Toa do khong gian

Phương pháp Hệ tọa độ trong không gian Oxyz  Là hệ gồm 3 trục Ox , Oy , Oz đôi một vuông góc với nhau...  Q chứa AB vuông,góc với  P có phương trình Mặt phẳng  Q chứa đường thẳng

PHẦN 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

VẤN ĐỀ 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Phương pháp

Hệ tọa độ trong không gian Oxyz

 Là hệ gồm 3 trục Ox , Oy , Oz đôi một vuông góc với nhau

y y y

z z z

 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:

Tích vô hướng của 2 vectơ là: u vr r  u vr r .cos ; u vr r

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vectơ ar1;2;3, br  2;1;5, cr4;3;1

Tọa độ của vectơ u c b ar r  r r là:

A ur  7;4;1 B ur7;4; 1  C ur   7; 4;1 D ur7;4;1

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba vectơ ar  1;0;1, br1;0;1, cr1;0;3

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A2;1; 2 ,  B3;0;1, C2; 1;3  Gọi

 là góc giữa đường thẳng OA và BC Khi đó, cos bằng bao nhiêu?

3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho uuurAO3ir4rj2kr5rj Tọa độ của điểm A

Câu 4. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 3 ,  B6;5; 1 Biết OABC là hình

bình hành Khi đó tọa độ điểm C là:

Câu 6. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba vec-tơ ur3;7;0, vr 2;3;1, wr 3; 2; 4  Giả

sử arxu yv zwr r r, biết ar   4; 12;3 Giá trị , ,x y z nào dưới đây thỏa mãn?

Câu 10 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho bốn điểm A1; 1;1 , B2; 1;6  , C3;7; 4 ,

và có độ dài gấp 3 lần độ dài vec-tơ ar

Khi đó tọa độ vec-tơ br là:

Câu 13 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba điểm A2; 3; 4 , B1; 2;3 và C4; 4; 2  Gọi

 là góc giữa hai đường thẳng AB AC Khi đó cos  bằng:,

A Tam giác ABC vuông tại A B Tam giác ABC vuông tại B

C Tam giác ABC cân tại A D Tam giác ABC cân tại B

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Tích có hướng của hai vec-tơ

Cho urx y z1, ,1 1, vrx y z2, ,2 2 Tích có hướng của hai vec-tơ ,u vr r

kí hiệu là  u vr r,

và được xácđịnh:

đồng phẳng � u v wr r r, 0. Suy ra bốn điểm , , ,A B C D không đồng phẳng ( hay bốn điểm , , , A B C D tạo thành một tứ diện)

+ Diện tích tam giác ABC : 1 ,

uuur uuur uuur

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác ABC với A1;0;0, B0;0;1, C2;1;1

Diện tích tam giác ABCbằng bao nhiêu?

3 Câu hỏi rèn luyện

Câu 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai vec-tơ ar

và br Nếu ar 3, br 10 và  a br,r  �30thì � �� �a br,r bằng:

Câu 2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ur1;1; 2, vr  1; ;m m2 Với giá trị nào của m

dưới đây thì vec-tơ  u vr r,

có độ lớn bằng 14 ?

A m1 B m 3 C m 1 D Cả A và B

Câu 3 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho ba điểm A2; 4;3  , B0; 2;1 , C x y ; ; 4 Với giá trị

nào của ,x y thì ba điểm , , A B C thẳng hàng?

Câu 5 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A1; 1; 2 , B1;1; 1 ,  C2;3;1 Vec-tơ ��uuur uuurAB AC, ��

có tọa độ là:

A ��uuur uuurAB AC, �� 10; 5; 10   B ��uuur uuurAB AC, �� 14; 5; 10  

C ��uuur uuurAB AC, �� 14;5; 10  D ��uuur uuurAB AC, �� 10;5; 10 

Câu 6 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho tam giác ABC , biết A1; 2;3, B2;0; 2, C0; 2;0.

Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

A 27dvdt  B 142 dvdt  C 14 dvdt   D 2 7 dvdt  

Câu 7 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho tam giác ABC có A0;1; 2 , B1; 2;3, C0;1; 3 

Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC bằng:

Câu 8 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho bốn điểm A1;1;1, B2;3;4, C6;5; 2 và D7;7;5.

Diện tích tứ giác ABCD là:

Ax By Cz D    A B C  + Phương trình đoạn chắn: Nếu mặt phẳng  P cắt các trục tọa độ Ox Oy Oz lần lượt tại , , A a ;0;0,

+ Mặt phẳng   song song với mặt phẳng   thì   có một vec-tơ pháp tuyến là nr nr với nr là

vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  

+ Mặt phẳng   vuông góc với đường thẳng d thì   có một vec-tơ pháp tuyến là nr urd với urd

làvec-tơ chỉ phương của đường thẳng d

+ Mặt phẳng   là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB thì   có một vec-tơ pháp tuyến là

nr uuurAB

+ Lưu ý: Vec-tơ chỉ phương của đường thẳng urd a b c; ;  ở hai dạng của phương trình sau:

- Phương trình tham số của đường thẳng  là: 00  

0,

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A1;3; 2 và mặt phẳng

 P x: 2y2z  Phương trình của mặt phẳng 5 0  Q đi qua A và song song với mặt

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A4;1;3 , B2;5;1 Phương trình mặt phẳng

trung trực của đoạn thẳng AB là:

4 2 1 0

x y z  x2y z   1 0

C 3x2y z   5 0 D 2x y 2z  3 0

3 Câu hỏi rèn luyện

Câu 1 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm M3;0; 1 và mặt phẳng   P x y:  2z 0

Phương trình của mặt phẳng  Q đi qua A và song song với mặt phẳng  P là:

A x y 2z  3 0 B x y 2z  C 5 0 x y 2z  D 1 0 x y 2z  5 0

Câu 2 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A2; 1;0  và mặt phẳng

 P x: 2y   Phương trình của mặt phẳng 3z 10 0  Q đi qua A và song song với mặt

A 2x y    B 23z 1 0 x y    C 23z 1 0 x y    D 23z 1 0      x y 3z 1 0

Câu 5 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A1;3; 1 ,  B1;1;3 Phương trình mặt

phẳng trung trực của đoạn AB là:

A x y 2z 0 B x y 2z  C 6 0 x y 2z 0 D x y 2z  4 0

Câu 6 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A1; 5; 2 , B3; 1; 2  Phương trình mặt

phẳng trung trực của đoạn AB là:

 2 điểm ,A B nằm trong một mặt phẳng  P �uuur uuurABn p

 Mặt phẳng  P vuông góc với mặt phẳng  Q �nuuur uuur p n q

 Mặt phẳng  P chứa hoặc song song với đường thằng d �nuuur uur p u d

Các bài toán thường gặp:

 Mặt phẳng   đi qua 3 điểm , ,A B C � a có một vectơ pháp tuyến làn  ��AB C, ��

uuur uruur

 Mặt phẳng   qua ,M N và vuông góc với mặt phẳng    �  có một vectơ pháp tuyến là

  ,

MN

n  �� n ��

uuuur uuuruur

,với nuuur 

là vectơ pháp tuyển của  

 Mặt phẳng   chứa đường thẳng d và vuông góc với     �  có một vectơ pháp tuyến là

với uuurd

là vectơ chỉ phương của đường thẳng

 d và nuuur là vectơ pháp tuyến của    

 Mặt phẳng   song song với đường thẳng d và vuông góc với     �  có một vectơ pháptuyến là n  ��u n d,   ��

uur uuuruur

với uuurd

là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và nuuur 

là vectơ pháptuyến của  

 Mặt phẳng   vuông góc với   và   �  có một vectơ pháp tuyến là n  ��n  ,n  ��

lần lượt là vectơ pháp tuyên của   và  

 Mặt phẳng   chứa hai đường thẳng cắt nhau d d 1, 2 �  có một véctơ pháp tuyến là

  d1, d2

n  ��u u ��

với u ur rd1, d2

lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d d 1, 2

 Mặt phẳng   chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng 1 d 2 �  có một véctơpháp tuyến là n   ��u u d1, d2��

với u ur rd1, d2

lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d d 1, 2

 Mặt phẳng   chứa điểm M và đường thẳng d �  có một véctơ pháp tuyến là

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A1;1;1, B3;0; 2 và C1;0;1.

Phương trình mặt phẳng  P di qua ba điểm , , A B C là

A.  P x: 2y2z 5 0  B.  P x: 2y2z 3 0 

C.  P x: - 2y2z  1 0 D.  P x: 2y2z 1 0 

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A   , 1; 1; 2 B0;1;1 và mặt phẳng

 P x y z:     Phương trình mặt phẳng 1 0  Q đi qua A , B và vuông góc với  P là

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;1) và mặt phẳng

 P : 2x y 3z 1 0 Phương trình mặt phẳng  Q đi qua A, vuông góc với mặt phẳng

 P và song song với Oy là

3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện.

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A   1;2; 1   , B  2;1; 1  , C  3;0;1 

Phương trình mặt phẳng   P đi qua ba điểm A B C , , là:

A.   P x :  3 y z    6 0 B.   P x :  3 y z    8 0.

C.   P x :  3 y z    6 0 D   P x :  3 y z    4 0.

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A   1;1;2 ,   B 0;1;1 ,   C 1;0;4  Mặt

phẳng  ABC  nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ pháp tuyến?

A. u r   1;4; 1   B. u r    1; 4;1  C. u r    1;4;1  D. u r   2;8;2  Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   P : 2 x y   2 z   1 0 và hai điểm

 1; 2;3 

A  ,B  3;2; 1   Phương trình mặt phẳng   Q qua A B , và vuông góc với mặtphẳng   P là:

A.   Q : 2 x y z     3 0 B.   Q : 2 x  2 y  3 z   15 0.

C.   Q : 2 x  2 y  3 z   7 0 D.   Q x :  2 y  2 z   9 0.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   Q x :  2 y  3 z   16 0 và hai

điểm A  1;0;1  ,B  2;0;2  Phương trình mặt phẳng   P qua A B , và vuông góc với mặtphẳng   Q sẽ đi qua điểm nào sau đây:

A. M     1; 2 1  B. N  1;21  C. P   1;2;1  D. Q   1; 2; 1   Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm , A2; 2;0 , B 1;1; 1  và mặt phẳng

 P có phương trình là: 2x2y z   Phương trình mặt phẳng 2 0  Q chứa AB vuông,góc với  P có phương trình

Mặt phẳng  Q chứa đường thẳng d đồng thời vuông góc với

mặt phẳng  P thì vuông góc với đường thẳng nào dưới đây?

A. 1

3: 12

Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1

3: 1 23

Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm , A B thì d có một vecto chỉ phương là u ABr uuur

Nếu đường thẳng d  P thì d có 1 vecto chỉ phương là u nr r , với nr là một VTPT của mặt phẳng  P

Nếu đường thẳng / /d  thì d và  có cùng vecto chỉ phương, tức là d có một vecto chỉ phương là

d

uuur uuru

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số đường thẳng d đi qua gốc

tọa độ O và có vecto chỉ phương ur1;3; 2 có phương trình là

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A0; 1; 2  và  B1;1;1 Phương trình chính

tắc của đường thẳng d đi qua A và B là

Ví dụ 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A2;1;1 và mặt phẳng  P có phương

trình 2x y 2z 7 0 Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông gócvới mặt phẳng  P là

3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d đi qua M2;0; 1  và có vectơ

chỉ phương ur4; 6; 2  Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Câu 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số của đường thẳng d đi qua

điểm A1; 2;3 và vuông góc với mặt phẳng   : 4x3y7z 1 0 là:

1 4: 2 3

C  

1 3: 2 4

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua

điểm M2;0 ; 1   và có vectơ chỉ phương ur4; 6; 2  là

Câu 4 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  đi qua A1;0; 1  và có vectơ

chỉ phương ur  2; 4;6 Phương trình tham số của đường thẳng  là:

Câu 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua

điểm A1; 2; 1  và vuông góc với mặt phẳng  P x: 2y  3z 1 0 là:

Câu 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1;1; 2 , B 2; 1;0  Phương trình

chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm , A B là:

Câu 7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A1; 4; 7  và mặt phẳng

 P x: 2y  2z 5 0 Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông gócvới mặt phẳng  P là:

Câu 8 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 1;3 ,  B 3;0; 4  Phương trình

chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm , A B là:

Câu 9 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A1; 2; 3 ,  B 3; 1;1  Phương trình

chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm , A B là:

Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A2;1;1 và mặt phẳng

 P : 2x y 2z 7 0 Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và vuông gócvới mặt phẳng  P là

Ví dụ 2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng : 1 1 2

    

phẳng  P : 2x y 2z 5 0 và điểm A1;1; 2  Phương trình chính tắc của đường thẳng 

đi qua A , song song với mp P và vuông góc với hai đường thẳng d là: 

cho d cắt và vuông góc với đường thẳng  là:

3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d d lần lượt có phương trình1, 2

d Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua A0; 1; 4  ,

vuông góc với d và nằm trong  P là:

d Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua A3; 4;1,

vuông góc với d và nằm trong  P là:

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x y z   1 0 và đường

d Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua A3; 4;1,

vuông góc với d và nằm trong  P là:

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P x: 2y  3z 16 0 và hai

điểm A1;0;1 , B 2;1; 2 Phương trình đường thẳng  nằm trong  P đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng AB là:

- Viết phương trình tham số của đường thẳng d (nếu chưa có).

- Tìm điểm B sao cho

- Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm ,A B

Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , vuông góc với đường thẳng d và cắt1

đường thẳng d 2

Cách 1:

- Viết phương trình tham số của đường thẳng d (nếu chưa có).2

- Tìm điểm B sao cho

1

2 0

- Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm ,A B

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng  đi qua A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng  P

- Tìm điểm B sao cho 2

và điểm A1; 2; 3  Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua

A , vuông góc với d và cắt đường thẳng 1 d là:2

 P : 2x y 2z 1 0 Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua A3; 1; 2 , cắt

đường thẳng d và song song với mặt phẳng  P là:

3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M2;1;0 và đường thẳng

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3 3

, mặt phẳng

  :x y z    và điểm 3 0 A1;2; 1 Phương trình chính tắc của đường thẳng   qua A

cắt d và song song với mặt phẳng   có phương trình là

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2;3và đường thẳng

Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A2;1;0 , B 1;2;2 , C 1;1;0

và mặt phẳng  P x y z:   20 0 Tọa độ điểm Dthuộc đường thẳng ABsao cho đường

thẳng CD song song với mặt phẳng  P là

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2; 1 và mặt phẳng

 P :2x y z     Phương trình đường thẳng d đi qua 3 0 A , cắt trục Ox và song song với

 Gọi điểm M thuộc d , 1 N thuộc d sao cho2

MN song song với  P và khoảng cách từ đường thẳng MN đến mặt phẳng  P một khoảng

bằng 2 Tọa độ điểm M và điểm N nào dưới đây thỏa mãn

Mặt cầu là tập hợp những điểm Mcách một điểm I cố định một khoảng không đổi

 Điểm I cố định được gọi là tâm mặt cầu

 Khoảng cách không đổi Rđược gọi là bán kính của mặt cầu

2 Phương trình mặt cầu

Cho mặt cầu  S có tâm I a b c và bán kính  ; ;  R

Khi đó  S có phương trình chính tắc là :   2  2 2 2

x a  y b  z c R Phương trình tổng quát của mặt cầu là :

2 2 2

x y  z ax by cz d  ĐK a: 2   b2 c2 d 0

Khi đó, mặt cầu  S có tâm là I a b c và bán kính  ; ;  R a2   b2 c2 d

3 Vị trí tương đối giữa một điểm với một mặt cầu

Cho mặt cầu  S có tâm I , bán kính Rvà điểm A

 Điểm Athuộc mặt cầu �IA R

 Điểm Anằm trong mặt cầu �IA R

 Điểm Anằm ngoài mặt cầu �IA R

4 Vị trí tương đối giữa đường thẳng với mặt cầu

Cho mặt cầu S I R và đường thẳng  ;   Gọi Hlà hình chiếu của I lên 

Lưu ý : Trong trường hợp  cắt  S tại 2 điểm A B, thì bán kính Rcủa  S

được tính như sau :

r R IH

Lưu ý : Khi mặt phẳng  P đi qua tâm I thì mặt phẳng  P được gọi là mặt phẳng kính và thiết

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x6y4z Biết 0

OA là đường kính của mặt cầu  S , (O là gốc tọa độ ) Tọa độ điểm A là

3 Câu hỏi trắc nghiệm rèn luyện

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2  z2 8x 4y2z  4 0

Bán kính Rcủa mặt cầu  S là

A R 17 B R 88 C R2 D R5

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y6z 0

Trong ba điểm A0;0;0 , B 1;2;3 , C 2; 1; 1  có bao nhiêu điểm thuộc mặt cầu   S ?

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 2x4y  1 0

Tọa độ tâm Ivà bán kính R của mặt cầu là.

A I2; 4;0 ; R3 2 B I1; 2;0 ; R 7

C I1;2;0 ; R2 D I1; 2; 1 ;  R 6

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S x: 2y2 z2 6x2y  2 0

Mặt cầu  S có đường kính AB, biết điểm A 1; 1;0 thuộc  S Tọa độ điểm B là.

A B5;3; 2  B B11;5;0 C B11;5; 4  D B5;3;0 Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;1 ,  B 1;0;3 Tâm I

của mặt cầu  S đường kính AB có tọa độ là

3

V  R