BÀI GIẢNG HÌNH học họa HÌNH

* Ta có các định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi là phương chiếu + Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ MÔN HÌNH HỌA VẼ KỸ THUẬT

BÀI GIẢNG HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Trang 2

BÀI MỞ ĐẦU

I- Đối tượng môn học

- Nghiên cứu phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng

- Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

Trang 3

+ Điểm S gọi là tâm chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm

của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π

+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của

Trang 4

- Nếu AB là đường thẳng không đi qua tâm chiếu thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đường thẳng

- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’

- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song songnói chung là các đường đồng quy

a)

b)

A B E

F D C

П

Trang 5

không thuộc Π và một điểm A bất kỳ.

- Qua A kẻ đường thẳng a//s A’ là giao của

đường thẳng a với mặt phẳng Π

* Ta có các định nghĩa sau:

+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu

+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song của

điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo

Trang 6

MB

AM'

B'M

'M'A

II- Các phép chiếu

2- Phép chiếu song song

b) Tính chất phép chiếu

- Nếu AB không song song với s thì

hình chiếu của nó là đường thẳng A’B’

- Nếu CD song song với s thì hình

MN'

Q'P

'N'M

'Q'P//

'N'M

IK

Trang 7

II- Các phép chiếu

3- Phép chiếu vuông góc

- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc biệt

của phép chiếu song song khi phương chiếu

vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

- Phép chiếu vuông góc có đày đủ tính chất

của phép chiếu song song, ngoài ra có thêm

các tính chất sau:

+ Chỉ có một phương chiếu s duy nhất+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:

A’B’=AB.cosφA’B’ ≤ AB

- Sau đây là những ứng dụng của phép chiếu

vuông góc Toàn bộ ứng dụng của phép chiếu

vuông góc được gọi là phương pháp hình

Trang 8

- A 1 : hình chiếu đứng của điểm A

- A 2 : hình chiếu bằng của điểm A

- Gọi A x là giao của trục x và mặt phẳng

(AA1A2)

- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một

đường gióng gọi là đường dóng thẳng đứng

Hình 1.6a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

Trang 9

BÀI 1 - ĐIỂM

I – Đồ thức của một điểm

1– Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)

* Độ cao của một điểm

- Ta có: gọi là độ cao của

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x

+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

A A A

Trang 10

+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới trục x+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ thức

A 1 , A 2 Ngược lại cho đồ thức A 1 , A 2 có thể xây

dựng lại điểm A trong không gian Như vậy đồ

một điểm trên hệ thống hai mặt

A2

Π2

A A A

Π1

Π2

b)

A1

Trang 11

y O

)AAA

(yAy

)AAA(xAx

3 1

3 2

2 1

Trang 12

+ Độ xa cạnh âm: điểm A nằm phía bên phải П3.

+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên phải trục x

+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái trục x

Hình 1.7a,b Xây dựng đồ thức của một điểm

y

y O

A A A

Az 1  y 2  x  3

A2

Trang 13

II – Cách chuyển từ tọa độ Đề các sang đồ thức

Hình 1.8a,b Chuyển từ tọa độ Decac sang đồ thức

b)

A

A2x

Π2

A3z(+)

y(+)

y(+) O

- Trong tọa độ Đề các vuông góc điểm A(xA, yA, zA) (Hình 1.8a)

- Trên đồ thức chiều dương trục x,y,z được xác định như hình vẽ 1.8b

- Chọn tương ứng trục hình chiếu x,y,z lần lượt tương ứng với trục tọa độ Ox, Oy, Oz

Các mặt phẳng П , П , П lần lượt tương ứng với mặt phẳng (xOz), (xOy), (zOy)

A

Trang 14

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

Hình 1.9 Góc phần tư I, II, III, IV

A2

Π 1

Π 2 ( I )

( IV ) ( III )

Trang 15

III – Một số định nghĩa khác

2 – Mặt phẳng phân giác

- Có hai mặt phẳng phân giác:

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I (Pg1)

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)

Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng

phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

Trang 16

IV- Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức

Bài toán: Cho hai hình chiếu của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.

Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

Trang 17

BÀI 2 – ĐƯỜNG THẲNG

I- Đồ thức của một đường thẳng

Vì đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một

đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân

biệt thuộc đường thẳng đó

Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

- l 1 đi qua A1B1 gọi là hình chiếu đứng

)B,B(B

)A,A(A

BAAB

2 1



l ,

*Chú ý: Với hình chiếu l 1 và l 2 của đường

thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy

nhất trong không gian Đồ thức đường

Trang 18

I- Các đường thẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hinh chiếu)

1- Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)

Trang 19

Trang 20

c) Đường cạnh

* Tính chất : - p1 và p2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x

- Nếu có một đoạn thẳng EF thuộc đường mặt p thì hình chiếu cạnh E1F1=EF

y

O F

Trang 21

c) Đường cạnh

* Chú ý: Với đường cạnh nếu biết các hình chiếu p1,p2 ta không xác định được đường thẳng p duy nhất trong không gian Do đó ta phải cho đồ thức của hai điểm phân biệt Ví dụ cho EF thuộc đường thẳng p Hai điểm EF xác định một đường thẳng p duy nhất

y

O F

Trang 22

2- Các đường thẳng chiếu (là các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)

A2 2 

Trang 23

C1 2 

Trang 24

Trang 25

III- Điểm thuộc đường thẳng

1- Đường thẳng đã cho không phải là đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng

A

Trang 26

1- Đường thẳng đã cho không phải đường cạnh

* Áp dụng: Tìm trên đường thẳng a (a1,a2) một điểm K sao cho K có độ cao bằng hai lần độ xa

Hình 2.7 Điểm tìm trên a điểm k có độ cao bằng 2 lần độ xa

- Trên a’ lấy J sao cho J2 thuộc a2 và

J có độ cao bằng hai lần độ xa

- Xét a’1 đi qua I1J1 Ta có K1 là giao

của a’1 và a1 Từ K1 suy ra K2

I1=I2

J2

J1

Trang 27

PQI

QPI

PQI

QPI

3 3 3

2- Đường thẳng đã cho là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện

Xét xem I có thuộc PQ hay không?

1 1 1

Q P I

I2

Q1

Trang 28

1 1 1

Q P I

PQ

IQ

I

P

IP

I

PI

PQ

IQ

I

P

IP

I

PI

2 2

2 2 2

2

1 1

2 2

2 2 2 2

1 1

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện

Xét xem I có thuộc PQ hay không?

Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng

- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau

- Nếu thì tỉ số đơn khác nhau

α

2 2

Q P Q I

I P I P



1 1

I 'I





PQ I









Trang 29

IV- Vết của đường thẳng

Vết của đường thẳng là giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng hình chiếu

1M

Trang 30

IV- Vết của đường thẳng

Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) được cho như trên đồ thức và xét

xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian

cao dương, độ xa âm; suy ra MN

thuộc góc phần tư thứ II

- Xét B thuộc MN, điểm B có độ

cao âm, độ xa âm; suy ra MN

thuộc góc phần tư thứ III

- Xét C thuộc MN, điểm C có độ

cao dương, độ xa dương; suy ra

MN thuộc góc phần tư thứ I

2 1

1 2

l l

1

1 2

2

Nx

N

Mx

Trang 31

V- Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

1- Hai đường thẳng cắt nhau

a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không phải đường cạnh cắt nhau là trên

đồ thức các hình chiếu đứng của chúng cắt

nhau, các hình chiếu bằng cắt nhau sao cho

các hình chiếu này cùng nằm trên một đường

I

I b

a

I b

a )

3 b

, a (

I b

a

2 1

2 2

2

1 1

1

b 1

b 2

Trang 32

1- Hai đường thẳng cắt nhau

b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và

đường thẳng l thỏa mãn:

Xét xem l và PQ có cắt nhau không?

Ta có:

Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay

không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường

cạnh đã xét ở trên

Hình 2.13 Hai đường thẳng cắt nhau (một trong hai đường thẳng

PQ

I  l   l  

2 2

2

1 1 1

I Q

P

I Q P

Trang 33

2- Hai đường thẳng song song

a) Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường

thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và

không có điểm chung nào

b) Điều kiện song song của hai đường thẳng

nhau là trên đồ thức các hình chiếu đứng của

chúng song song và các hình chiếu bằng của

b //

a

b //

a )

3 b

, a (

b //

a

Trang 34

2- Hai đường thẳng song song

b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên

đồ thức

* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh

* Cả hai đường thẳng là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường

cạnh RS Ta có: P1Q1//R1S1

P2Q2//R2S2Xét xem PQ có song song với RS không?

RS//

PQx

II

ISRQ

P

ISRQ

P

2 1

2 2 2 2

2

1 1 1 1

PQ S

R //

Trang 35

3- Hai đường thẳng chéo nhau

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không thuộc một mặt phẳng và không có

điểm chung nào

b) Điều kiện hai đường thẳng chéo nhau

Hình 2.15 Hai đường thẳng không phải là đường cạnh cắt nhau

K

I b a

K b

a nhau

chéo b

và

a

2 1

2 2 2

1 1

1

Trang 36

3- Hai đường thẳng chéo nhau

c) Khái niệm cặp diểm đồng tia chiếu

*Cặp điểm đồng tia chiếu bằng

-Cặp điểm Ia (I1a,I2a); Ib(I1b,I2b) gọi là cặp điểm đồng

tia chiếu bằng

- I1a cao hơn I1b nên: I2a thấy, I2b khuất

*Cặp điểm đồng tia chiếu đứng

-Cặp điểm Ka (K1a,K2a); Kb(K1b,K2b) gọi là cặp điểm

đồng tia chiếu bằng

- K2a xa hơn K2b nên: K1a thấy, K1b khuất

Hình 2.16 Các cặp điểm đồng tia chiếu

Ka 2

1

a 1 b

2

a 2

b

a

I

I I

2

a 2 b

1

a 1

b

a

K

K K

K

Trang 37

VI- Hai đường thẳng vuông góc

1- Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu

thành một góc vuông

- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình

chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П

- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa

mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

3)

90 y' O' x' 2)

90 xOy 1)

O’

y’ O

x’

x

y

a) П

Trang 38

b1

I

a2

I1

a 1

a 2

I2x

f 1

f 2

Hình 2.19 Ví dụ 2

Trang 39

B

VII- Độ lớn thật và góc nghiêng của một đoạn

thẳng đối với các mặt phẳng hình chiếu.

Bài toán: Cho đồ thức của đoạn thẳng AB (như hình

vẽ) Hãy xác định độ dài thật đoạn thẳng AB và góc

nghiêng đoạn thẳng AB đối với mặt phẳng П1, П2

A1

B1

B2x

BB

AB AB

//

B

A

2 2

1

1 BBAA

y  



BA

AB 2

1

BA

AB 

B

A

Trang 40

BC

Trang 41

Bài 2.4

Vẽ hình chiếu A’ của điểm A theo

hưỡng chiếu h lên mặt phẳng П1

2

2 x A ' A ' a

Trang 42

- Tìm hình chiếu A’ của A theo hướng chiếu t lên mặt phẳng phân giác II

- Tìm hình chiếu B’ của B theo hướng chiếu t lên mặt phẳng phân giác II

- Để xét xem t có cắt AB không thì xét hình chiếu của t lên mặt phẳng phân giác II là T’

có thuộc A’B’ hay không

Trang 43

Bài 2.9

Tìm độ lớn thật của đoạn thẳng AB và góc nghiêng của nó

với mặt phẳng hình chiếu bằng 2

Tìm trên AB một điểm C sao cho

AC = 20 mm.

Giải:

- Dựa vào phương pháp tam giác vuông

thực hiện trên hình chiếu bằng



20mm

Trang 44

Bài 2.10

Vẽ nốt hình chiếu đứng B1 của điểm B biết độ dài AB=40mm

40

Δz Δz

B

Trang 45

Bài 2.11

Vẽ nốt hình chiếu bằng D2 của điểm D biết góc nghiêng của CD với

mặt phẳng hình chiếu bằng П2 là φ.

-Ta có + IJ: Độ dài thật đoạn thẳng CD+ KJ: Độ dài hình chiếu bằng C2D2Bài toán có:

H

Trang 46

Bài 2.14

Qua điểm M vạch một đường thẳng song song với d và

một đường thẳng song song với

Trang 47

Bài 2.15

Cho AB và CD hãy vạch đường thẳng vuông góc chung của

hai đường thẳng ấy.

Trang 48

ĐLT: A C

Trang 49

a)Ba điểm thẳng hàng A, B, C xác định mặt phẳng α (ABC)

b)Một đường thẳng l và một điểm A không thuộc l xác định mặt

Trang 50

Từ cách cho này có thể chuyển đổi thành cách cho khác Do

đó phương pháp giải bài toán không phụ thuộc vào cách cho

Trang 51

BÀI 3 – MẶT PHẲNG

1 ) (

m    

2 )

(

n    

1 )

Trang 52

II- Vết của mặt phẳng

Chú ý: - Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αx

thuộc x (Hình 3.3a) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)

- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng

- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2 (Hình 3.3a)

- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta dùng ký hiệu mα, nα (Hình 3.3a,b)

Trang 54

x

n 

III- Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)

1- Các mặt phẳng chiếu ( là các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu)

Trang 55

x

Trang 56

56 Bài giảng Hình họa-Trần Đình Bính-Trần Lệ Thu-Nguyễn Thị Thu Nga

, p

1 , z

, p

p C B A )

( ABC

x //

n , x //

m

3 3 3

x

C3

Π1

Π3z

y

x

A3z

Trang 57

2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)

m

2 2

Trang 58

58 Bài giảng Hình họa-Trần Đình Bính-Trần Lệ Thu-Nguyễn Thị Thu Nga

2- Các mặt phẳng đồng mức (là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)

ABC C

B A )

( ABC

, x //

n

1 1

Trang 59

2- Các mặt phẳng đồng mức ( là các mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)

m

3 3 3

, x

Trang 60

IV- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)

1- Bài toán cơ bản 1

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng α đó

Biết hình chiếu đứng l 1 , tìm hình chiếu bằng l 2

Hình 3.11 Bài toán cơ bản 1

trong hai đường a 1 b 1

Trang 61

IV- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)

1- Bài toán cơ bản 1

Ví dụ: Mặt phẳng α cho bằng hai vết mα, nα Biết l 1 , tìm l 2

Hình 3.12 Ví dụ về bài toán cơ bản 1

Định dạng
Số trang	120
Dung lượng	3,78 MB