khoảng cách (HH10NC)

cách từ Mx M ;y M đến đường thẳng ?∆y x 0 ∆ cùng nghiên cứu, tìm ra công thức tổng quát để giải bài toán này và xét một số ứng dụng của nó... Họ tên GV: Phaỷm Duy ThaớoTrường THPT LAO

n¨m häc 2008 – 2009.

cách từ M(x M ;y M ) đến đường thẳng ?∆

y

x

0

∆

cùng nghiên cứu, tìm ra công thức tổng quát để giải bài toán này và xét một số ứng dụng của nó

Họ tên GV: Phaỷm Duy Thaớo

Trường THPT LAO BAÍO

điểm đến một đường

thẳng

1.1 Bài toán 1:

Trong Oxy, cho đường thẳng có PTTQ ax + by + c = 0 Tính khoảng cách d(M;) từ điểm M(xM;yM) đến .

∆

∆

1 Kho¶ng c¸ch tõ mĩt ®iÓm ®Õn mĩt ®­íng th¼ng

y

x

0

∆

( ;M M )

M’M

( )

v

;

n a b

Ta thấy:uuuuurM M' r

n

//

⇒ ∃ ∈k R : uuuuurM M kn' = r

Suy ra:

( ; ∆ =) ' =

d M M M knr = k nr = k a2 + b2 (1)

Gọi M’(x’;y’) là hình chiếu của điểm

M trên Suy ra: ∆ d(M;) =

M’(x’;y’)

( )∗

+ + +

2 2

ax by c

a b

− =



 − =



' '

M M

x x ka

y y kb

⇔ =k

Mặt khác, từ ta lại có:( )∗ ⇔ = − '' = −

M M

x x ka

y y kb

Mà M'∈∆nên a x( M − ka) (+ b y M − kb) + =c 0

(2)

Thay (2) vào (1) ta được:d M( ; ∆ =) + +

+

2 2

ax by c

a b

Vậy, khoảng cách từ điểm M(xM;yM) đến đường thẳng có PTTQ ax + by + c = 0 là:

∆

+

2 2

d M

( )

a M v ∆ x − + =y

4 3

= −



 ( − − ) ∆ −1 = − 2

Ví dụ 1:

Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

∆

65

(Tổ 1)

(Tổ 2) (Tổ 3, 4)

NhỊn xÐt:Cho đường thẳng ∆ : ax by c+ + = 0 và

điểm

M(xM;yM)

Nếu M’ là hình chiếu vuông góc của M trên ∆

Ta có: uuuuurM M kn' = r với

=

+

2 2

ax by c k

a b

Tương tự: Nếu có điểm N(xN;yN) với N’ là hình chiếu vuông góc của Ntrê

n

∆

thì ta cũng có:

=

uuuuur r

N N k n với

=

'

+

2 2

N N

ax by c

a b

? VÞ trÝ cña hai ®iÓm M, N ®ỉi víi 

khi k vµ k cïng dÍu? ’

khi k vµ k kh¸c dÍu ?’

x

0

∆

M

'

M

N

'

N

nr

y

x

0

∆

M

'

M N

'

N

0

∆

M

'

M

N

'

N

nr

x

Suy ra:

dấu

⇔ k kuuuuur ' 0 > uuuuur

Z Z

⇔

⇔ M, N nằm cùng phía

đối với

∆

 k, k’ trái dấu ⇔ k kuuuuur ' 0 < uuuuur

Z [

⇔

⇔ M, N nằm khác phía đối với

∆

1.2 Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ : ax by c+ + = 0 và hai

điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm trên Đặt F(x; y) = ax + by + c∆

Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔

( M; M ) (. N; N ) > 0

F x y F x y

Hai điểm M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔

Khi đó:

( M; M ) (. N; N ) < 0

F x y F x y (Vế trái của đường

Ví dụ 2:

Chứng tỏ rằng hai điểm A(2; -3) và B(-2; 4) nằm khác phía đối với đường thẳng ∆ : 2x y− + =1 0

Giải:

Đặt F(x; y) = 2x - y + 1

Ta có:F( 2; 3 − ) (F − 2;4) =

Vậy, hai điểm A, B nằm khác phía đối với ∆

( 4 3 1 + + ) ( − − + = − < 4 4 1) 56 0

∆

2

∆

( ; )

M x y

2

d

1

d

∆1 : a x b y c1 + 1 + =1 0 v

à

∆2 : a x b y c2 + 2 + =2 0

Tìm tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đường thẳng và ∆1 ∆2

Giải:

Giả sử M(x;y) là điểm cách đều ∆1và∆2

Tức là:

( ; ∆ =1) ( ; ∆2 )

d M d M

+ +

a x b y c a x b y c

+ +

1 1 1 2 2 2

0

a x b y c a x b y c

Lµ PT 2 ®­íng ph©n gi¸c gêc t¹o bịi 2 ®­íng th¼ng vµ∆1 ∆2

Ví dụ 3:

Suy ra, hai điểm B, C nằm khác phía đối với (d1)

Giải:

a) AB: 2x - y = 0; AC: 2x + 11y - 48 = 0

b) PT hai đường phân giác của góc A là:

(d1): x - 2y + 6 = 0; (d2): 2x + y - 8 = 0

Đặt F(x; y) = x - 2y + 6 Ta có: F( ) (4;8 13;2F ) =- 90 < 0

Cho tam giác ABC với A(2; 4), B(4; 8), C(13; 2)

b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc A

a) Viết PTTQ của các cạnh AB, AC

CÔNG VIỆC VỀ

NHÀ

- Xem ví dụ trang 87 Sgk

- Làm bài tập Bài tập 17, 18, 19 trang 90 Sgk

- Tham khảo trước mục 2 trang 88 Sgk

Ketthuc

CỦNG CỐ

- Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

- Vị trí tương đối của hai điểm đối với 1 đường thẳng

- Phương trình 2 đường phân giác của góc tạo bởi hai

đường thẳng cắt nhau

, BC

| 3.1 + 4 2 - 12 |

+ 4

1 = = 0,2 5

3

+K/c từ đỉnh A đến BC là

 Chọn B.

Câu 1: Cho

ABC với A(1;2), B(0;3), C(4;0) Chiều cao của tam giác ứng với cạnh BC bằng:

25

3 5

B.0,2

Câu 2

Tính diện tích ABC nếu A(3;2) và B(0;1), C(1;5)

A.5,5

17

17 11 = 5,5

+ K/c từ đỉnh A đến BC là

+ Diện tích S =

 Chọn A.

17

4 + 1

d A BC

10A1

x

0

∆

M

N

Cho đường thẳng và hai điểm M, N không nằm trên ∆ ∆

y

x

0

∆

y

x

0

∆

M

N

M

N