Khoá luận tốt nghiệp một số nội dung về đa giác và đa diện

Để nâng cao thêm hiểu biết của bản thân và giúp cho các thầy cô giáo tiểu học nắm rõ hơn về đa giác và đa diện, cũng như với niềm say mê hứng thú với toán hình cùng sự giúp đỡ hướng dẫn

TRƯỜNG ĐAI HOC s ư PHAM HÀ NÔI 2 • • • •

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

_• •_

VŨ THI THU HẰNG

MỘT SỐ NỘI DUNG VỀ

ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: H ình học

Ngưòri hướng dẫn khoa học Th.s PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI, 2016

MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

A PHẦN MỞ ĐÀU

1 Lí do chon đề tài 1

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứ u 2

3 Đổi tượng phạm vi nghiên cứ u 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc đề tài 2

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1: ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 3

1.1 Đa giác 3

1.2 Các tính chất của đa giác 7

1.3 Phân hoạch - Sự đồng phân của các đa giác 10

1.4 Hàm diên tích, sư tồn tai hàm diên tích 13

1.5 Diện tích và tính đồng phân 19

1.6 Tính diện tích các đa giác 21

1.7 Diện tích của các hình phẳng 24

1.8 Tính chất của diên tích 25

1.9 Bài tập 26

CHƯƠNG 2: ĐA DIỆN - THẺ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 27

2.1 Đa diên 27■

2.2 Đa diện lồi và định lý Đề Các- ơ ỉ e 28

2.3 Sơ lược về sơ đồ phẳng của hình đa diện 33

2.4 Phân hoach của khối đa diên 35• •

2.5 Thể tích của khối đa diện 35

2.6 Bài tập 41

KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận em đã nhận được nhiều sự giúp đỡ quý báu và bổ ích từ các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn các thày cô trong khoa Giáo dục Tiểu học và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tận tâm giảng dạy và truyền thụ những kiến thức quý báu để em có thể hoàn thành tốt khóa học Đặc biệt, em xin bày tỏ

lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới thầy Phạm Thanh Tâm - Khoa Toán,

thày đã trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ và chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, thư viện nhà trường, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện, động viên, giúp đỡ tận tình để em hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 7 tháng 5 năm 2016

Sinh viền

Vũ Thị Thu Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Để hoàn thành khóa luận này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, em đã sử dụng một số tài liệu tham khảo ghi ở mục “Tài liệu tham khảo” Nhưng em xin cam đoan khóa luận này

là kết quả nghiên làm việc của bản thân dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Phạm Thanh Tâm

Hà Nội, ngày 7 tháng 5 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Thu Hằng

Để nâng cao thêm hiểu biết của bản thân và giúp cho các thầy cô giáo tiểu học nắm rõ hơn về đa giác và đa diện, cũng như với niềm say mê hứng thú với toán hình cùng sự giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm, một giảng viên Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 Tôi quyết

định chọn đề tài “Một số nội dung về đa giác và đa diện” làm đề tài nghiên

cứu của mình

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu làm rõ một số nội dung về đa giác

và đa diện

- Nhiệm vụ nghiên cứu:

+ Tìm hiểu một số nội dung về đa giác: Định lý Jordan, tính chất của đa giác, phân hoạch sự đồng phân của đa giác, diên tích đa giác, cách tính diện tích đa giác, tính chất của diện tích

+ Tìm hiểu một số nội dung về đa diện: Định lý Jordan, phân loại đa diện, thể tích của các khối đa diện

3 Đổi tượng phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Một số nội dung về đa giác và đa diện

- Phạm vi nghiên cứu: Định nghĩa về đa giác và đa diện, diên tích đa giác, thể tích của các khối đa diện

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, sách giáo trình

- Sử dụng các công cụ toán học

5 Cấu trúc đề tài

Chương I: Đa giác, diện tích đa giác

Chương II: Đa diện - thể tích khối đa diện

B NỘI DUNG CHƯƠNG 1 ĐA GIÁC, DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

1.1 Đa giác

Định nghĩa 1.1.1 Đường gấp khúc n cạnh là hình hợp thành bởi n

đoạn thẳng A ị A2, A2A3, , ArẠn + J, trong đó hai đoạn thẳng liên tiếp A i- 1Aị và

AịAị + 1 không cùng nằm trên một đường thẳng ( i = 2, 3, , n).

- Kí hiệu đường gấp khúc như ừên là AiA2 An+1

- Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đường gấp khúc (có n + 1 đỉnh), còn các đoạn thẳng AịAi +! gọi là các cạnh của đường gấp khúc

Từ định nghĩa trên ta suy ra hai cạnh liên tiếp Ai _ lAị và AịAi +1 chỉ có

một đỉnh chung duy nhất là Ai {xem hình 1).

Định nghĩa 1.1.2 Đ a giác n cạnh là đường gấp khúc n cạnh ( n >3) A]A2 An + I sao cho đỉnh đầu Aj và đỉnh cuối An + I trùng nhau, cạnh đầu

A]A2 và cạnh cuối A„A„ + J ( cũng coi là hai cạnh liên tiếp) không nằm trên một đường thẳng.

- Đa giác như thế kí hiệu là AiA2 An Đa giác n cạnh còn gọi là

n - giác

- Các điểm Ai gọi là các đỉnh của đa giác , các đoạn thẳng AịAi +1 gọi là

các cạnh của đa giác Góc A i lAị Ai + 1 gọi là góc đa giác ở đỉnh Ai ( xem hình 2).

Hình 1

Ag a6

Hình 2

Định nghĩa 1.1.3 Đa giác đơn là đa giác mà bất kì 2 cạnh không liên

tiếp nào cũng không có điểm chung (xem hình 3).

Định nghĩa 1.1.4 Đa giác đều là đa giác có tẩt cả các cạnh và các góc

Định lí 1.1.5 Cho H là đa giác nằm trong mặt phẳngP khỉ đó tập

p / H là hợp của hai tập hợp H ° và H * có các tính chất sau đây:

i) Bất kì hai điểm nào cùng thuộc vào một trong hai tập hợp đó đều có thể nối với nhau bằng một đường gấp khúc không cỏ điểm chung với H

ii) Một đường gấp khúc bất kì nối hai điểm thuộc hai tập hợp H °và H* thì luôn có điểm chung với H

iii) Tập H 0 không chứa đường thẳng nào, tập H* chứa những đường

thẳng.

Định nghĩa 1.1.6 Đa giác lồi là đa giác mà nó nằm về một phía đổi

với đường thẳng chứa bất kì một cạnh nào đó của đa giác đó Hiển nhiên các

đa giác lồi là đa giác đơn.

Định nghĩa 1.1.7 Tập H ữnỏi trong định lí Jordan được gọi là miền

trong của đa giác H Tập H* được gọi là miền ngoài của đa giác H Mỗi điểm của H °gọi là điểm trong của đa giác H Mỗi điểm thuộc H* gọi là điểm

ngoài của đa giác H Tập H ũ u H* gọi là miền đa giác H Miền đa giác H kỉ hiệu là [H] (xem hình 5)

Chứng minh định lí Jordan

Ta sẽ chứng minh trong trường họp H là đa giác lồi

Giả sử H là đa giác lồi n cạnh Ta kí hiệu Sị (i = 1, 2, ., n) là n đường

thẳng chứa mỗi cạnh của H Vì H là đa giác lồi nên H nằm về một phía đối

với mỗi S ị Ta kí hiệu S'? là nửa mặt phẳng mở với bờ là Sị, và chứa tập

H / S , còn Si* là nửa mặt phẳng mở đối của nửa mặt phẳng Si° qua bờ chung

là đường thẳng S ị, tức là p = s? u u (xem hình ố) Ta đặt:

Hình 5

tf°=n ;ff'=u

Dễ chứng minh rằng p / H — H ° u và /7 °n , nên ta chỉ còn

phải chứng minh các tính chất i), ii), iii)

i) Xét trường họp A, B là hai điểm thuộc H ° tức là A và B đều thuộc

s f , với mọi i = 1, 2, n.

Như vậy đoạn thẳng A B cz Sị với mọi i = 1 , 2 , n Suy ra A B d H °

, và do đó AB chính là đường gấp khúc không có điểm chung với H .

Bây giờ xét trường họp A, B là hai điểm thuộc H * Theo định nghĩa của

H *, có i và j để A e Sị và B G 5* Nếu i = j thì hiển nhiên đoạn thẳng

A B d Sị tức A B a H *, và AB là đường gấp khúc nối A với B (xem hình 7).

Nếu i Ỷ j, chẳng hạn j = i + k > i Ta lấy các điểm:

Aes;ns, lAeC.nS, ; A *=•''*: i-<’;•

Chú ý rằng s*m n 5 nên có thể lấy được các điểm như thế Khi

đó hiển nhiên ta có đường gấp khúc AA1A2 .AkB nằm trong H* và nối A

với B (xem hình 7).

ii) Giả sử A g H ° còn B e H *, ta phải chứng minh rằng mọi đường

gấp khúc nối A và B đều phải có điểm chung với H

Trước hết ta chứng tỏ rằng đoạn thẳng AB phải cắt H Ta xét các góc AịAAi +1 với i = 1 ,2 ,3 , .,n + 1 Điểm B phải thuộc một trong những góc đó

vì B thuộc H* nên đoạn AB phải cắt một ừong các cạnh của đa giác.

Bây giờ để chứng minh ii) ta giả sử ngược lại, có một đường gấp khúc

AiA2 An không có điểm chung với H, trong đó Ai trùng với A và An trùng

B Vì đoạn thẳng AiA2 không cắt H và Ai thuộc H ° , ., tiếp tục suy ra An,

tức B cũng thuộc H ° , điều đó là vô lí.

iii) Trong mặt phẳng p lấy điểm o và xét đường tròn (O, R) với bán

kính R đủ lớn sao cho mọi đỉnh của đa giác lồi H đều nằm trong (O, R) Khi

đó dễ chứng minh rằng miền trong H ° cũng nằm trong đường tròn đó Từ đó suy ra không có đường thẳng nào nằm trong H ° , và mọi đường thẳng không cắt đường tròn (O, R) đều nằm trong H *

1.2 Các tính chất của đa giác

Định nghĩa 1.2.1 Trong mặt phẳng cho điểm Ả và một 8 > 0, tập hợp

tất cả những điểm cách A một khoảng nhỏ hom 8 được gọi là lân cận 8 của điểm A Nói khác đi lân cận 8 của điểm A là tập hợp những điểm nằm trong đường tròn tâm A bán kỉnh 8 Lân cận đó được kỉ hiệu là (A, 8 ).

Nhận xét 1.2.2 Điều kiện cần và đủ để điểm A là điểm ừong của đa

giác H là có một lân cận 8 của A chứa trong H ữ, nói khác đi có 8 > 0 sao cho

(A ,í)c H °

Chứng minh

Nếu A là điểm trong của H, ta chọn 8 là số dưong, sao cho 8 < AM với mọi M G H Khi đó nếu điểm thì hiển nhiên đoạn thẳng ABcũng không cắt H Vì A là điểm trong nên B cũng là điểm trong

Ngược lại nếu điểm A có lân cận (A,ff) c= //° th ì cố nhiên A G H ° , tức

A là điểm trong của H

Nhận xét 1.2.3 Điều kiện càn và đủ để điểm A là điểm ngoài của H là

có một lân cận 8 của A chứa ừong t ì : ( A, £■) cz / / .

Chứng minh

Nếu A là điểm ngoài của H, ta chọn 8 là số dương, sao cho £ < AN với mọi điểm N G H Khi đó nếu điểm B G ( A, E ) thì hiển nhiên đoạn thẳng AB cũng không cắt H Vì A là điểm ngoài nên B cũng là điểm ngoài

Ngược lại nếu điểm A có lân cận(A, £•) <z tì* thì cố nhiên A g H* , tức

A là điểm ngoài của H

Nhận xét 1.2.4 Nếu A G H thì mọi lân cận (A, e) đều có chứa điểm

ừong và điểm ngoài của H

Cho A là một đỉnh nào đó của đa giác đơn H, và hai cạnh của H có chung đỉnh A là AB và AC Khi đó lân cận (A, 8) (không kể những điểm thuộc AB, AC) được phân thành hai phần: một phần nằm trong góc BAC mà

ta kí hiệu là phần I, và phần kia nằm ngoài góc BAC mà ta kí hiệu là phàn II Hiển nhiên nếu một trong hai phần đó chứa một điểm trong (tương ứng với

một điểm ngoài) của H thì mọi điểm của phần đó đều là điểm ừong (tương ứng là điểm ngoài) của H.

Vì lân cận (A, e) phải chứa cả điểm ngoài và điểm trong nên ta suy ra: Một trong hai phần đó chứa trong H°, và phàn kia chứa trong H*

Định nghĩa 1.2.5 Đỉnh A được gọi là đỉnh lồi nếu phần I chứa trong

H°, và được gọi là đỉnh lõm nếu phần II chứa trong H*.

Trên hình 8 ta có các đỉnh lồi là Ai, A2, A4, A6, A7 và các đỉnh lõm là A3, A5

là đường thẳng a và gọi đỉnh của H nằm ừên a là A Kí hiệu hai cạnh của H xuất phát từ A là AB và AC Mọi điểm M nằm cao hơn đường thẳng a đều là điểm ngoài của H, vì nếu gọi m là đường thẳng đi qua M và song song với a thì m không cắt H nên nó nằm ngoài H, và do đó M là điểm ngoài Từ đó suy

ra trong lân cận đủ bé của đỉnh A, phần I phải nằm dưới đường thẳng a tức là nằm trong góc BAC Nói khác đi A là đỉnh lồi

1.3 Phân hoạch - Sự đồng phân của các đa giác

Định nghĩa 1.3.1 Đa giác H gọi là được phân hoạch thành các đa giác H ỈJ Hsnếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Các đa giác Hị đôi một không cỏ điểm trong chung, tức là hai hình

H ị và H j hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có điểm chung trên cạnh, với

Định nghĩa 1.3.2 Một đoạn thẳng nổi hai đỉnh không kề nhau của một

đa giác gọi là một đường chéo của đa giác đó.

Định lí 1.3.3 Mọi n giác đơn bất kỳ luôn tồn tại một đường chéo phân

hoạch đa giác thành hai đa giác có sổ cạnh bé hơn n.

thành hai đa giác mà một ừong chúng là tam giác ABC, còn đa giác kia có

n - 1 cạnh, (.xem hình lOa).

B

Hình lOaNếu miền tam giác ABC có chứa các đỉnh của H khác với A, B, c thì ta hãy vẽ qua các đỉnh đó những đường thẳng song song với BC và gọi p là một

ừong các đính đó nằm trên đường thẳng song song với BC gần A nhất (xem hình lOb) Ta chứng minh rằng đường chéo AP không có điểm chung nào với

H ngoài hai đỉnh A và p Thật vậy, giả sử có điểm M nằm giữa A và p và M thuộc H Vì M không phải là đỉnh của H nên M thuộc cạnh KL nào đó của H

Có ít nhất một trong hai đường thẳng đi qua K, L và song song với BC nằm cao hom đường thẳng đi qua p mà ta đã chọn Suy ra có ít nhất một trong hai đỉnh K, L nằm ngoài tam giác ABC, do đó một trong hai cạnh AB hoặc AC phải cắt cạnh KL, trái với giả thiết H là đa giác đơn

A

Từ định lí ừên, bằng phương pháp quy nạp theo số cạnh n của đa giác,

ta suy ra:

Định lí 1.3.4 Mọi đa giác đơn bất kì đều cỏ tam giác phân.

Định nghĩa 1.3.5 Hai đa giác đom H và H ’ được gọi là đồng phân nếu

H v à H tương ứng có các phân hoạch:

tf=u ;fi'=u

Trong đó H l = H \

Chú ý 1.3.6 Hai đa giác gọi là bằng nhau nếu có phép đẳng cự biến đa

giác này thành đa giác kia

Ví dụ 1.3.7 Một hình chữ nhật luôn có tam giác đồng phân với nó

Ngược lại mọi tam giác luôn có hình chữ nhật đồng phân với nó

Thật vậy, đối với hình chữ nhật ABCD ta lấy C’ là điểm đối xứng với điểm c qua ba điểm B thì hình chữ nhật đó đồng phân với tam giác ACC’,

f /

/

Hình l i aNgược lại, cho tam giác ABC bất kì Giả sử BC là cạnh lớn nhất thì đường cao AH sẽ có chân là H nằm giữa hai điểm B và c Gọi E, F là trung điểm hai cạnh AB và AC Kẻ BB’ và CC’ vuông góc với đường thẳng EF thì

ta dễ thấy tam giác ABC đồng phân với hình chữ nhật BCC’B’, (xem hình llb ).

1.4 Hàm diên tích, sư tồn tai hàm diên tích

Kí hiệu V là tập hợp tất cả các đa giác đơn trong mặt phẳng.

Định nghĩa 1.4.1 Ánh xạ S: V —>R+ (R+ là tập hợp các sổ thực dương)

gọi là hàm diện tích nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây:

i) Nếu đa giác Hj và H2 bằng nhau thì S(Hj) = S(H2).

ii) N ầi đa giác H được phân hoạch thành các đa giác Hj, H2, Hn thì:

1-1

iii) Nếu V là hình vuông có cạnh bằng 1 thì S(V) = 1.

Nếu có ánh sạ s như thế thì giá trị S(H) sẽ gọi là diện tích của đa giác H.

Ta thừa nhận hàm diện tích tồn tại, xét một hàm s ỉà hàm diện tích Bây giờ chúng ta sẽ tìm cách tính diện tích các hình đa giác.

Định lí 1.4.2 Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

(tức là tích độ dài hai cạnh liên tiếp).

Chứng minh

Trước hết ta có nhận xét sau đây: Với N là số nguyên dương, mỗi hình vuông có cạnh bằng 1 có thể phân hoạch thành N2 hình vuông có cạnh bằng 1/N Theo tính chất i) của hàm diện tích các hình vuông đó đều bằng nhau, theo thủi chất ii) tổng các diện tích đó phải bằng diện tích hình vuông lớn, tức

là bằng 1 (tính chất iii) Từ đó suy ra diện tích mỗi hình vuông bé bằng 1/N2

mq < a < (m + l) ợ và nq <b < ịn + í) q (1.4.1)

Trên tia AB ta đặt các đoạn thẳng ABi = mq và AB2 = (m + l)q

Trên tia AD đặt các đoạn thẳng ADi = nq và AD2 = (n + l)q

Nếu ta dựng các hình chữ nhật ABiQDi và AB2C2D2 (xem hình 12), thì

từ các tính chất của hàm diện tích, ta suy ra:

s {ABỈCỈDỈ ) < 5 (ABCD) < s (AB2C2D2 ).

Định lí 1.4.3 Diện tích của tam giác bằng nửa tích sổ của một cạnh và

chiều cao ứng với cạnh đó.

Chứng minh

Giả sử tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c và các chiều cao

tương ứng là ha, hb, hc Bằng cách xét các tam giác đồng dạng, dễ dàng chứng

minh rằng a.ha = b.hb = C.hc.

Bây giờ giả sử BC là cạnh lớn nhất, ta đã biết rằng tam giác ABC đồng

phân với hình chữ nhật BCC’B ’ có BC = a và B B ' — —ha Theo tính chất

của hàm diện tích thì hai tam giác đồng phân cố nhiên có diện tích bằng nhau Vậy:

S ( A B C ) = S ( B C C ' B ' ) = - a h a

Nhận xét 1.4.4 Ta đã biết rằng mỗi đa giác đơn có ít nhất là một tam

giác phân Theo tính chất của hàm diện tích thì diện tích đa giác bằng tổng diện tích các tam giác trong tam giác phân đó Vì vậy nếu hàm diên tích tồn tại thì nó tồn tại là duy nhất Bây giờ ta đi chứng minh sự tồn tại của hàm diện tích

Đỉnh lí 1.4.5 Hàm diên tích là tồn tai. • • •

Chứng minh

Ta sẽ chứng minh rằng có ánh sạ S: V -> R+ thỏa mãn các tính chất i),

ii), và iii) của hàm diện tích Ta xây dựng hàm s như sau:

+ Nếu A là tam giác với một cạnh là a và chiều cao tương ứng là ha, thì

ta đặt S (A) = — a.hữ

(Chú ý rằng định nghĩa đó là đúng đắn bởi vì đối với các tam giác ta

luôn luôn có đẳng thức a.ha = b.hb = C.hc).

+ Nếu H là một đa giác đơn thì ta chọn một tam giác phân nào đó của nó

và đặt S(H) bằng tổng các S(Ai) với Ai là tất cả các tam giác của tam giác phân

s (ABC) = s (ABDỈ ) + s (AD,D2 ) + + s (.ADnC).

- Điều đó dễ dàng suy ra từ định nghĩa của hàm s đối với tam giác

- Cho tam giác A1A2A3 và một điểm A tùy ý, ta luôn có:

s ( A ^A g ) = £ỉs (AA2A3 ) + s 2S ( AA3Al ) + £3S ( AA1A2 ).

- Trong đó: £i bằng 1,-1 hoặc 0, được xác định như sau:

+ 81 = 1 nếu hai điểm Ai và A nằm cùng phía đối với đường thẳngA2A3

+ 81 = -1 nếu hai điểm ấy nằm khác phía đối với đường thẳng A2A3.+ Si = 0 nếu điểm A nằm trên đường thẳng A2A3

+ Với g2 và e3 ta cũng xác định tương tự như 81

- Chứng minh điều đó không khó khăn, ta chỉ cần dựa vào định nghĩa hàm s đối với tam giác Sau đây ta nêu một số trường họp theo vị trí của đỉnh

S ( \ A \ ) =

= s ( A4 A3) + s (AA 3 Ạ )■+ s ( AẠ4 ) =~ s ( a a 2 a ỉ )+ s ( a a ìaì )+ s ( a a 1 a 2)

S(A ỉ A2As) = 5(A'A14 )-5 (A 'Ạ A 3)

- Giả sử tam giác ABC được phân hoạch thành các tam giác Ai, với

i = 1, 2, ., n Ta luôn có thể giả sử rằng hai tam giác khác nhau Ai và Àj hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung

Ta chứng minh: 'Ỵ js (A i) = S(A B C ) (1.4.4)

¿=1

+ Mỗi tam giác Ai là một tam giác A1A2A3 nào đó với các đỉnh Ai thuộc

miền tam giác ABC Ta dùng công thức s ( A A A ) — £ s ( A A A ) •

+ s 2S (AA3Ạ ) + s3S ( ) để thay vào vế bên trái của (1.4.4)

+ Nếu cạnh A1A2 nào đó là cạnh chung của hai tam giác Ai và Aj thì giá

trị S(AAiA2) sẽ xuất hiện hai lần với dấu đổi nhau (nếu A không nằm trên đường thẳng A1A2) hoặc đều bằng 0 (nếu A nằm trên A1A2), vậy tổng của chúng luôn bằng 0 Nếu cạnh A1A2 nào đó nằm trên cạnh AB hoặc AC của tam giác ABC thì hiển nhiên giá trị S(AAiA2) bằng 0

+ Như vậy trong tổng của chúng ta chỉ còn lại các giá trị S(AA!A2) với đoạn thẳng A1A2 nằm trên cạnh BC, vậy tổng đó bằng S(ABC), tóm lại (1.4.4) đã được chứng minh

Bây giờ giả sử H có hai cách tam giác phân: cách thứ nhất thành các

tam giác Ai, i = 1, 2, ., s, và cách thứ hai gồm các tam giác A’j, với j = 1,

2, , s’

Ta chứng minh rằng:

¿ S ( A , ) = ¿ S ( A ' , ) (1.4.5)

Ta chú ý rằng với hai giá trị i và j (1 < ỉ < Í,1 < j < í ' ) , giao của miền

tam giác Ai và miền tam giác A’j là một miền tam giác lồi có số cạnh là 3, hoặc 4, hoặc 5, hoặc 6 Ta phân hoạch các đa giác đó thành các tam giác Ak Như vậy ta được tam giác phân thứ ba thành các tam giác Ak, có tính chất: mỗi tam giác Ai hoặc A’j đều được phân hoạch thành một số nào đó các tam giác Ak Từ đó ta suy ra đẳng thức (1.4.5) vì hai vế của nó cùng bằng (At )

Như vậy vói mỗi đa giác đơn H ta có một giá trị dương S(H) hoàn toàn

xác định, tức là có hàm S: V -» M .