tìmgiátrịcủahàmgyy(x,y)t r ê n Dh.

i16 ⎛fi,j

60KíhiệuK  g (x ,y).

gxx(x0;y)0;

gxx(x1;y)0.

x0 0;y1

0

0,05

f0,0

f0,1

sin(0)0;

sin(0,05)0,0499;

- tạix00;y2

0,

1 f,2 0

sin(0,1)0,09983;

-tại x10,05;y00

f1,0

KíhiệuN g(x,y);M g(x,y);K g (x,y).

0,y)là splinemộtchiềutheoy.Dođóápdụngcôngthứcsplinemộtchiềutacó:

0,

1 0, 04990,05 ; g'(x, y)h N

0,05N 3

64Tươngtựxéttrênx1 0,0

0, 05 N3

1,1

1,1

0, 0983  0,05 0, 0499

0, 04993;0,05g'(x,y)h N

0,05N 3

 050, N3

0,05N 3

0,05N 3

2, 1

2, 1

0,198660,05   0,1494

0, 049260,05 b) Tatínhcảgiátrị M

1,0,M1,1,M1,2:Xéttrên y00thìg(x,y)làsplinemộtchiềutheobiếnxdođóápdụngcôngthứcđãbiếttatính:

0,05VËyM1,0 0,018.

:

=0,05M31,0 0, 049930,05   0, 0499

=0,05M31,1 0, 049930,05 ; g'(x,y) h M

0,0 0

1 thì gxx(x,y)làsplinemộtchiềudođólàmtươngtựnhưphần

trêntacó:

K1,0 21,6

;K1,1259,2;

K1,2 223,2

Sauđâytasẽxâydựngcôngthứctínhg(x,y)trêntừngmiềnnộisuyconcủaphânhoạchD

 ⎛ 0,1494

⎛

⎛

   10, 8y 2

   6, 48y   0,018)0, 05 2

⎤(4,32y3

1 N hN.h

=259,2(0,1y)

3

223,2



0,186.0,052

⎞⎛0,1y⎛

⎛⎛

0,05⎛

1,0023y0,0997)⎛x0,05⎛

⎛0,05 ⎛

Nhấnmạnhđượcviệcápdụngphépnộisuysplineđathức,đặcbiệtlànộis u y splineđathứcbậcba,thấyđượcưuđiểmcủaviệcápdụngcácspline

đathức