42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015
1) I =
4
2 4
1
1 2 cos x dx
2 2
0
sin
1 s in2x
dx
3) I =
2
3
1 sin 1 cos x x dx
4) I =
3
4
1 sin 2 cos x x dx
5) I = 4 2
sin cos 3
0
2 x x cos 2 x sin 4 xdx
2 4
2 3
sin 1 cos cos
dx x
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx x
8) I =
2 3
2 3
sin sin
1 sin sin
dx
9) I =
2
2
6
1 sin sin
2
10) I =
6
0
1
cos cos
4
dx
11) I =
2
0
dx
12) I =
2
3 4
7sin 5cos sin cos
dx
13) I =
6
0
tan
4 cos 2
x
dx x
14) I =
2
0
1 cos
x
15) I =
2
3 0
sin
x
dx
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
17) I =
3
1
ln
e
x
dx
2
2 0
2
x
dx
Trang 2
1 2
0
19) I=
2 2013.
x x
x e
dx
3
2
x
21) I =
3 2
sin
0
sinx-sin sìn2x+
cos 2 7
x
22) I = 4
2
0
tan x tan x e dxx
23) I =
1
1
ln
24) I =
8
3
ln 1
x dx
x
25) I =
1 0
2
x
26) I =
1
2
0
1 6 x 3 x dx
27) I =
1
2 1
1
dx
28) I =
0
dx
sin 3
4
sin
x x
x
4
2 0
tan
x xdx
31) I =
1
3
4
2 tan cos
x
32) I =
2
0
2 cos 4x xdx
33)
3
2 2 1
ln 1
x x
x
2 3
1
ln 1 ln
e
x dx x
35) I =
2 0
1 1
x
x
e dx x
2 2 0
I x x dx
37) I =
4 1
3
2014
dx x
1 2
1
1 x ex xdx
x
39) I =
ln 6
x
e
dx
4 2
1 3
ln 3 x x 2ln x dx
41) I =
2 0
2
x
x e
dx x
2 2
1
ln
e
dx
x x x
Trang 3H D GIẢI:
1) I =
4
2 4
1
1 2 cos x dx
2
2 cos
x
Đặt t = tanx => dt = 12
cos x dx Đổi cận => I =
1
2 1
1
1 dt
t
Đặt t = 3tanu
=> dt = 3(1+tan2 u)du Đổi cận => I = 3
9
2) I =
2 2
0
sin
1 s in2x
dx
2
2
2
1 2
0
sin
1 s ìn2x 1 s ìn2x
1
1 s ìn2x sin cos 2
sin
4
cos
cot
sin
4
x x
4
0
4 4
dx
2
2 2
2 0 0
0
sin
4 sin cos
Vậy I = 1 2 2
4
I I
3) I =
2
3
1 sin 1 cos x x dx
Đặt t = 1 cos x => 2tdt = - sinxdx Đổi cận
Trang 4
3 3
2 2
2
2
3
t t
t
t t
4) I =
3
4
1 sin 2 cos x x dx
3
4
4 4
.
dx
x
5) I = 4 2
sin cos 3
0
2 x x cos 2 x sin 4 xdx
=
1 2
2 2s ìn2xcos2xdx 2s ìn2xcos 2xdx I I
Tính: I1=
4
1 s in2x
0
2 2s ìn2xcos2xdx
Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx Đổi cận
1
I t dt t dt dt Đặt: 2
2
ln 2
t t
du dt
u t
dv dt v
2
2
2 1
t
t
I dt dt dt
hoctoancapba.com
Tính:
4
4 2
0
2s ìn2x.cos 2
4 0 0
Trang 5Vậy 1 2 2 2 1 1
6) I =
2 4
2 3
sin 1 cos
cos
dx x
0
0
4
3 0
3
7
3 1
12
x
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx x
2
cos 2
x
x
2sin cos
2
x
x
e
1 2 2
1
tan
cos 2
x
x
x
Tính: I1 =
2
2 0
1
2
cos 2
x
e dx x
Đặt
2
1
2 tan
2
x
x
u e
du e dx
x
v x
2
2
0
1
2
I I I e
8) I =
2
3
2 3
sin sin
1 sin sin
dx
2
dx
= I1 +I2
Trang 6Tính: I1 =
2
3
2
3
sin
x dx x
Đặt
sin
u x
du dx dx
dv
x
I1 = - xcot
2
3 3
x
2
2 3
3 3 3
Tính: I2 =
2
3
3
1 sin
dx x
2 3
2
dx
2
3 3
1
cot
sin
x
Vậy I = 4 2 3
3
9) I =
2
2
6
1 sin sin
2
2
2
6
3
2
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx Đổi cận => I = -
3
0 3
2
2 t dt 2 t dt
I = 3
2
10) I =
6
0
1
cos cos
4
dx
Ta có: cosx cos (x +
4
) = cosx ( 1
2 cosx -
1
2 sinx) =
1
2 cos
2x (1- tanx)
=> I =
6
2 0
2
dx
0 0
tan
x x
3
Trang 711) I =
2
0
dx
=
=
Tính: I1 =
2
2 0
sin 3
3 cos
x dx x
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận
I1 = 3
1
2
dt
t
Đặt t = 3tanu => I1 = = 3
6
Tính: I2 =
2
2 0
cos 4
4 sin
x dx x
ln
Vậy I = 3
6
+ ln3
12) I =
2
3 4
7sin 5cos
sin cos
dx
2
3 4
2 2
sin
4
dx x
Đặt t = x +
4
=> dt = dx
Đổi cận => I =
3 4
3 2
1
sin
2 2
dt t
4
2
sin
2 2
d t
3 4 2 2
2
2 2sin t
Trang 813) I =
6
0
tan
4 cos 2
x
dx x
Ta có:
2 2
2
2
1 1 tan
=> I = -
2 6
2 0
x dx x
Đặt t = tanx => dt = ( tan2 x + 1) dt, đổi cận
I = -
1
1 3
3 2
0 0
1
dt
t t
14) I =
2
0
1 cos
x
1 2
cos
.cos
x
x
* Tính I1 =
2 1 0
cos
x
x
; Đặt t 3sin x 1 => t2 = 3sinx + 1 => 2tdt = 3cosx dx
2 1
t
1
ln
I
* Tính
2 2
0
.cos
Đặt
2
0
2
0
Vậy: 1 2 4 ln 3 1
I I I
Trang 9
15) I =
2
3 0
sin
x
dx
3
Do x x x
nên I =
2
3 0
8 sin
3
x dx x
Đặt t = x +
3
dt =dx, sinx = sin ( t -
3
) = 1 3
2 t 2 t Đổi cận
I =
5
6
3 3
dt t
5
6 3
3
=
5
2 6
3
cot
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
2
6
cos
2
3 sin cos
6
x
dx
2
6
3
sin cos
6
dx
2
6
sin
sin 3
cos
6
x x
dx x
x
=
2
6
6
ln 4
3
* Cách khác: Do sinx.cos (x + 3 1
2
3 cot 1
sin
dx x
6
2
ln 3 cot 1
.ln 2
Trang 1017) I =
3
1
ln
e
x
dx
Đặt t = lnx =>dt = 1
dx
x , đổi cận
1
2
t
2 t t dt 2 t t dt 4 t d t 4 t d t
*Cách khác:
Đặt t = 4 ln 2 x 4 ln 2 x 2 2 4
4
x
,đổi
2
t
t dt t
18) I =
2
2 0
2
x
dx
2
2 0
1 1
x
dx
1
dx I I
Tính I1 =
2
2
dx
x
Đặt x+1 = 3tant => dx = 3(1+ tan2t)dt, đổi cận
2 3
6
18
3 1 tan
t
t
Tính: I2 =
2
0
1
x
dx
Đặt u = (x+1)2 + 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận
12
2
Vậy I = 3 3ln 3
18
Trang 11
1 2
0
19) I=
2 2013.
x x
x e
dx
1
0
x
e x e
dx
Đặt t = (x+2)ex +2013
=> (x+2)ex = t – 2013, dt = [ex+(x + 2)ex]dx = [(x + 3)ex]dx, đổi cận
I =
3 2013
3 2013
3 2013
2015
2013
2013ln
e
e e
t
t
2015
e
20) I =
3
2
x
3
2
.
1
x e dx dx I I
x
Tính I1 =
3
1
2 0
. x
x e dx
Đặt t = x3 => dt = 3x2dx => I1 =
1
0
e dt
Tinh I2 =
01
x dx x
Đặt t = 4 x t4 x dx 4 t dt3
1
1
8
4
Với
1
2
dt J
t
Đặt t = tanu => dt = (1 + tan2u)du =>
2 4
4
0
1 tan
u
u
2
8
3
Vậy I = 9 3
3
e
21) I =
3 2
sin
0
sinx-sin sìn2x+
cos 2 7
x
I =
2
sin
1 2 2
sin cos s ìn2x
x
Tính: I1 =
2
sin 0
.s ìn2x
x
0
2 sin x e xd sin x
Đặt
sin
Trang 12
0
Tính: I2 =
2 2
2 0
sin cos
dx x
Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận
I2 =
1
Vậy I = 5 ln 3
2
22) I = 4
2
0
tan x tan x e dxx
=
1 2 3 2
1
cos
e dx e dx x e dx I I I x
Tính: I1 =
4
2 0
1 cos
x
e dx x
Đặt
2
1
tan cos
x
x
u e
du e dx
x
I1 =
4
4
0 0
tan x ex tan x e dxx e I I I e
Tính: I2 =
4
4 4 0 0
1
e dx e e
Vậy I = 1
23) I =
1
1
ln
= 1 2 ln ln 1
e
dx
Đặt t = lnx => x = et, dt = 1
dx
x ,đổi cận => I
1
Tính: J =
1
0
1
t t
e
dt
e t
Đặt u = et t du et 1 dt, đổi cận
1
1
ln 1
e
du
u
Vậy I = 1 + ln(e + 1)
Trang 1324) I =
8
3
ln
1
x dx
x
Đặt
ln
1
dx
du
x dx
dv
x
3 3
1
x
Tính: J =
8
3
1
x dx x
Đặt t = x 1 t2 x 1, 2tdt dx, x = t2 – 1, đổi cận
3
2
2
.2
1
t
t
3 3
t
dt t
Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
25) I =
1 0
2
x
2
x
x
1
0
2
x
Đặt
2
2
2
t
26) I =
1
2
0
1 6 x 3 x dx
ho ctoancapba.com
1
2 2
0
I x dx Đặt 3 x 1 2sin t 3 dx 2cos tdt
Khi x = 0 3
sin
t t
Khi x = 1 => sin t = 0 => t = 0
2
2
Trang 143
sin 2
Vậy 2 1
2
3 3
I
27) I =
1
2 1
1
dx
=
1
2
dx x
1
1 1
2
1
1
2
x
x
Vậy I = 1
28) I =
0
dx
1
1 1
x
x x
1
2
0
1
x
x
1
0
1
; tan
x
4
I
sin 3
4
sin
x x
x
2 2
cot cot 1 2
4
sin
x x
x
2
1
sin
x
0
I u u u e du t u u
1
dt u du I t e dt
Trang 15 3
1 1
1
dv e dt v e
30) I =
4
2 0
tan
x xdx
2
4
2
1
tan cos
cos
u x
du dx
x
4 4
x
Vậy I =
2
1
ln 2
31) I =
1
3
4
2 tan cos
x
1
2
2 tan cos
x
4 1
4 1 3
3
4
;
x
t
e
2 2
2
3 2
4
2
tan cos
cos
u x
du xdx x
x
M N M N
Vậy I =
16
e e
Trang 16
32) I =
2
0
2 cos 4x xdx
Đặt
2 ln 2.
2
1
4
x
u
2
Đặt
2 , 2 ln 2
sin 4 1 cos 4 4
dv xdx
2 2
0 0
.2 cos 4 ln 2 2 cos 4
2
2
2 1 ln 2
2
2
2 1 ln 2
16 ln 2
I
33)
3
2 2 1
ln 1
x x
x
2
2
1 ln
1 1
x x
v x
x
3 1
1
.ln
dx
3 3
2 1
1
ln
x
x
3 2
1
1
d x
x x
9 ln 3 ln 5 9 ln 3 5ln 5
34) I =
2 3
1
ln 1 ln
e
x dx x
Đặt t = lnx => dt = 1
dx
x , đổi cận
Trang 17
1
2
0
1
3
I t dt 2
2
2
1
t
t
1 2
2 0
0
t
t
Tính J =
1 1
1
dt
Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan2u)du, đổi cận
2 4
2 0
u
u
Vậy 2 ln 2 2
6
35) I =
2 0
1 1
x
x
e dx x
2
1 2
Tính
1
2 0
1
x
x e
x
2
1 1 1
u x e du e x dx dx
x x
1 1
0 0
.
1
x
x
x
Vậy I = 1
2 2 0
I x x dx
2 2
2
2
2 2
0 0
2
9 ln 2
x
x
v
x
Trang 18* Cách khác: t = x2 + 9
=> I =
25 9
37) I =
4 1
3
2014
dx x
2014
3
1 1
2
dx
cận => I1 6
1 1
1 1
3 3
1
2
dx I
Vậy I = I 6 8056 8062
38) I =
1
2
1
1 x ex xdx
x
1
e dx x e dx J K
x
1 1
1
2
x
x
J e dx
1 1
2
1 1
x x
x
1
5
2
1
2
x x
x
x
2 2
e
I J K e
39) I =
ln 6
x
e
dx
Đặt t = 3 ex t2 3 ex, 2 tdt e dxx ,đổi cận
2 2
2
t t
80
63
40) I = 1
4 2
1
3
ln 3 x x 2ln x dx
Do: ln( x4 + x2 ) -2lnx = ln [ x2.( 3x2+1 )] – lnx2
Trang 19= ln( 3x2 + 1 ), nên I = 1
2 1
3
ln 3 x 1 dx
Đặt: 2
2
6
xdx
x
1 2
1 3 3
x
x
1
3
x
Với K =
1
2 1
3
1
dx
x
3 x tan t 3 dx 1 tan t dt
2 3
2
6
t
t
Vậy 12 ln 2 3ln 3 12 3
9
41) I =
2 0
2
x
x e
dx x
Đặt
2
2
2
1 2
2
x
x
e dx
dv
v x
x
1 1
2
0 0
2
x
x
x e
Với
1
0
. x
J x e dx Đặt
dv e dx v e
1
0
Vậy I = 3 e
e
42)
2 2
1
ln
e
dx
x x x
x
Trang 201 1
e
e
1
1
e
x
x x e
Vậy I =
2
1
e I
e e