bài giảng của khóa ltđh 2014 môn toán
Trang 1Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Tọa độ của vectơ và của điểm:
Cho ( ; ; )
( ; ; )
u x y z u xi y j zk
= ⇔ = + +
= ⇒ = = + +
Nếu A=(x A;y A;z A),B=(x B;y B;z B)→AB=(x B−x A;y B−y A;z B−z A)
Vectơ bằng nhau Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:
Cho u=( ; ; ),x y z1 1 1 v=( ;x y z2 2; 2)
Khi đó
( 1 2 1 2 1 2)
( ; ; ),
ku kx ky kz k
z z
± = ± ± ±
= + + = + + → = − + − + −
=
= ⇔ =
=
ℝ
ℝ
Hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ u=( ; ; ),x y z1 1 1 v=( ;x y z2 2; 2) cùng phương
:
x kx
z kz
=
⇔ ∃ ∈ = ⇔ = = =
ℝ
Tích vô hướng của hai vectơ:
Cho u=( ; ; ),x y z1 1 1 v=( ;x y z2 2; 2)
Tích vô hướng của hai véc tơ cho bởi u v = u v .cos( )u v , =x x1 2+y y1 2+z z1 2
Từ đó suy ra ( ) 1 2 1 2 1 2
x x y y z z
u v
+ +
+ + + +
Ví dụ 1:Trong hệ tọa độ Oxy cho: = −(1; 1;0), = −( 1;1;2), = −2 − , =
a) Xác định k để véctơ =(2;2 −1;0)
a
b) Xác định các số thực m, n, p để: d=ma−nb+pc
c) Tính ; ; +2
a b a b
Hướng dẫn giải:
a) Để u
cùng phương với 1 1 1
k
−
⇔ = ⇔ = −
−
b) c= −i 2j−k⇒c(1; 2; 1);− − d=i⇒d(1;0;0)
01 VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
Ta có
3 2
1
2
m
n p
=
= − → = − + ⇔ − − − = ⇔ =
c) a = 12+ −( 1)2 = 2;b = −( 1)2 + +12 22 = 6
2 (1 2.1; 1 2.1;0 2.2) ( 1;1; 4) 2 ( 1) 1 4 18 3 2
+ = − − + + = − → + = − + + = =
Ví dụ 2:Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3)
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD
b) Tính cosin các góc của tam giác ABC
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB
Hướng dẫn giải:
a) Ta có AB=DC= −(1; 2;1) nên ABCD là hình bình hành
Lại có AB BC =1.2−2.1 0.1 0+ = → AB BC ⇔ABC=900 Vậy ABCD là hình chữ nhật
ABCD
b) Gọi góc giữa các cạnh của tam giác ABC là φ1; φ2; φ3
Ta có AB= −(1; 2;1);BC=(2;1;0);AC=(3; 1;1)−
Do góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có:
2
1.2 2.1 1.0
1 2 1 1 2 1.3 2.1 1.1 6 cos φ cos ;
66
1 2 1 1 1 3 2.3 1.1 0.1 5 cos φ cos ;
55
2 1 1 1 3
AB BC
AB AC
BC AC
− +
+ + + + +
+ + + +
− +
+ + +
c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0)→ = − −IA (1; 1 y;1),IB=(2; 3− −y;2)
= ⇔ = ⇔ + + + = + + + ⇔ = →
Ví dụ 3: Cho: a= (2 5 3; ;− ) ,b= (0 2 1; ;− ) ,c= (1 7 2; ; )
Tìm toạ độ của các vectơ u với:
2
= − +
3
= − +
u b c
d) u=3a− +b 5c e) 1 4 2
= − −
= − −
u a b c
Ví dụ 4: Cho ba vectơ a= −(1 1 1; ; ,) b=(4 0 1; ;− ), c=(3 2 1; ;− ) Tìm:
a) ( )a b c. b) a2( )b c. c) a b2+b c2+c a 2
Ví dụ 5: Cho ba vectơ a=(2 1 1; ; ,) b=(0 3 4; ;− ),c=(m m; +1 3; )
Tìm m để
a) a+2b−3c =2 69
(Đ/s: m = 2)
b) (a+3 c b) =0
3045
+ − =
(Đ/s: m = 1)
Ví dụ 6: Cho ba vectơ a=(1 3 4; ; ,) b=(2 1 1; ;− − ),c=(2m m; ;1) Tìm m để
a) 2a+ =c 74
(Đ/s: m = 1)
b) (b+2 2c) ( a− =c) 0
(Đ/s: m = –2)
Ví dụ 7: Cho hai vectơ ,a b Tính X, Y khi biết
Trang 3Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
a) =4 =6
= −
,
b) = 2 1 2− − =6 − =4
= +
Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1)
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác Tính chu vi và diện tích tam giác ABC
b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA+3MB−2CM =0
Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm A(3;1;0), ( 2; 4;1)B − Đ/s: 0;11;0
6
M
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm tọa độ chân đường vuông góc H của tam giác OAB với ( 3; 2;6), ( 2; 4; 4), (0;0;0) A − − B − O
Đ/s: 96 80 192; ;
41 41 41
−
H
Bài 2: Cho các điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3)
a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác Tính chu vi và diện tích tam giác ABC Đ/s: 6
2
=
S
c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA−2MB+MC=MD,
với D(4; 3; 2) Đ/s: 1; ;01
2
M
Bài 3: Tìm điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C với (1;1; 2), ( 1; 2;5) A B − Đ/s: C(−2;0;0)
Bài 4: Tìm điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại B với (2; 1;0), (1; 1;1) A − B − Đ/s: C(0;3;0)
Bài 5: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz sao cho M cách đều các điểm (1;1;1), ( 1;1;0), (3;1; 1) A B − C −
Đ/s: 5;0; 7
−
M
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(4; 2;1 ,) (B −1;0;3 ,) (C 2; 2;0 ,− ) (D −3; 2;1)
a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng
b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(2;3;1 ,) (B −1; 2;0 ,) (C 1;1; 2− )
a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
b) Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh 3 điểm G, H, I thẳng hàng