Bài giảng định lý dấu tam thức bậc 2 và ứng dụng

Bước 1: Biến đổi biểu thức đã cho thành tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai. Bước 2: Lập bảng xét dấu bằng cách sử dụng lý về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc[r]

CHUYÊN ĐỀ TAM THỨC BẬC HAI

Dạng 1 Xét dấu tam thức bậc hai

 Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng   2  

 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

Nếu   thì 0 f x cùng dấu với a với mọi x   R

Nếu   thì 0 f x cùng dấu với a với mọi  

2

b

a

Nếu  0thì f x trái dấu với a ở trong khoảng hai nghiệm   x ; x , 1 2 f x cùng dấu với a ở ngoài đoạn hai nghiệm x ; x , 1 2

Ví dụ 1 Xét dấu các tam thức bậc 2

a) f x( )  x2 6x16; b) f x( )2x22( 5 1) x2 54

Bài tập luyện tập

1 Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a)   2

f x  x  x b)   2 3

3 4

Dạng 2 Giải bất phương trình bậc hai

 Phương pháp:

Bước 1: Xét dấu của tam thức bậc hai ở vế trái

Bước 2: Kết luận nghiệm của bất phương trình bậc hai

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình sau

a) 2x25x 2 0; b) 2x2 3x 7 0 c) 4x212x 9 0

Bài tập luyện tập

2 Giải các bất phương trình sau:

5

   

b) 16x2 + 40x + 25 < 0 Đáp số: 

Dạng 3 Giải hệ bất phương trình bậc hai

 Phương pháp:

Bước 1: Giải từng bất phương trình bậc hai (như dạng 2)

Bước 2: Tìm giao của các tập nghiệm

Ví dụ 3 Giải hệ bất phương trình sau

2 2 2





   



Bài tập luyện tập

3 Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

2 2

.

   



 

b)

2

2

2





1 1

2 2

 

Dạng 4 Xét dấu một biểu thức đại số

Bước 1: Biến đổi biểu thức đã cho thành tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất hoặc

tam thức bậc hai

Bước 2: Lập bảng xét dấu bằng cách sử dụng lý về dấu của nhị thức bậc nhất hoặc tam thức

bậc hai

Ví dụ 4 Xét dấu các biểu thức sau

a) ( ) 2 1 2 3

f x

2

( )





f x

Bài tập luyện tập

4 Xét dấu các biểu thức sau:

a)

Ax  x   x  .

2

B     x ;  ;  ; .

Dạng 5 Giải bất phương trình hữu tỷ

 Phương pháp:

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế

Bước 2: Rút gọn biểu thức thu được

Bước 3: Xét dấu biểu thức đó (theo dạng 1)

Bước 4: Dựa vào bảng xét dấu suy ra nghiệm của bất phương trình

Ví dụ 5 Giải các bất phương trình

2 2

0

x

Bài tập luyện tập

5 Giải các bất phương trình sau:

a)

2

1

3 2

x.

x

2

  b)

2 2

.

6 Giải các bất phương trình sau:

a)

2

0 30

.

b)

2

0

8 15

.



 Chú ý rằng a x b x a







7 Giải các bất phương trình sau:

a)

2 2

1

.

4

     

b)

2 2

.

0

Dạng 6 Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên R

 Phương pháp: Từ định lý về dấu của tam thức bậc hai 2

0

f ( x )ax bx c,( a  ), ta có: 0

0

0

a

     



0 0

0

a

     

 0

0

0

a

     



0 0

0

a

     



 Chú ý: Trong trường hợp tổng quát ta phải xét hai trường hợp a 0 và a0.

Ví dụ 6 Tìm giá trị của tham số m để

2

1



    có nghĩa với x R 

Bài tập luyện tập

8 Tìm điều kiện của m để

a) mx24x    m 0, x R Đáp số: m2.

b) mx2mx    5 0, x R Đáp số: 20   m 0.

9 Tìm m để các hàm số sau xác định x R 

b)

2

1



1 2

m  ; .

10 Tìm m để bất phương trình

2 2

  có tập nghiệm là R. Đáp số: m0 5; .

Dạng 7 Giải và biện luận phương trình 2

0

 Phương pháp:

Bước 2: Xét a Ta đi tính 0.  và biện luận theo dấu của 

11 Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) (m – 5)x2 – 4mx + m – 2 = 0 Đáp số:

3

10

m hoặc m 1

b) (m + 1)x2 + 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 Đáp số:

2

17 1 m 2

17









12 Tìm m để phương trình các phương trình sau vô nghiệm:

a) x2 – 2(m + 1)x + 2m2 + m + 3 = 0 Đáp số: m R.

b) (3 – m)x2 – 2(m + 3)x + m + 2 = 0 Đáp số: 3 1

   

13 Giải và biện luận phương trình   2  

m x  m x m   Đáp số: m   1 1

x  ; m   2 x 2; m    3 x 3; 1 2 2 3 3 2 2 4 3

2

m

m ( ; )( ;   ) x

Dạng 8 Giải và biện luận bất phương trình bậc hai 2

 Phương pháp:

Bước 2: Dựa vào các trường hợp xảy ra, xác định dấu của f ( x )

Bước 3: Kết luận về nghiệm của bất phương trình trong từng trường hợp

14 Giải và biện luận bất phương trình

a) ( m1)x22( m1)x3m 3 0 Đáp số: 1 3 2

2

m   S  ;,m   S



m   S ;     m S x ; x ,     m S ; x  x ; .

b) ( m1)x22mx2m0.

Bài tập tổng hợp:

15 Tìm m để bất phương trình

2 2

1 2 1

x

 có tập nghiệm là R

16 Cho bất phương trình x26x   Tìm m để bất phương trình 7 m 0.

c) Có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1 Đáp số: 7

4

17 Cho biểu thức f ( x )( m1)x22( m1)x3m3. Tìm các giá trị của m để: a) Bất phương trình f ( x )  vô nghiệm 0 Đáp số: m1.

b) Bất phương trình f ( x )  có nghiệm 0 Đáp số: m  2.

18 Tìm m để

a) 4x2y22ymx  3 0, x, yR Đáp số: m 4 2.

b) 9x220y24z212xy6xzmyz  0, x2 y2z2 0 Đáp số: m 4 8 3.