CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN

Các hệ thức liên hệ giữa khoảng cách từ tâm đên đờng thẳng với bán kính đờng tròn.. 2Kỹ năng : - Vận dụng thành thao các tính chất trên để xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng với đ-ờ

CHỦ ĐỀ NÂNG CAO

Chủ đề 3

đờng tròn tiếp tuyến–

A/Mục tiêu :

1)Kiến thức :

- HS năm đợc định nghĩa đờng tròn, sự xác định đờng tròn, tính chất đối xứng của đờng tròn

-Năm vững các vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn, đờng tròn và đờng tròn Các

hệ thức liên hệ giữa khoảng cách từ tâm đên đờng thẳng với bán kính đờng tròn Khoảng cách giữa hai tâm với hai bán kính

-Tính chất tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

2)Kỹ năng :

- Vận dụng thành thao các tính chất trên để xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng với đ-ờng tròn, đđ-ờng tròn với đđ-ờng tròn

-Chứng minh đợc đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn

-Giải đợc các bài toán có liên quan đến tiếp tuyến, vị trí tơng đối của đờng thẳng với dờng tròn, của hai đờng tròn

3)Thái độ :

Thấy đợc mối quan hệ giữa toán học với các môn học khác, với đời sống Tích cực tham gia xây dựng bài

-Tự lực trong khi giải bài tập, rèn tính cẩn thận, chính xác

-Làm việc có khoa học, có cơ sở

B/Thời l ợng : 14 tiết

C/Nội dung :

1)Đờng tròn, sự xác định đờng tròn : 4 tiết

2)Vị trí tơng đối giữa đờng thẳng và đờng tròn, giữa hai đờng tròn : 4 tiết

3)Tiếp tuyến của đờng tròn : 5 tiết

Tiết 1 – 4

Sự xác định đờng tròn tính chất đối xứng của đờng tròn

1)Sự xác định đ ờng tròn :

- Có mấy cách để xác định một đờng tròn ?

Có ba cách để xác định một đờng tròn :

+Biết tâm và bán kính của đờng tròn

+Biết đoạn thẳng là đờng kính của đờng tròn

+Qua ba điểm không thẳng hàng

Nâng cao :

*Trong mặt phẳng, tập hợp các điểm M cách điểm O cho trớc một khoảng không đổi R ( R > 0) là đờng tròn tâm O bán kính R- Hình 1

R

O

M

Hình 1 Hình 2

*Trong mặt phẳng, tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trớc dới một góc vuông

là đờng tròn đờng kính AB (tâm đờng tròn là trung điểm của AB) – Hình 2

2)Liên hệ giữa đ ờng kính và dây cung :

-Phát biểu định lý về quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây ?

a)Trong một đờng tròn, đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây

đó

b)Trong một đờng tròn, đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó

O

C

D

M

-Phát biểu định lý về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.

*Trong một đờng tròn : +Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

O A

B

H

D

C K

*Trong hai dây của một đờng tròn : +Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

H

K

O

A

B

Bài 1 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O; R) M là điểm bất kỳ thuộc cung

BC không chứa A Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng với M qua AB, AC Tìm vị trí của M để DE có độ dài lớn nhất

1)Tìm hiểu đề bài toán

2)Hớng dẫn HS vẽ hình +HS đọc đề bài toán

O

E

A

-D đối xứng với M qua AB thì ta có nhận

xét gì về liên hệ giữa AB và MD ?

-Tơng tự ta cũng có nhận xét về liên hệ giữa

AC và ME

-Tam giác ADE là tam giác gì ?

-Em có nhận xét gì về tổng của hai góc

MAD và MAE ?

Giải

Vì D đối xứng với M qua AB => AB là đ-ờng trung trực của MD => AD = AM (1)

Và E đối xứng với M qua AC => AC là đ-ờng trung trực của ME => AM = AE (2)

Từ (1) và (2) => AD = AE => ADE cân tại A

Ta có MAD + MAE = 2(MAB + MAC) => DAE = 2 BAC

Tam giác ADE cân tại A có DAE = 2.BAC không đổi, nên DE lớn nhất khi AD <=>

AM lớn nhất <=> AM là đờng kính <=> M

đối xứng với A qua O

Bài 2 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A, B đến CD

a)Chứng minh rằng CH = DK

b)Chứng minh rằng SAHKB = SACB + SADB

c)Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm

1)Tìm hiểu bài toán

2)Vẽ hình và ghi GT, KL của bài toán (GV

hớng dẫn HS vẽ hình)

a)Chứng minh CH = DK

-Nhìn vào hình vẽ em có nhận xét gì về hai

đoạn thẳng CH và DK ? (CH và DK không

là hai cạnh của hai tam giác bằng nhau

cũng không bằng đoạn thẳng thứ ba nào)

+HS đọc đề toán

C

M

O A

H

K

B D

GT : (O) có O ∈ AB, O ∉ CD , AH ⊥ CD

BK ⊥ CD, AB = 30cm, CD = 18cm

KL : a) CH = DK b) SAHKB = SACB + SADB

c) max SAHKB ?

Giải

Gọi M là trung điểm của CD

=> MC = MD (1)

và OM ⊥ CD => OM // AH // BK (vì cung

-Nếu gọi M là trung điểm của CD thì ta suy

ra đợc điều gì ? (OM ⊥ CD - Đờng kính đi

qua trung điểm của dây không đi qua tâm)

-Em có nhận xét gì về ba đoạn thẳng AH,

OM và BK ? ( AH // OM // BK vì cùng

vuông góc với AB)

-Tứ giác AHBK là hình gì ? (tứ giác AHKB

là hình thang vì có AH // BK)

-Đoạn thẳng OM của hình thang AHBK có

đặc điểm gì ?(Song song với hai đáy hình

thang AH, BK và đi qua trung điểm của

một cạnh bên AB)

-Từ đặc điểm trên ta suy ra điều gì ? (từ đó

suy ra đợc M là trung điểm của HK)

=> điều phải chứng minh

b)Chứng minh SAHKB = SACB + SADB

-Em có nhận xét gì về cạnh của hình thang

AHKB và các tam giác ACB và ADB (có

chung cạnh AB, mà AB là đờng cao của

hình thang AHKB và là cạnh đáy của hai

tam giác ACB và ADB)

-Kẻ đờng cao CL và DN của tam giác ACB

và ADB Từ M kẻ đờng thẳng xy song song

với AB cắt AH tại E và BK tại F

Và MM’ ⊥ AB

-Em có nhận xét gì về diện tích của tứ giác

AHBK và diện tích tứ giác AEFB ? (Diện

tích hai tứ giác này bằng nhau vì :

SAHKB = SAHMFB + SMKF.

SAEFB = SAHMFB + SHME

Và MKF = HME (gcg)

=> SAHKB = SAEFB

SAEFB = AB MM (diện tích HBH/AEFB)’

=> SAHKB = AB MM ’ (1)

-Tứ giác CDNL là hình gì ? (CDNL là hình

thang vì có CL // DN vì cùng vuông góc

với AB)

-Em có nhận xét gì về đoạn thẳng MM’ của

hình thang CDNL ? (MM // CL// DN và ’

CM = DM => LM = M N => MM là đ’ ’ ’

-ờng trung bình của hình thang CDLN)

Từ đó => MM’ = (CL + DN)

=> CL + DN = 2.MM’

vuông góc với AB )

=> AHKB là hình thang

Trong hình thang AHKB có

OM // AH //BK và OA = OB (=R)

=> MH = MK (2)

Từ (1) và (2) trừ vế theo vế ta đợc :

MH – MC = MK – MD

CH = KD (đpcm)

b)Chứng minh SAHKB = SACB + SADB

Từ M kẻ đờng thẳng xy song song với AB cắt AH tại E và BK tại F

Xét MKF và HME có : MKF = MHE ( = 900 ) (gt)

MK = MH (cmt) FMK = EMH (đđ)

=> MKF = HME (g-c-g)

=> SMKF = SHME

SAHKB = SAHMFB + SMKF

SAEFB = SAHMFB + SHME

=> SAHKB = SAEFB

Kẻ CL ⊥ AB , MM’ ⊥ AB và DN ⊥ AB

SAEFB = AB MM’

Hay SAHKB = AB MM’ (1)

Tứ giác CDNL có CL // DN (vì cùng vuông góc với AB) nên là hình thang và MM’ //

CL // DN và MC = MD

=> AM’ = M’B => MM’ là đờng trung bình của hình thang CDLN

=> MM’ = (CL + DN)

=> 2.MM’ = CL + DN

Ta có SACB = AB.CL ,

SADB = AB DN

SACB + SADB = AB.CL + AB.DN = AB.( CL + DN) = AB 2 MM’

= AB MM’ (2)

-Hãy tính diện tích tam giác ACB và ADB?

(SACB = AB.CL , SADB = AB DN)

-Tính tổng diện tích của hai tam giác đó ?

(SACB + SADB = AB.CL + AB.DN

= AB.( CL + DN)

= AB 2 MM’

= AB MM ’ (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

c)Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB

-Ta đã biết SAHKB = AB MM’

-Hãy so sánh AB MM’ và AB OM ? (Tam

giác vuông OMM’ có OM là cạnh huyền –

theo cách vẽ – do đó MM’ < OM, nên

AB.MM’ ≤ AB.OM)

-Dấu “=” xảy ra khi nào? (dấu “=” xảy ra

khi MM’ = OM <=> M’ ≡ O <=> CD//AB)

Từ (1)và(2) => SAHKB= SACB + SADB (đpcm)

c)Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, khi AB = 30cm, CD = 18cm

Ta có SAHKB = AB MM’ ≤ AB.OM Dấu “=” xảy ra <=> MM’ = OM <=> M’ ≡ O <=> CD//AB) Khi CD // AB thì MC = CD = 9 (cm)

OC = AB = 15 (cm)

=> OM = = = 12 (cm) Vậy SAHKB = AB OM = 30.12 = 360 (cm2) Diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB là 360

cm2

Bài 3 : Cho đờng tròn tâm O, dây AB = 24cm, dây AC = 20cm (BAC < 900 và điểm O nằm trong góc BAC) Gọi M là trung điểm của AC Khoảng cách từ M đến AB = 8cm a)Chứng minh tam giác ABC cân tại C

b)Tính bán kính của đờng tròn (O)

1)Tìm hiểu đề bài toán

2)Vẽ hình và ghi GT, KL của bài toán

a)Chứng minh ABC cân tại C

-Khi nào thì ABC cân tại C? (Khi hai góc

BAC = CBA hoặc AC = BC hoặc CK là

đ-ờng cao)

Kẻ CK ⊥ AB

-Hãy chứng tỏ rằng CK là trung trực của

AB Khi nào thì CK là trung trực của AB?

(Khi CK vuông góc với AB tại trung điểm

K của nó)

-Hãy chứng tỏ K là trung điểm của AB?

(KA = KB hay tính đợc KA = 12cm)

+HS đọc bài toán

GT : ABC nội tiếp (O) có , MH ⊥ AB

MA = MC , AB = 24cm, AC = 20cm,

MH = 8cm

KL : a)ABC cân tại C b) OC = ?

b)Tính OC = R = ?

-Vì sao ta có thể kết luận O ∈ CK? (Vì CK

là đờng trung trực của AB mà OA = OB,

nên O năm trên đờng trung trực của AB hay

O∈ AB)

-Làm thế nào để tính đợc OC ? (Tính CK

rồi suy ra OC)

-Tính CK ? (có nhiều cách tính CK hoặc áp

dụng định lý Pytago trong tam giác vuông

BKC hay tam giác vuông AKC, hoặc vận

dụng tính chất đờng trung bình của tam

giác AKC)

M

O

B

A

C

H

K

a)Chứng minh ABC cân tại C

Kẻ CK ⊥ AB tại K (1)

AKC vuông tại K => KM là trung tuyến

=> KM = AM => AKM cân tại M => H

là trung điểm KA => 2 AH = KA

AHM vuông tại H =>AM2 =AH2+ HM2

=> AH = = = = 6

=> AK = 2.AH = 12 => AK = AB Vậy K là trung điểm AB (2)

Từ (1) và (2) => CK là đờng trung trực của

AB => CA = CB => ABC cân tại C b)Tính OC = R = ?

Vì CK là đờng trung trực của AB

Bài 3 : Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB M là một điểm thuộc nửa đờng tròn Qua

M vẽ tiếp tuyến với nửa đờng tròn Gọi C, D là hình chiếu của A, B trên tiếp tuyến đó

a)Chứng minh M là trung điểm của CD

b)Chứng minh AB = BC + AD

c)Giả sử AÔM ≥ BÔM, gọi E là giao điểm của AD với nửa đờng tròn Tứ giác BCDE là hình gì ? Vì sao ?

d)Xác định vị trí điểm M trên nửa đờng tròn sao cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất tính diện tích đó theo bán kính R của nửa đờng tròn

1)Tìm hiểu đề toán

2)Vẽ hình và ghi GT, KL bài toán

+HS đọc đề toán

GT : Cho (O), O ∈ AB , M ∈ CD ,

AD ⊥ CD , BC ⊥ CD

KL : a) MC = MD b) AB = BC + AD

a)Chứng minh M là trung điểm của CD

-Khi nào thì M là trung điểm của CD ? (khi

tứ giác ABCD là hình thang và OM song

song với AD và BC )

-Tứ giác ABCD có phải là hình thang không

? (ABCD là hình thang vì có AD//BC cùng

vuông góc CD)

-Vì sao ta có thể kết luận đợc M là trung

điểm của CD? (Vì trong hình thang ABCD

có OM đi qua trung điểm AB là một cạnh

bên hình thang và song song với hai đáy

AD và BC – cùng vuông góc với CD –

nên đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại)

b)Chứng minh AB = AD + BC

-OM có liên hệ nh thế nào với AB?

(OM là bán kính nên 2.OM = AB)

-OM có liên hệ nh thế nào với AD và BC?

(Trong hình thang ABCD ( AD // BC) có

OM là đờng TB nên 2.OM = AD + BC )

So sánh => đpcm

c)Tứ giác BCDE là hình gì? Vì sao?

-Nếu AD cắt (O) tại E thì tam giác AEB là

tam giác gì? (Tam giác AEB là tam giác

vuông vì có cạnh AB là đờng kính)

-Tam giác AEB vuông thì suy ra điều gì cần

cho bài toán cần chứng minh? (Suy ra góc

AEB bằng 900 => BED = 900)

-Tứ giác BCDE có đặc điểm gì ?(Tứ giác

c) BCDE là hình gì ? d) Xác định M để SABCD đạt max

E

O

C

D

M

a)Chứng minh M là trung điểm của CD

Ta có : AD ⊥ CD, BC ⊥ CD và OM ⊥ CD

=> AD // BC // OM Vì AD // BC => ABCD là hình thang Trong hình thang ABCD có OA = OB và OM//AD//BC => M là trung điểm của CD

b) Chứng minh AB = AD + BC Trong (O) OM là bán kính => 2.OM = AB Trong hình thang ABCD (AD //BC) có OM

là đờng trung bình nên 2.OM = AD + BC

=> AB = AD + BC

c) AEB có cạnh AB là đờng kính của (O) nên là tam giác vuông tại E => AEB = 900

=> BED = 900 (kề bù với AEB)

BCDE là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông)

d)Xác định M để diện tích tứ giác ABCD

lớn nhất Tính diện tích ABCD theo R

-Tứ giác ABCD là hình gì? Nêu cách tính

diện tích tứ giác ABCD (Tứ giác ABCD là

hình thang vuông có AD, BC là hai đáy và

BE là đờng cao SABCD= (AD + BC).BE hay

SABCD = OM.BE ≤ OM AB = 2R2

-Diện tích của tứ giác ABCD lớn nhất khi

nào ? Và bằng bao nhiêu R ?

( Diện tích tứ giác ABCD lớn nhất bằng 2R2

- Dấu “=” xảy ra khi CD = AB => OM ⊥

AB)

d)Diện tích hình thang ABCD :

SABCD= (AD + BC).BE = OM.BE (vì OM là đờng trung bình của hình thang ABCD )

≤ OM.AB = 2R.R = 2R2

Dấu “=” xảy ra khi BE = AB <=> ABCD là hình chữ nhật <=> CD//AB => OM ⊥ AB

C/Các bài tập tự giải :

Bài 1 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB = 13cm Dây CD = 12cm và vuông góc với

AB tại H

a)Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB

b)Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của H trên AC, BC Tính diện tích tứ giác CMHN

Hớng dẫn : a)Giả sử HA > HB (H nằm giữa O và B) : Vận dụng tính chất đờng kính vuông góc với dây và áp dụng định lý Pytago để tính OH = 2,5cm => HA = 9 cm và HB = 4cm, ngợc lại nếu H nằm giữa O và A thì HA = 4 cm , HB = 9 cm

b)* Cách 1 :

+Chứng minh tứ giác CMHN là hình chữ nhật vì có ba góc vuông => SCMHN = HM.HN +áp dụng hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông AHC tính đợc HM = 13

13

12 , HN =

13

13

18 => SCMHN = HM.HN =

13

13

13

13

18 = = 16 (cm2)

*Cách 2 :

Tam giác CHA vuông tại H có HM là đờng cao => CH2 = CM.AC => CM =

Tam giác CHB vuông tại H có HN là đờng cao => CH2 = CN.BC => CN =

Tam giác ABC vuông tại C(nội tiếp đờng tròn đờng kính AB) => AC.BC = CH.AB

SCMHN = CM.CN = = = = = = 16 (cm2)

*Cách 3 :

Sử dụng tam giác đồng dạng : Chứng minh CHM P BAC (g-g) => = = k

=> = k2 = 2

13

6











 = , SBAC = CH.AB = 6.13 = 3.13

Vậy = => SCHM = SBAC = 3.13 =

Vì HCN/CMHN có CH là đờng chéo => SCMHN = 2.SCHM = = 16 (cm2)

Bài 2 : Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D là trung điểm AB, E là trọng tâm của tam giác ACD Chứng minh OE ⊥ CD

Hớng dẫn

Kẻ trung tuyến CM và DN của  ADC cắt nhau tại E, AO cắt CD tại G => G là trọng tâm của  ABC => = => EG //AB , DO ⊥ AB => EG ⊥ DO

DN là đờng TB của ABC => DN // BC mà AO ⊥ BC hay OG ⊥ BC => OG ⊥ DN hay

OG ⊥ DE Trong DOE có EG ⊥ DO , OG ⊥ DE => G là trực tâm của DOE => DG ⊥

OE mà D, G, C thẳng hàng (G ∈ CD ) => OE ⊥ CD

Bài 3 : Cho ba điểm A, B, C bất kỳ và đờng tròn tâm O bán kính bằng 1 Chứng minh răng tồn tại một điểm M trên đờng tròn (O) sao cho : MA + MB + MC ≥ 3

Hớng dẫn :

Vẽ đờng kính DE của đờng tròn (O, 1 cm)

Ta có : DA + EA ≥ DE = 2 (cm)

DB + EB ≥ DE = 2 (cm)

DC + EC ≥ DE = 2 (cm) Cộng vế theo vế ta đợc : DA + DB + DC + EA + EB + EC ≥ 6

Nếu DA + DB + DC ≥ 3 => Điểm cần chọn là D Nếu DA + DB + DC < 3 => EA + EB + EC ≥ 3 => Điểm cần chọn là E

Tiết 5 – 8

vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn

của đờng tròn và đờng tròn

A.Tóm tắt kiến thức cơ bản

1)Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và đ ờng tròn

-Vì sao đờng thẳng và đờng tròn có nhiều nhất không quá hai điểm chung?

+Vì qua ba điểm thẳng hàng không xác định đợc đờng tròn nào

-Căn cứ vào điều kiện nào để chúng ta xác định đợc các vị trí tơng đối của đờng thẳng

và đờng tròn ?

+Căn cứ vào số điểm chung của đờng thẳng và đờng tròn :

-Nêu các vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn.

a)Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau

*Số điểm chung là 2 - Hai điểm chung gọi là hai giao điểm

*Đờng thẳng đợc gọi là cát tuyến của đờng tròn

*Gọi d là khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng thì d < R (R : bán kính đ-ờng tròn)