ĐỊNH LÍ DẤU TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

TỔNG QUAN về giải các bài toán tìm tham số m để phương trình  ,0 L x m  có nghiệm (có n nghiệm) trong miền D. Đặt ẩn phụ   tx   , chuyển điều kiện xD  thành điều kiên tương ứng 1 Dt  (với bài toán hỏi số nghiệm, cần chỉ rõ với mỗi 1 Dt tương ứng cho mấy giá trị D x ). Chuyển bài toán đã cho thành bài toán tìm m để  ,0 f t m  có nghiệm (có 1 n nghiệm) thuộc 1D . Chú ý: Với bài toán tìm m để  ,0 f t m  có nghiệm (có 1 n nghiệm) thuộc 1 D thông thường có các cách làm như sau:  Nếu  ,0 f t m  nghiệm chẵn, tính trực tiếp.  Nếu  ,0 f t m  có thể đưa về dạng tách ẩn, ta dung phương pháp bảng biến thiên.  Nếu hai phương pháp trên không dung được, ta dung phương pháp tam thức bậc hai. ĐỊNH LÍ DẤU TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG 1. Định lí thuận: Cho     2 0 f x ax bx c a     .  Nếu 0  thì   0 af x x    (   fx luôn cùng dấu với hệ số a)  Nếu 0  thì   0 , 0 22 bb af x x f aa          Nếu 0  ta có quy tắc: “trong tráingoài cùng”. Tức là khi đó   0 fx có hai nghiệm phân biệt   1 2 1 2 , x x x x  và      1 2 1 2 0 ; ; 0 ; af x x x x af x x x      . 2. Định lí đảo: Cho     2 0 f x ax bx c a     . Khi đó   0 fx có hai nghiệm 12 , xx thỏa mãn 12 xx   khi và chỉ khi   0 af   . 3. Hệ quả. Cho     2 0 f x ax bx c a     a) Phương trình   0 fx có 1 nghiệm nằm trong  ;  và một nghiệm nằm ngoài ;        .0 ff   . b) Phương trình   0 fx có hai nghiệm 12 , xx   (tương ứng   )         0 00 22 af af Sb a                  c) Phương trình   0 fx có hai nghiệm 12 , xx   (tương ứng   )

 TỔNG QUAN về giải các bài toán tìm tham số m để phương trình L x m , 0 có nghiệm (có n

nghiệm) trong miền D

- Đặt ẩn phụ t x , chuyển điều kiện x D thành điều kiên tương ứng tD1 (với bài toán hỏi số nghiệm, cần chỉ rõ với mỗi tD1 tương ứng cho mấy giá trị xD)

- Chuyển bài toán đã cho thành bài toán tìm m để f t m , 0 có nghiệm (cón nghiệm) thuộc 1

1

D

- Chú ý: Với bài toán tìm m để f t m , 0 có nghiệm (cón nghiệm) thuộc 1 D thông thường có 1

các cách làm như sau:

 Nếu f t m , 0 nghiệm chẵn, tính trực tiếp

 Nếu f t m , 0 có thể đưa về dạng tách ẩn, ta dung phương pháp bảng biến thiên

 Nếu hai phương pháp trên không dung được, ta dung phương pháp tam thức bậc hai

ĐỊNH LÍ DẤU TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG

1 Định lí thuận:

Cho f x ax2bx c a  0

 Nếu  0 thì af x   0 x ( f x luôn cùng dấu với hệ số   a)

 

     

 

 Nếu  0 ta có quy tắc: “trong trái-ngoài cùng” Tức là khi đó f x 0 có hai nghiệm phân biệt x x x1, 2 1 x2 và af x   0 x x x1; 2  ;af x  0 x x1; 2

2 Định lí đảo:

Cho f x ax2bx c a  0 Khi đó f x 0 có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1  x2 khi và chỉ khi af  0

3 Hệ quả Cho f x ax2 bx c a  0

a) Phương trình f x 0 có 1 nghiệm nằm trong ; và một nghiệm nằm ngoài  ; 

    0

f  f 

b) Phương trình f x 0 có hai nghiệm x x1, 2  (tương ứng )      

 

0

a



 





    



c) Phương trình f x 0 có hai nghiệm x x1, 2  (tương ứng )      

 

0

a



 





    



d) Phương trình f x 0 có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1x2   

 

0 0 0

2

af af S





 





  



Chú ý: phần d) là hợp của hai phần b), c)

4 Một số bài toán: (Trong phần này f x là một tam thức bậc hai.)  

 Bài toán 1: Tìm điều kiện để phương trình f x 0 có nghiệm thuộc  ; 

Lời giải Xét 4 trường hợp:

 TH1: Phương trình f x 0 có một nghiệm x1  và nghiệm x2 ; 

 TH2: Phương trình f x 0 có một nghiệm x1  và nghiệm x2 ; 

 TH3: Phương trình f x 0 có 1 nghiệm nằm trong ; và một nghiệm nằm ngoài

;

 

 

   f    f  0

 TH4: Phương trình f x 0 có cả hai nghiệm cùng nằm trong  ;   

 

0 0 0

2

af af S





 









  



 Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình f x 0 có nghiệm thuộc  ; 

Lời giải: Xét 3 trường hợp

 TH1: Phương trình f x 0 nhận  hoặc  làm nghiệm  

 

0 0

f f





 



 TH2: Phương trình f x 0 có 1 nghiệm nằm trong ; và một nghiệm nằm ngoài

;

 

 

   f    f  0

 TH3: Phương trình f x 0 có cả hai nghiệm cùng nằm trong  ;   

 

0 0 0

2

af af S





 









  



Chú ý: Bài toán 2 có thể giải gọn hơn theo 2 trường hợp

+ TH1: f    f  0

+ TH2: Phương trình f x 0 có cả hai nghiệm thuộc  ;   

 

0 0 0

2

af af S





 





  



Tuy nhiên, sự phân chia trường hợp như thế không triệt để!

 Bài toán 3: Tìm điều kiện để f x 0 có nghiệm thuộc ;  ; hoặc

;   ;

Lời giải: Đối với bài toán này, ta nên chuyển về bài toán đối, đưa về giải quyết các bài toán

trên