NGUYEN HAM-TICH PHAN-UNG DUNG-(P1)

Nguyên hàm của một tích thương của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích thương của các nguyên hàm của những hàm thành phần.. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số n

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN- nguyên hàm mở rộng

• Lưu ý: f x dx( ) được gọi là nguyên hàm của f x theo biến ( ) x

• Công thức biến đổi vi phân: d u x ( )=u x dx( )

+

sin u du= − u C+



2 Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích

(thương) của các nguyên hàm của những hàm thành phần

3 Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành

một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

1 3 12

4 1 3ln 3

3 x x x x C

= + + + + Vậy ( ) 4 3 1 3ln 33

=  −  = − − +

Bài toán 2: Chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của f x( )

Phương pháp: Để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )trên K ta cần

21

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Vậy F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên

Bài toán 3: Xác định nguyên hàm với điều kiện ràng buộc

Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ),f x tức đi tính

 = − Vậy ( ) 2 5 2 22

ln 12

Lời giải: Theo tính chất ta có  f( )x dx= f x( )+C  f x( ) (= 3 5− cos x dx) =3x−5sinx+C

Mặt khác f ( )0 = 5 3.0 5sin 0− + = C 5 C=5 Vậy f x( )=3x−5sinx+5

Bài toán 4: Tìm giá trị của tham số để F x( ) là một nguyên hàm của f x( ).

Phương pháp: Để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K F x( ) ( )= f x

, x K Từ đó, ta sử dụng đồng nhất thức, điều kiện cần và đủ, điều kiện tồn tại nguyên hàm để tìm ra tham số cần tìm

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Để F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) F x( ) ( )= f x , x 

 3mx2+2 3( m+2)x− =4 3x2 +10x−4, x  32 3( 3 2) 10 1

m

m m

x x x

Đạo hàm của hàm số tại điểm x = , ta đi xác định: 1

+ Đạo hàm bên trái của hàm số y=F x( ) tại điểm x = 1

 =



 = −

 Khi đó : F( )1 = =2 f( )1 Vậy với 2

1

a b

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

2 1 2 11

- Nếu degP x( )degQ x( ) ⎯⎯→PP Chia đa thức

- Nếu degP x( )degQ x( ) ⎯⎯→PP Xem xét mẫu số và khi đó:

✓ Nếu mẫu số được phân tích thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số

3 41

2

x x

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

a 1+cos2 4x dx b cos2xdx c 2sin3 cos2x xdx

Lời giải:a 1 cos4 1 1 cos4 1 1sin 4

C: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

CHUYÊN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

LÝ THUYẾT - HÀM ĐA THỨC- CĂN THỨC

Câu 1: Cho hai hàm số f x( ), g x( ) liên tục trên Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. f x( )+g x( )dx= f x( )dx+g x( )dx, với mọi hàm số ( )f x và ( ) g x liên tục trên

B. f x x'( )d = f x( )+C, với mọi hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên

C. f x( )−g x( )dx=f x( )dx−g x( )dx, với mọi hàm số ( )f x và ( ) g x liên tục trên

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

D. kf x x( )d =k f x x ( )d , với mọi hàm số ( )f x liên tục trên và mọi số thực k

Câu 3: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục trên a b;  đều có đạo hàm trên a b; 

(2): Mọi hàm số liên tục trên a b;  đều có nguyên hàm trên a b; 

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên a b;  đều có nguyên hàm trên a b; 

(4): Mọi hàm số liên tục trên a b;  đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên a b; 

Câu 5: Cho F x( ) là một nguyên hàm của hàm số 2

y=x Giá trị của biểu thức F ( )4 là

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số ( ) 2017

f x =x (x  ) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Câu 12: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( ) (=x x+1)

x C x

 +

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Câu 21: Tìm 12d

x x

+ + B. 3 2

3

x

C x

− + C. 3 1

3

x

C x

− + D. 3 2

3

x

C x

Câu 29: Họ nguyên hàm của hàm số ( ) 6

Câu 31: Nguyên hàm của hàm số f x( )=cosx là

A. −sin x C+ B.sin x C+ C. cos x C+ D. −cos x C+

Câu 32: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )= −x sinx

A. ( )d

2

cos2

Câu 34: Nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx+cosx là

A. sinx+cotx C+ B.sinx+cosx C+ C. sinx−cosx C+ D. cosx−sinx C+

Câu 35: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx−cosx

A. f x( )dx= −sinx+cosx+C B.  f x( )dx=sinx+cosx+C

C.  f x( )dx= −sinx−cosx+C D.  f x( )dx=sinx−cosx+C

Câu 36: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sinx và đồ thị hàm số y=F x( ) đi qua điểm M( )0;1

A. F x( )=cosx−sinx+3 B. F x( )= −cosx+sinx+3

C. F x( )= −cosx+sinx−1 D. F x( )= −cosx+sinx+1

Câu 38: Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f'( )x = −3 5sinx và f ( )0 =10 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

+

+ ++

Câu 44: Trong các hàm số sau, hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F x( )=ln x ?

f x

x x

02

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Câu 1: Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) Mệnh đều nào sau đây đúng?

Câu 5: Cho hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f x( )=x3 −x2 −5x thỏa F( )0 =m Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để hàm số y= F x( ) có 7 điểm cực trị

Câu 7: Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) 2

y

x

=+

= − +++

= +++

x

dx x

−+

 − 

+

 +

 − 

+

 +

 − 

+

 +

1

;3

 

− −

 

  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

x

f x

x

=+

thỏa mãn F( )1 =0 Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x( )

3 4

Câu 23: Cho hàm số f x xác định trên ( ) \ 2 − thỏa mãn ( ) 3 1

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Câu 36: Tìm họ của nguyên hàm f x( )=tan 2x

A. tan 2x x d =2 1 tan 2( + 2 x)+C B. tan 2x x d = −ln cos2x +C

Câu 37: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=sin 2x+cosx là

A. −cos2x+sinx C+ B. cos 2x− sinx+C C. sin 2x+ sinx+C D. cos2x−sinx C+

Câu 38: Cho bốn mệnh đề sau:

cos2 2

Câu 40: Tìm nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x( )=6x+sin3x, biết ( ) 2

0 3

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Câu 49: Biết xcos2xdx=axsin2x b+ cos2x C+ với ,ab là các số hữu tỉ Tính tích a b

 , với a, b là các số nguyên dương, a

b là phân số tối giản

51.A 52.B 53.B 54.A 55.B 56.C 57.A 58.C 59.B 60.C

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ 3: TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT

A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Phương pháp vi phân: Sử dụng công thức vi phân df x( )= f( )x dx

  để hiểu nếu có công thức dx= +x C thì sẽ có công thức d f x ( ) = f x( )+C

Một số biến đổi vi phân cần nhớ:

(cosx)dx=d(sinx) (sinx)dx=d(−cosx) d d( )

Thứ tự ưu tiên chọn u: Loga→ đa thức→lượng giác = mũ

xdx B

=

− là bởi cos2

Lời giải:

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Vì điều kiện x  Ta xét hai trường hợp: 1

3 2 3

2

cos 1

tdt t

sin tan cos

2 Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát

x dx J

e

=+

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468 Đặt 2

Nhận xét: Nếu biểu thức cần tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ thì có

thể đặt ,u v tùy ý Tuy nhiên trong quá trình tính sẽ gồm các vòng lặp, trong mỗi vòng lặp phải nhất quán việc đặt u

=+ Đặt

2 2

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Lời giải: Đặt sin ln( ) 1cos( )ln

Phương pháp: Nguyên hàm đổi biến

Câu 1: Cho  f x dx( ) =F x( )+C Khi đó I=f( )2x dx bằng

x

C

+ + B. ( 2 )16

3 16

x

C

+ + C. ( 2 )14

3 14

x

C

+ + D. ( 2 )14

3 28

x

C

+ +

Câu 6: Tính nguyên hàm I=2x x2−1dx bằng cách đặt u=x2 − , mệnh đề nào dưới đây đúng? 1

Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng ( ) (0;+ ) Khi đó ( )

x x

bằng:

A. 1 ( )+

2f x C B. f ( )x +C C. −2 f x C( )+ D.2 f x C( )+

Câu 8: Cho nguyên hàm −

=+ +

+ B. 2

21

x C x

+ C. 1 2

x C x

++ D. 2

21

x C x

++

Câu 13: Biết rằng trên khoảng 3;

2

 + 

A.arcsin x C+ B. arcsin x C+ C. −arcsin x C+ D. arc tan x C+

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số ( ) 2

1 cos2

f x

x x

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Câu 17: Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=sin cos3 x x và F( )0 = Tìm

Câu 19: Tìm họ của nguyên hàm f x( )=tan 2x

A. tan 2x x d =2 1 tan 2( + 2 x)+C B. tan 2x x d = −ln cos2x +C

Câu 20: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )=tan5x

A. ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

sin

1 cos

x x x

+

 có kết quả là

A.

1cos 2

1 cosln

1cos 2

1 cosln

1cos 2

=+

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

Câu 40: Tính F( )x =xcosxdx ta được kết quả

A. F x( )=xsinx−cosx+C B. F x( )= −xsinx−cosx+C

C. F x( )=xsinx+cosx+C D. F x( )= −xsinx+cosx+C

Câu 41: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=xcos 2x là

Câu 42: Nguyên hàm của hàm số f x( )=xsinx là:

A. F x( )= −xcosx−sinx+C B. F x( )=xcosx−sinx+C

C. F x( )= −xcosx+sinx+C D. F x( )=xcosx+sinx+C

F x

x

= là mo ̣t nguyên hàm của hàm só f x( )

x Tìm nguyên hàm của hàm só f( )x lnx

F x

x

= − là mo ̣t nguyên hàm của hàm só f x( )

x Tìm nguyên hàm của hàm só f( )x lnx

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | Thầy Thông Đình Đình – 09411-02468

f x trên đoạn ;a b Hiệu số F b( ) ( )−F a được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân

xác định trên đoạn ;a b ) của hàm số f x( ), kí hiệu là ( )d

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

2 0

1

Lời giải: ( )d

1 2 0

1

5 1 1

2 2 0

1

3 16

2 4 1

1

11 3 16

4 4 1

Lời giải: d

8 2 3 1

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468 Khi đó (*)  f n( ) = f(3)  =n 3.

DẠNG ĐẶC BIỆT CHO HÀM PHÂN THỨC

Bài toán tổng quát: Tính tích phân ( )

=  với P x( ) và Q x( ) là các đa thức không căn

• Nếu bậc của tử số P x ( ) bậc của mẫu số Q x( ) ⎯⎯→PP Xem xét mẫu số , ta có các trường hợp phổ biến sau:

Chú ý: Đối với những Ví dụ phức tạp, để đưa về các dạng ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 ta phải thực hiện biến đổi phân

số ban đầu thành tổng các phân số và tìm các hệ số bằng phương pháp đồng nhất thức đã trình bày ở phần nguyên hàm Một số trường hợp thường gặp:

a

x x x

a

x x x

a

x

x x

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

a b

= + 14

20

a b

 b) 3 2

5

51

 c)

1 3 2 2

x dx

x −



Lời giải:

++ suy ra B = 1

a) Cách 1: Thực hiện cách chia đa thức 3

x cho đa thức x2 + 2x+ 1 đã học ở chương trình lớp 8

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

C C

Cách 2: (Phương pháp đổi biến)

Đặt: t = +x 1, suy ra: x= −t 1 Đổi cận: 2 3

131

t t B

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468 Vậy:

11

14

− +

− +

Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số:

Khi x =0: 1 = − 4A suy ra: 1

4

A = − Khi x = −2: − =1 8C suy ra 1

8

C = − Khi x =2: 3 8B= suy ra: B =3

Thay: x =1 ta có: 1 2A = , suy ra: 1

2

A = Thay: x = −1 ta có: 1 2B = − , suy ra: 1

2

B = − Thay: x = −2 ta có: 4= −5C, suy ra: 5

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

x

I =e + x

2 2

1

x

x x

e I

e e

+

++

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

Câu 23: Giá trị nào của b để ( )d

Ⓐ b =0 hoặc b =3 Ⓑ b =0 hoặc b =1 Ⓒ b =5 hoặc b =0 Ⓓ b =1 hoặc b =5

Câu 24: Với a b, là các tham số thực Giá trị tích phân ( 2 )d

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

1

x I

= + + , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện ( )d

1

1 2

 , với a , b là các số nguyên thuộc khoảng (−7;3) thì a và b là nghiệm

của phương trình nào sau đây?

 

 

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

Câu 54: Kết quả của tích phân ( )d

Câu 60: Tích phân e d

1 1 0

x

I= + x bằng

BẢNG ĐÁP ÁN

11.A 12.D 13.B 14.B 15.A 16.A 17.C 18.D 19.A 20.A 21.C 22.A 23.D 24.B 25.C 26.D 27.B 28.D 29.B 30.B 31.A 32.C 33.C 34.B 35.A 36.C 37.C 38.B 39.C 40.C 41.D 42.A 43.A 44.D 45.A 46.A 47.D 48.D 49.C 50.A 51.B 52.B 53.D 54.B 55.A 56.A 57.D 58.C 59.C 60.B

Chuyên Đề 5- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ

I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

PP n

m n

n

PP n

.( 1)

A=x x− dx b)

4 0

16

.1

x

x

=+

.1

.(1 )

3 2

x

x

=+

1( 1)

8

2 ln 5

−

99 1

101 0

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

1

2 0

x

=+

x

=+

=+ + +

=+ +

x

=+

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

BẢNG ĐÁP ÁN

21.A 22.D 23.D 24.B 25.D 26.A 27.A 28.A 29.D 30.B

BT 2 Tính các tích phân sau (phương pháp: đặt t= n f x( ) =t n f x( )nt dt n−1 = f x dx( ) và đổi cận)

7

2

32

3 1

2 25

t t

4t −2 dt=



2 3

1

4 23

t t

d)Đặt t = x +  = + 2 t2 x 22tdt dx= Đồng thời x=  =2 t 2 và x=  =7 t 3

Vậy

3 2 2 2

1.22

dt

++ −

a b

2

3

0

.1

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

20

5

dx I

1

2 ln

1

t t t

 − +

2t +4 dt=



2 3

1

2 43

t t

 +

 

 

 

26 3

1

C= − −t t dt= 1( )

2 4 0

4 3

2 1

ln

1 3 ln

e

x dx I

e dx I

0

21

9 16

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

BT 5 Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t = căn):

• Bài toán tổng quát: Tính tích phân ( 2 2) 2n ,





= −   với n 

• Phương pháp: Đặt x=asint hoặc x a = cos t

Mấu chốt việc đặt ẩn phụ này là xuất phát từ công thức sin 2t+ cos 2t= 1 Thật vậy a2−x2 = a2−a2sin2t = a2(1 sin )− 2t =a cos2t =acos ,t ta sẽ

tương tự nếu đặt x a = cos t Mục đích chính của việc đặt ẩn này là giúp khai căn

dễ dàng

Ví dụ: Tính tích phân

1 2

2 0

11

2

0 1

x dx I

( 1) 4

3

I = +

BT 6 Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t = căn):

• Bài toán tổng quát: Tính tích phân ( 2 2)m 2n ,





= +   với n , 2 m

• Phương pháp: đặt x a= tant hoặc x a= cot t

Có phép đặt ẩn phụ này là xuất phát từ công thức 2

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

Ví dụ 1: Tính tích phân

3 2 0

19

2 0

3 tan . 3

cos t3

cos t

t dt

4 0

sin cos3

2 2 0

sin cos3

1 sin

dt t

2 2 0

3

1

u du u

dx I

11

BT 7 Tính các tích phân sau (trường hợp không đặt t = căn):

• Bài toán tổng quát: Tính tích phân ( 2 2)m 2n ,

t

= hoặc ,

sin

a x

t

= chẳng hạn đặt

cos

a x

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

sint và cost cùng dấu, nghĩa là t thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ ba

30; ;

sincos

2

sintan

1cos t

dx I

61

x

x x

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

1 2

TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN– PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

1

2 0

dx I

=+ +

4 21

 là :

Câu 8 Giá trị của tích phân

1 2 0

4 2 1

11

11

−

=+ + +



1 ln 7

1 ln 7

2 2

33

11

Tài liệu Ôn thi THPT Quốc gia 2019 | THONGMATHS- 09411-02468

BT 9 Tính các tích phân sau (đổi biến của hàm logarit):

Bài toán: Tính b (ln ) 1

khi đặt ẩn phụ sẽ đơn hơn Ngoài ra, khi gặp căn thức, ta cũng đặt t=n f(ln )x 

Nếu có chứa log

ax thì ta chuyển về ln x bằng công thức: log log log ln

ln( 4)4

BT 10 Tính các tích phân sau (đổi biến của hàm số mũ):

.( 1)

x x

e dx I

x x

x x

e dx I

Ⓐ I =cos1 Ⓑ I = 1 Ⓒ I =sin1 Ⓓ Một kết quả khác

+