PHUONG PHAP TOA DO TRONG KHONG GIAN cực hay

d Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC.. a Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.b Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC.. Viế

Phần 1: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1 Hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Oxyz (Hệ tọa độ Oxyz)

Hệ gồm ba trục x Ox y Oy z Oz ' , ' , ' vuông góc với nhau từng đôi một tại O cùng với các vectơ đơn vị trên mỗi trục lần lượt là r r r i j k , ,

f) Tích có hướng của hai vectơ

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ a b r r ,

là một vectơ có tọa độ xác định như sau:

a b c r r rđồng phẳng ⇔   a b c r r r ,   = 0Ứng dụng:

Diện tích tam giác: 1

, 2

uuur uuur uuur

3 Tọa độ của điểm trong không gian

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

b) Tìm toạ độ điểm E thuộc mặt phẳng Oxy sao cho A, B, E thẳng hàng

c) Chứng minh rằng SABC là một tứ diện

d) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh S của tứ diện SABC

BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm

( 1; 2;4 , ) ( 3;2;0 , ) ( 3; 1;0 )

a) Tìm tọa độ các véc tơ: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB BA AC CA BC CB ; ; ; ; ;

b) Tìm tọa độ u r = 2 uuur AB; v r = 2 uuur uuur AB AC + ; điểm E thỏa

uuurEA = 2.uuurEC − 3 BEuuur+ 4.uuurAB

c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Tính chu vi của tam

giác ABC

d) Tính các góc của tam giác ABC

e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB Tính độ dài đường trung tuyến CI của

tam giác ABC

f) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

h) Tìm điểm H thuộc Ox để tam giác ACH vuông tại C

Bài 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm

( 1;2;1 , ) ( 5;3;4 , ) ( 8; 3;2 )

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d) Xác định toạ độ chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A

Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho bốn điểm

A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2),D(6;2;0)

a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác

ABC

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện

ABCD

d) Tìm các gĩc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

e) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 4: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD cĩ đỉnh D

thuộc trục Oy và ba đỉnh A ( 2;1; 1 , − ) ( B 3;0;1 , ) ( C 2; 1;3 − ).Biết rằng tứ diện

Câu 4:Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A( ) (1;1;1 , 2;3;4 ,B ) (C 6;2;5 ,) (D 7;7;5) diện tích tứ giác ABCD bằng

A D(4; 2;4− ) B D(2; 2;4− ) C D(−4;2;4) D D(4;2;2)

Câu 9:Trong không gian Oxyz cho điểm M(2;-5;7) Tìm điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (Oxy)

A (2; 5; 7− − ) B (2;5;7) C (− −2; 5;7) D (−2;5;7)

Câu 10:Trong không gian Oxyz cho tứ diện A(2; 1;6 ,− ) (B − − −3; 1; 4 , (5; 1;0), (1;2;1)) C − D Độ dài đường cao

AH của tứ diện ABCD là

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN

1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình cĩ dạng:

0

Ax By Cz D + + + = , với A2 + B2 + C2 ≠ 0 Trong đĩ, n r = ( A B C ; ; ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

- Mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M x y z ( 0; ;0 0) và nhận n r = ( A B C ; ; ) làm vectơ pháp

tuyến cĩ phương trình là: A x x ( − 0) + B y y ( − 0) + C z z ( − 0) = 0

3 Các trường hợp đặc biệt của phương trình tổng quát:

Xét mặt phẳng ( ) α cĩ phương trình tổng quát: Ax By Cz D + + + = 0, với A2 + B2 + C2 ≠ 0

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (cắt ba trục toạ độ tại các điểm ( a; ; , ;b; ,C ; ;c 0 0 0 ) ( 0 ) ( 0 0 )

• ( ) α và ( ) β cắt nhau ⇔ n ur1

và n uur2 không cùng phương ⇔ A B C 1 1 1 : : ≠ A B C 2 : 2 : 2 (nếu A B C2 2 2 ≠ 0)

Phương pháp: Tuỳ theo điều kiện của từng bài toán, ta có thể chọn một trong số

trong đóhai vectơ a b r r ,

khác 0 r, không cùng phương với nhau thì ta có thể

chọn n r =    a b r r , 

Cách 2: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

0

Ax By Cz D + + + = , với A2 + B2 + C2 ≠ 0

Từ các giả thiết của bài toán, tìm các hệ số A, B, C, D thoả điều kiện

Cách 3: Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Ví dụ 1: Lập phương trình mặt phẳng (ABC) với A(5; 1; 3), B(4; 0; 6), C(5; 0; 4).

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7),

B(4; 1; 3)

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(2; –1; 2) và song song với mặt

phẳng (Q): 2 x y − + + = 3 z 4 0

Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với

(Q): 2 x y z − + − = 7 0

BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)

a) Viết phương trình mặt phẳng( ) α qua A và vuông góc với BC

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC

Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( ) α trong mỗi trường hợp sau:

a) ( ) α đi qua điểm M ( 3;3;3 ) và song song với mặt phẳng

f) ( ) α đi qua điểm M ( 1; 1;1 − ) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B,

C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC

g) ( ) α đi qua điểm M ( 1;4;2 ) và chắn trên các tia Ox, Oy, Oz những đoạn

thẳng bằng nhau

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) α đi qua điểm M ( 1;2;3 ) và cắt các tia Ox,

Oy, Oz lần lượt tại A, B, C với OA a OB b OC c = , = , = sao cho:

a) Thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

Dạng 2 –Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt

phẳng-CÁC VÍ DỤ

Ví dụ: Xác định các giá trị của m, n để cặp mặt phẳng sau song song nhau:

(P): 2 x my + + − = 3 z 5 0 và (Q): nx − − + = 8 y 6 z 2 0

BÀI TẬP Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β trong mỗi trường hợp

-Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho tứ diện với các đỉnh A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;6), D(2; 4; 6) Tính

đường cao hạ từ đỉnh D của tứ diện

BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ diện ABCD biết toạ độ các đỉnhA ( − − 1; 2;4 , ) ( B − − 4; 2;0 ),C ( 3; 2;1 − ) và D ( 1;1;1 )

a) Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ A

b) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều điểm D và mặt phẳng (ABC)

Bài 2: Cho hai mặt phẳng ( ) α : 2 x − 2 y z + − = 3 0 và ( ) β : x + 2 y − 2 z + = 12 0

Tìm trên Oz điểm cách đều ( ) α và ( ) β

Bài 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: ( ) α : x y z + − + = 5 0 và

Câu 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm I(1;-3;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song

với giá của véc tơ v (1;6;2) r = , vuông góc với mặt phẳng( ) :α x+4y z+ − =11 0 đồng thời cách điểm I một đoạn bằng 4

Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

song song với ∆ hoặc chứa trong ∆

- Nếu hai vec tơ a b r r ,

khác 0 r

, không cùng phương và cùng có giá vuông góc với ∆ thì ta có thể chọn ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là u r =    a b r r , 

2 Phương trình của đường thẳng.

a)Phương trình tham số của đường thẳng:

- Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương ra a a a = ( ; ; )1 2 3 , có phương trình tham số là :

b) Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Khử tham số t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là:

- Mỗi nghiệm của hệ (1) chính là tọa độ của một điểm nằm trên ∆.

- Khi đó ∆ có một vectơ chỉ phương là:

3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Cho hai đường thẳng: ∆1 đi qua A và có vectơ chỉ phương ra

∆2 đi qua B và có vectơ chỉ phương r

r

r r r

r r r

r r r

thì số giao điểm của hai đường

thẳng trên là số nghiệm của hệ :

4 Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

b) Cho hai đường thẳng

r r r

b) Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau

a

r b

∆1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương ra a a a = ( ; ; )1 2 3

∆2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b r = ( ; ; ) b b b1 2 3

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2 được tính bằng công

r

r r

BÀI TẬP Dạng 1 – Viết phương trình đường thẳng - Phương pháp:

Cách 1: Xác định toạ độ một điểm M x y z ( 0; ;0 0) mà đường thẳng đi qua và toạ độ

của một vectơ chỉ phương của đường thẳng n r = ( a a a1; ;2 3)

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là:

Cách 2: Xác định hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β có giao tuyến là đưởng thẳng cần

tìm, viết phương trình giao tuyến đó (xem lại mục 2b phần lý thuyết)

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(2;3;–1), B(1; 2; 4).

Ví dụ 2: Viết PTTS của đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( 2;4;3) − và vuông góc với mặt phẳng ( ):2 P x − + + = 3 y 6 z 19 0

BÀI TẬP

Bài 1:Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) Qua M(1 ; 2; 3) và có vectơ chỉ phương ra = (1 ; – 4 ; – 5)

b) Qua A(1 ; – 2 ; 3) và B(3 ; 0 ; 0)

c) Qua M(2 ; –1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α): x + y – x + 5 = 0

d) Qua M(2; 0; –3) và song song với đường thẳng d:

1 2

3 3 4

trên các mặt (Oxy), (Oyz), (Oxz)

Bài 3:Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d là giao tuyếncủa mặt phẳng (α): 3x – y + 2z – 7 =0 và (β): x + 3y – 2z + 3 = 0

Bài 4:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) và C(1;1; 3) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc (α)

Bài 5:Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M(1; 4; –2) và song song với các mp (α): 6x + 2y + 2x +

Bài 7:Tìm tập hợp các điểm M trong không gian cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(–1; 2; 0) và C(2; –3; 2)

Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) và đường thẳng d:

d:

1

2 2 3

Định m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P)

Bài 3:Cho hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình:

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

b) Lập phương trình đường thẳng ∆⊂ (P) đồng thời cắt cả d1 và d2

Bài 7: Cho điểm A(1; 1; 1) và hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:

Dạng 3: Khoảng cách và góc

Bài toán 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương a r

và đi qua điểm A Muốn tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:

Bài toán 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Phương pháp:

Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) Ta có:

d ∆ ;( P ) = d M ;( P )

Trong đó M là điểm bất kỳ trên đường thẳng ∆ (chọn M từ phương trình cuả ∆)

Bài toán 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp:

Cho hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2

∆1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương ra a a a = ( ; ; )1 2 3

∆2 đi qua M2 và có vectơ chỉ phương b r = ( ; ; ) b b b1 2 3

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆1 và ∆2, ta có thể sử dụng

một trong các cách sau:

Cách 1:

- Lập phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆1 và song song ∆2

- Lấy một điểm A tuỳ ý trên ∆2

- Ta có: d ( ∆ ∆ =1; 2) d A; ( ( ) α )

Cách 2: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

r r

a b M M d

a b

BÀI TẬP Bài 1: a) Tính khoảng cách từ điểm M ( 1; 1;1 − ) đến đường thẳng

a) Chứng minh d d1, 2 chéo nhau

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d d1, 2

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( ) P : 6 x y − + 4 z − = 5 0 đường

Bài 7: Tìm góc tạo bởi đường thẳng ∆ : 2 1 3

a) Tìm giao điểm M của d và (P)

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ chứa trong mặt phẳng (P) sao cho ∆

vuông góc với d và khoảng cách từ M đến ∆ bằng 42

Dạng 4: Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

- Trên ∆1 lấy một điểm bất kỳ là M x ( 1+ a t ; y1 1 1+ b t ;z1 1 1+ c t1 1)

- Trên ∆2 lấy một điểm bất kỳ là N x ( 2 + a t ; y2 2 2 + b t ;z2 2 2 + c t2 2)

- MN là đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2 khi thoả mãn

0 0

Giải hệ phương trình trên ta tìm được t ,t1 2, từ đó tìm được toạ độ M và N

- Viết phương trình đường vuông góc chung ∆ của ∆1 và ∆2 qua M và N

Cách 2:

- Đường vuông góc chung ∆ của ∆1 và ∆2 có một vectơ chỉ phương u =   u ,u1 2 

r ur uur

- Chọn điểm A thuộc ∆1 Lập phương trình mặt phẳng ( ) α chứa ∆ và ∆1

(( ) α qua A và có một vectơ pháp tuyến n r =    u,u r ur1)

- Xác định toạ độ điểm M là giao điểm của ( ) α và ∆2

- Viết phương trình đường vuông góc chung ∆ của ∆1 và ∆2 qua M và nhậnu =   u ,u1 2 

r ur uur

làm vectơ chỉ phương

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau

,

1 1

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2

Bài 2: Cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình:

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2

Bài 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, Cho hai đường thẳng

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2

Dạng 5: Hình chiếu – Điểm đối xứng.

Bài toán 1: Hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng.

Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng ( ) α , ta làm

như sau:

- Viết phương trình đường thẳng ∆qua M và vuông góc với ( ) α

- Ta có H = ∆ ∩ ( ) α Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng ∆ và của( ) α ta sẽ tìm được toạ độ điểm H

Bài toán 2: Điểm đối xứng của một điểm qua một mặt phẳng.

Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( ) α , ta

làm như sau:

- Tìm hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng ( ) α

- M’ đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( ) α khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của M’

Bài toán 3: Hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng.

Phương pháp: Muốn tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng ∆, ta làm

như sau:

- Viết phương trình mặt phẳng ( ) α qua M và vuông góc với ∆

- Ta có H = ∆ ∩ ( ) α Do đó, giải hệ phương trình gồm phương trình của đường thẳng ∆ và của( ) α ta sẽ tìm được toạ độ điểm H

Bài toan 4: Điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng.

Phương pháp: Muốn tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆, ta

làm như sau:

- Tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng ∆

- M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ khi H là trung điểm MM’, từ đó tìm được toạ độ của M’

Ví dụ: Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (P): x y z + + − = 1 0

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P)

b) Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với M qua (P)

c) Tính khoảng cách từ M đến (P)

BÀI TẬP Bài 1: Trong không gian Oxyz,có mặt phẳng ( ) α : 6 x + 3 y + 2 z − = 6 0

a)Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(2;3;5)trên mặt phẳng( ) α

b)Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ( ) α

Bài 2: Trong không gian Oxyz ,cho đường thẳng 3 1 6

toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A(2;1;-1)trên đường thẳng ∆

Bài3:Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho đường thẳng 1 2

Bài4: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng

( ) : 2 α x y z + + − = 8 0 và đường thẳng : 2 1 1

d − = + = − a)Tìm giao điểm A của d và ( ) α

b)Viết phương trình đường thẳng∆ là hình chiếu vuông góc của d lên ( ) α .

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): 2x +y +

z + 1 = 0, ( β): x +y + z + 2 = 0 và mặt phẳng (P): 4x – 2y + z – 1 = 0 Viết phương trình hình chiếuvuông góc của đường thẳng ∆ 'trên mặt phẳng (P)

Bài 6: Trong không gian Oxyz,cho điểmM(2;1;4) và đường thẳng

Tìm toạ độ điểm H thuộc

đường thẳng ∆ sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất

Phần 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

1 Phương trình của mặt cầu:

a) Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

( ) S x : 2 + y 2 + z2 − 2 ax − 2 by − 2 cz d + = 0, trong đó a b c d , , , thoả điều

kiện a b2 + + − >2 c2 d 0

Khi đó, mặt cầu ( ) S có tâm I a b c ( ; ; ) và có bán kính R = a2 + b2 + − c2 d

b) Mặt cầu ( ) S có tâm I a b c ( ; ; ) và bán kính R có phương trình chính tắc:

:

S x a − + y b − + z c − = R

2 Vị trí tương đối của mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S):

 d(I;(α)) >R⇔(α)và mặt cầu (S) không có điểm chung

 d(I;(α)) =R⇔(α)tiếp xúc mặt cầu (S).

 d(I;(α)) <R⇔ (α) cắt mặt cầu (S) tạo ra giao tuyến là một đường tròn (C) có

tâm I’ là hình chiếu vuông góc của I lên (α ) và bán kính 2 2

r = R −d (với d d I ; = ( ( ) α ) )

3 Vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S):

 d I ; ( ∆ > ⇔ ∆ ) R và mặt cầu (S) không có điểm chung

 d I ; ( ∆ = ⇔ ∆ ) R tiếp xúc mặt cầu (S)