Một số bài tập về liên kết trong cơ lí thuyết (2018)

Đồng thời áp dụng công cụ cơ học giải tích là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu quy luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng g

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn

Thị Hà Loan, người đã chỉ bảo và nhiệt tình giúp tôi hoàn thành khóa luận

này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

để hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Hoàng Thị Hoài Linh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý

thuyết” được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, giúp

đỡ nhiệt tình của cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi cũng xin cam

đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của bất kỳ khóa luận tốt nghiệp khác Nếu có gì không trung thực trong khóa luận tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Hoàng Thị Hoài Linh

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của khóa luận 2

N I DUNG 3

H NG : NH NG KH I NI M N 3

1.1 Phương trình chuyển động 3

1.1.1 Phương trình chuyển động, vectơ vận tốc, vectơ gia tốc 3

2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ 4

3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên 6

1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ 7

5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu 10

2 Xung lượng 11

2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm 11

2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm 12

3 Momen xung lượng 14

3 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm 14

3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất 15

4 Năng lượng 17

4 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm 17

4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất 18

1.5 Tọa độ suy rộng 19

1.6 Số bậc tự do 20

H NG 2: LI N K T 21

2 Khái niệm liên kết 21

2.2 Phương trình liên kết hình học 21

2.3 Phương trình liên kết động học 22

2.4 Liên kết lý tưởng 23

2.5 Dịch chuyển có thể và dịch chuyển ảo 24

2.6 Lực suy rộng 26

H NG 3: M T S I T P V LI N K T 27

3 ài tập về liên kết của vật với mặt tiếp xúc 28

3.2 ài tập về liên kết của các vật trong hệ với nhau 31

K T LU N 43

T I LI U THAM KH O 44

Một trong những học phần trong chuyên ngành vật lý được học ở đại học đó là môn ơ học lý thuyết Đây là bộ môn khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian Do đó số lượng bài tập tương đối nhiều và

đa dạng

Ta có thể giải bài tập động lực học bằng các nguyên lý của cơ học ác nguyên lý cơ học cũng cho phép ta thành lập được các phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ và điều kiện cân bằng của cơ hệ Giải các bài tập bằng các nguyên lý của cơ học đặc biệt thuận lợi khi tìm các lực liên kết tác dụng vào cơ hệ

Đồng thời áp dụng công cụ cơ học giải tích là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu quy luật cân bằng và chuyển động của cơ hệ không tự do theo di chuyển và năng lượng dạng giải tích, cho ta một phương pháp ưu việt để giải các bài tập cơ học

Nội dung của cơ học giải tích trình bày các nguyên lý tổng quát của cơ học, từ đó rút ra các phương trình vi phân cơ bản của chuyển động, nghiên cứu phương trình đó và đề ra các phương pháp tích phân chúng

Vì vậy, tôi đã chọn đề tài “Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý

thuyết”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các loại liên kết

2

- Giải quyết một số bài tập về liên kết

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết hình học

- Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết động học

- Ứng dụng để giải quyết một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết

4 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu liên kết một vật với các bề mặt tiếp xúc

- Nghiên cứu liên kết của một cơ hệ với nhau

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán

- Phương pháp nghiên cứu của cơ học

6 Cấu trúc của khóa luận

- Đề tài “ Một số bài tập về liên kết trong cơ học lý thuyết ” có kết cấu gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận

- Phần nội dung được chia làm 3 chương:

hương : Những khái niệm cơ bản

hương 2: Liên kết

hương 3: Một số bài tập áp dụng

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: NH NG KH I NIỆM CƠ BẢN

là hàm của thời gian t:

⃗ = ⃗( ) (1.1)

Hệ thức trên xác định vị trí của chất điềm M

trong không gian ở thời điểm t bất kỳ và

được gọi là phương trình chuyển động của

chất điểm cho dưới dạng vectơ Đó cũng chính

là phương trình quỹ đạo của chất điểm

cho dưới dạng thông số

drv

dv d rw

1.1.2 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ Descartes

ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ Descartes Ox, Oy, Oz là ⃗⃗ , ⃗⃗ , ⃗⃗ Trong hệ tọa độ Descartes có thể biểu diễn

bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của chất điểm M

dưới dạng:

⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (1.4) Trong đó x, y, z là các thành phần của

bán kính vectơ ⃗ trên các trục tọa độ

Khi chất điểm chuyển động thì x, y, z đều biến đổi theo thời gian do đó ta có thể viết:

5

ác phương trình ( 5) gọi là các phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng tọa độ hay còn gọi là phương trình quỹ đạo của chất điểm dưới dạng thông số trong tọa độ Descartes

wcos α

w

1

wcosβ

w

1

wcos γ  

w



1.1.3 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ tự nhiên

Khi quỹ đạo chuyển động của chất điểm cho biết trước thì dùng phương pháp tọa độ tự nhiên để mô tả chuyển động của chất điểm lại thuận lợi hơn

Ta chọn điểm O1 trên quỹ đạo làm điểm gốc

để tính độ dài cung S của quỹ đạo Chiều dương

của S lấy theo chiều tăng của nó trong quá trình

chuyển động

Khi chất điểm M chuyển động trên quỹ đạo bán kính vectơ ⃗ của nó sẽ biến đổi theo sự biến đổi của tọa độ cung S, còn bản thân tọa độ cung S sẽ biến đổi theo thời gian

⃗ ⃗( ) , ( ) Phương trình ( ) được gọi là phương tình chuyển động của chất điểm theo quỹ đạo của nó

Để nghiên cứu chuyển động của chất điểm khi quỹ đạo của nó đã biết, thuận tiện hơn ta dùng hệ tọa độ vuông góc tạo thành bởi các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ và ⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗] Hệ tọa độ này gọi là hệ tọa độ tự nhiên hay tam diệm tự nhiên

Vectơ vận tốc ⃗⃗ và vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ của chất điểm có thể biểu diễn dưới dạng:

7

dr dr dsv

dt ds dt

dv wdt

̈ ̇

Trong đó là các góc tạo bởi vectơ gia tốc ⃗⃗⃗⃗ với các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗

1.1.4 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ trụ

Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của chất điểm M

được xác định bởi ba tọa độ

Khi đó bán kính vectơ ⃗ xác định vị trí của

chất điểm M được viết dưới dạng

⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ (1.13)

O 1

z ⃗⃗

⃗⃗φ ρ

M’

⃗⃗ρ 𝜃

y

O

ρφ

⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ [ ⃗⃗ ⃗⃗ ] ⃗ ⃗ Khi chất điểm M chuyển động thì các vectơ đơn vị ⃗⃗ ⃗⃗ thay đổi chiều nên đạo hàm của chúng theo thời gian bằng:

độ trụ chuyển thành hệ tọa độ cực

Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc của chất điểm trong hệ tọa

độ cực:

+ Phương trình chuyển động: ( ) , ( ) + Vận tốc: √ √ ̇ ( ̇)

10

1.1.5 Phương trình chuyển động, vận tốc, gia tốc trong hệ tọa độ cầu

Vị trí của chất điểm M trong hệ tọa độ cầu

được xác định bằng ba tọa độ

Khi chất điểm chuyển động thì

đều biến đổi theo thời gian

( ) ( ) ( ) (1.17)

Đây chính là phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ tọa độ cầu

Mối liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descartes được các định bằng các công thức:

Với , ,

ác vectơ đơn vị trong hệ tọa độ cầu liên hệ với các vectơ đơn vị trong

Đạo hàm bậc nhất theo thời gian các vectơ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

 ̇ ⃗⃗ ⃗⃗̇ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗ ̇ ⃗⃗

dvw

1.2.1 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của chất điểm

Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc ⃗⃗ của nó được gọi là xung lượng ⃗⃗⃗ của chất điểm

⃗⃗⃗̇ hay ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = const

1.2.2 Định luật biến thiên và bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm

Ký hiệu xung lượng của chất điểm là ⃗⃗⃗ thì theo định nghĩa

Biểu thức (1.28) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:“ Đạo hàm vectơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ”

* Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên trục cố định nào đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của hệ trên trục đó bảo toàn

Ví dụ: thì Pz = const

14

Trong trường hợp cơ hệ là kín mà trong đó các chất điểm của hệ không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay ⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = const Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn”

1.3 Momen xung lƣợng

1.3.1 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của chất điểm

Để đưa đến khái niệm momen xung lượng của một chất điểm ta đem nhân hữu hướng hai vế của phương trình định luật II Niuton với bán kính vectơ ⃗ về phía trái, ta có:

Trong đó ⃗⃗⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗⃗̇] được gọi là momen xung lượng của chất điểm

Từ (1.29), (1.30), (1.31) ta nhận được biểu thức của định luật biến thiên

momen xung lượng của chất điểm ⃗⃗⃗⃗̇ ⃗⃗

Định luật biến thiên momen xung lượng của chất điểm được phát biểu:

“ Đạo hàm momen xung lượng của chất điểm theo thời gian bằng momen lực tác dụng lên chất điểm đó.”

* Nếu thành phần momen lực tác dụng lên một trục cố định nào đó tại mọi thời điểm bằng 0 thì thành phần momen xung lượng của chất điểm trên trục

đó được bảo toàn

15

Nhận xét: Momen lực ( hay các thành phần của nó trên trục nào đó) bằng 0 khi lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 Nhưng cũng có thể xảy ra trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà momen lực lại bằng 0

Định luật bảo toàn momen xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau: “ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 hoặc lực cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất điểm thì momen xung lượng của chất điểm được bảo toàn.”

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = const

1.3.2 Định luật biến thiên và bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm

Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có dạng:

mi ⃗̈ ⃗⃗ ⃗⃗ (i = 1,2, , N) Nhân hữu hướng vế bên trái của phương trình này với bán kính vectơ ⃗của chất điểm thứ i ta nhận được phương trình xác định sự biến thiên của momen xung lượng của chất điểm thứ i

Trong đó: ⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗ ] là momen nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i

⃗⃗ [ ⃗ ⃗⃗ ] là momen ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i [ ⃗ ⃗⃗⃗] là monem xung lượng của chất điểm thứ i Lấy tổng biểu thức (1.32) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được:

 Nếu thành phần của tổng momen ngoại lực trên một trục cố định nào

đó bằng 0 tại mọi thời điểm thì thành phần của momen xung lượng của hệ trên trục đó được bảo toàn

Định luật bảo toàn momen xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “ Đối với hệ kín, momen xung lượng của hệ không thay đổi ”

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = const

17

1.4 Năng lƣợng

1.4.1 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của chất điểm

Để thiết lập định luật biến thiên động năng của chất điểm ta nhân vô hướng hai vế của phương trình ⃗⃗⃗̇ ⃗⃗ với dịch chuyển d ⃗, ta được:

m ⃗⃗̇ d ⃗⃗⃗= ⃗⃗ d ⃗ Đại lượng ⃗⃗ d ⃗ được gọi là công nguyên tố của lực ⃗⃗ trên dịch chuyển

d ⃗ và được ký hiệu dA

Gọi T là động năng của chất điểm: T =

2

mv2Biểu thức của định lý biến thiên động năng

Định lý biến thiên động năng của chất điểm được phát biểu như sau:

“ Vi phân động năng của chất điểm bằng công nguyên tố của lực tác dụng lên chất điểm”

Lấy tích phân hai vế phương trình ( 34) từ ⃗ đến ⃗ ta nhận được:

ông nguyên tố của lực thế là một vi phân toàn phần Thật vậy:

dA = ⃗⃗ d ⃗ ( ⃗)d ⃗ = d (1.36) Theo định nghĩa cơ năng của chất điểm bằng tổng động năng cộng thế năng của nó: E = T + U

Lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được:

1.4.2 Định luật biến thiên động năng và bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm

Nếu nhân hai vế phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm:

mi ⃗̈ ⃗⃗ ⃗⃗ (i = 1,2, , N)

với dịch chuyển tương ứng d ⃗ của chất điểm thứ i thì ta sẽ nhận được biểu thức xác định sự biến thiên động năng của chất điểm thứ i

m vT

2

 là động năng của chất điểm thứ i

d và d là các công nguyên tố của nội và ngoại lực trên dịch

chuyển d ⃗ của chất điểm thứ i

Lấy tổng (1.37) theo tất cả các chất điểm trong hệ ta được:

dT = d d Trong đó T =

N i

d là công nguyên tố của tất cả các nội lực

d là công nguyên tố của tất cả các ngoại lực Định lý biến thiên động năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:

“ Vi phân động năng của hệ chất điểm bằng công nguyên tố của tất cả nội lực

và ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ”

 Đối với hệ kín thì cơ năng cũng không đổi nên định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm được phát biểu như sau: “Khi cơ hệ là kín hoặc các lực tác dụng lên cơ hệ đều là những lực thế thì cơ năng của hệ bảo toàn”

Giữa tọa độ suy rộng q1, q2, , qs và các bán kính vectơ ⃗ (i = 1,2, N)

có mối liên hệ được biểu diễn bởi phương trình:

⃗ = ⃗ ( q1, q2, , qs, t ) (i= ̅̅̅̅̅ ) Hay xi = xi ( q1, q2, , qs, t )

Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần phải cho N bán kính vectơ ⃗

( i = ̅̅̅̅̅ ) hay 3 tọa độ Descartes xi, yi, zi ( i = ̅̅̅̅̅ )

Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ

hệ gọi là số bậc tự do

Vị trí của vật rắn trong không gian được xác định bởi ba điểm không cùng nằm trên một đường thẳng a điểm như vậy có 6 bậc tự do Vậy vật rắn chuyển động bất kỳ trong không gian có 6 bậc tự do

21

CHƯƠNG 2: LIÊN KẾT

2.1 Khái niệm liên kết

ơ hệ được gọi là cơ hệ tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ thể có thể chiếm những vị trí bất kì trong không gian và có những vận tốc bất kì Nói khác đi, cơ hệ tự do thì vị trí vận tốc của những chất điểm của cơ hệ không bị hạn chế bởi một điều kiện nào

Số bậc tự do của cơ hệ là 3N

Trong thực tế, ta thường gặp cả những cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ

hệ mà vị trí và vận tốc của những chất điểm tạo thành nó bị hạn chế bởi những điều kiện nào đó

Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết

Ví dụ: Cơ hệ gồm hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bằng một thanh

có độ dài r12 là một cơ hệ không tự do Sáu tọa độ Descartes xác định vị trí hai chất điểm phải thỏa mãn điều kiện

( ) ( ) ( ) (2.1)

Do đó những tọa độ Descartes này không phải là những thông số độc lập vì giữa chúng có liên hệ với nhau bởi phương trình (2.1) Chỉ có 5 trong 6 tọa độ Descares là độc lập Vậy cơ hệ gồm hai chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi có 5 bậc tự do

2.2 Phương trình liên kết hình học

Trong trường hợp tổng quát, liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bởi k phương trình:

( x1, y1, z ,…, xN, yN, zN, ̇ , ̇, ̇ ,…, ̇ ̇ ̇ , t ) = 0 ( ̅̅̅̅̅ ) (2.2) Hay: ( ⃗ ⃗ ⃗ ⃗̇ ⃗̇ ⃗̇ ) ( ̅̅̅̅̅ ) (2.3)

ó thể viết dưới dạng ngắn gọn: