Slide_Chuong 2. (tt) UD_ Vi tich phan ham mot bien

Slide_Chuong 2. (tt) UD_ Vi tich phan ham mot bien tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn...

Trang 1

Lãi suất tương đương

Lãi suất và ′ được gọi là tương đương nếu

trong cùng một khoảng thời gian và một phương

thức tính lãi, tiền lãi có được là như nhau

Lãi suất trung bình

~ lãi suất thay thế cho mức lãi suất khác nhau

của giai đoạn khác nhau sao cho tiền lãi có

được không đổi

1

Phương thức lãi đơn

Gọi lãi suất và thời gian tương ứng với giai đoạn thứ là và Khi đó, lãi suất trung bình cho một khoản đầu tư có giai đoạn là:

∑

∑ ⋯

⋯

2

Ví dụ 2.2.6: Ngân hàng cho một doanh nghiệp vay một

khoản tiền ngắn hạn vớiphương thức lãi đơnthay đổi như

sau:

• Giai đoạn 1: Thời gian vay 68 ngày, lãi suất 1,5%/tháng.

Khi đáo hạn, ngân hàng thu được khoản tiền lãi là

37.790.000 đồng Hãy tìm số tiền ngân hàng đã cho vay?

3

Phương thức lãi kép

Gọi lãi suất và thời gian tương ứng với giai đoạn thứ là và Khi đó, lãi suất trung bình cho một khoản đầu tư có giai đoạn là:

…

⋯ .

4

Ví dụ 2.2.7: Ngân hàng cho một doanh nghiệp vay

300.000.000 đồng vớiphương thức lãi képvới lãi suất thay

đổi như sau:

Khi đáo hạn, ngân hàng thu được số tiền bao nhiêu?

Chuỗi tiền tệ

~ là chuỗi các khoản tiềnphát sinh mớisau mỗi kì hạn

(các khoản đầu tư đều sử dụng phương thức tính lãi kép) Chuỗi tiền tệ hình thành khi đủ các yếu tố:

+ Số lượng kì hạn: + Số tiền phát sinh mỗi kì hạn:, , … , + Lãi suất:

Chuỗi tiền tệ được thực hiện với mục đích góp dần để tích lũy một khoản vốn hay trả dần một khoản nợ

Trang 2

Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ:

Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ:

7

1

n

i

=

1

.(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

n

i

=

Chuỗi tiền tệ đều

~ là chuỗi mà số tiền phát sinh trong mọi kì hạn đều bằng nhau:

Giá trị tương lai của số tiền phát sinh trong mỗi kì hạn là cấp số nhân với:

+ Công bội + Số hạng đầu tiên: # $

+ Số hạng tổng quát kì thứ%:#' $'

8

Giá trị tương laicủa chuỗi tiền tệ đều bằng tổng

số hạng đầu của cấp số nhân giá trị tương lai số tiền

phát sinh mỗi kì:

9

Ví dụ 2.2.8: Tìm giá trị tương lai của dòng tiền đều

500 triệu đồng ghép lãi hàng năm trong thời hạn 3 năm với lãi suất 10%

10

Ví dụ 2.2.9: Bạn quyết định dành dụm cuối mỗi

năm để gửi ngân hàng số tiền 10 triệu đồngđềumỗi

năm, liên tục trong 10 năm Ngân hàng tính lãi suất

cho bạn như sau:

10% cho 2 năm đầu

12% cho 3 năm giữa

15% cho 5 năm cuối

(a) Sau 10 năm bạn có bao nhiêu để mua nhà?

(b) Tổng số tiền lãi cho 10 năm đó là bao nhiêu?

11

Giá trị hiện tạicủa số tiền phát sinh mỗi kì là cấp số nhân với

+ Công bội + Số hạng kì đầu tiên:# $

+ Số hạng tổng quát kì thứ%:)* $ $'

12

Trang 3

Giá trị hiện tại của chuỗi tiền tệ đều bằng tổng

số hạng đầu của cấp số nhân giá trị hiện tại số tiền

phát sinh mỗi kì:

$

13

Ví dụ 2.2.10: Một người mua một máy giặt bằng

cách trả góp 12 kì vào cuối mỗi tháng với số tiền 1 triệu đồng, với lãi suất 0,8%/tháng Vậy người đó

đã mua máy giặt với giá bao nhiêu?

14

Ví dụ 2.2.11: Cần số tiền 104,6 triệu sau 3 năm để

mua lại chiếc xe hơi cũ từ lời hứa của một đồng

nghiệp, bạn phải gửi tiết kiệm từ bây giờ mỗi 6

tháng số tiền đều nhau là bao nhiêu nếu ngân hàng

trả lãi suất 12%/năm

15

Ví dụ 2.2.12: Ta xem xét các bài toán sau:

1 Xác định giá trị phát sinh mỗi kì của một chuỗi tiền tệ đều có 8 kì hạn, lãi suất áp dụng cho mỗi kì

là 2,2% Biết hiện giá của chuỗi tiền tệ là 20 triệu đồng

2 Hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều có 12 kì hạn là

40 triệu đồng với phát sinh ở mỗi kì hạn là 4 triệu đồng Hãy xác định lãi suất áp dụng cho mỗi kì khoản?

16

3 Xác định số kì hạn của một chuỗi tiền tệ đều có

phát sinh mỗi kì là 2 triệu đồng, lãi suất áp dụng cho

mỗi kì hạn là 4% và hiện giá là 20 triệu đồng

4 Nam muốn vay một khoản tiền 100 triệu đồng để

mua xe, ngân hàng đề nghị Nam hai phương thức trả

lãi như sau:

Trả trong vòng 3 năm với lãi suất 0.9%/tháng

Trả trong vòng 4 năm với lãi suất 0,8%/tháng

Hãy cho biết số tiền Nam phải trả mỗi tháng đối với

Đạ o hàm

Trang 4

•Nế , có đạo hàm tại -. ta nói , kh ả vi

(differentiable) tạiđó

•Ta có thểxem,/là hàm sốtheo-xácđịnh bởi

,/

3→.

, 5 , -5

•Nếu hàm sốnày cóđạo hàm thìđạo hàm củ

hiệ ,//.

•Tổng quát, nế ,cóđạ o hàm c ấ là,thì

đạo hàm cấ 1 được định nghĩa là

• Đạ o hàm c ủ , - còn đượ cký hi ệ là

8- ,

• Ta có th ể ký hi ệ đạ o hàm t ạ i b ng

:;

8, 8-<:; 8- , - <8 :;

• Các đạ o hàm c ấ p cao c ũ ng đượ c ký hi ệ u là

, // 8 , 8- 8 8- , , 8 , 8- 8 8- ,

20

Đạo hàm các hàm số sơ cấp

21

Các quy tắc tính đạo hàm

22

Ví dụ 2.2.13:

a) Tính đạ o hàm c ủ a hàm s ố

1 ln

-b) Tính đạ o hàm c ấ p hai c ủ a hàm s ố

? 2- 1

Đị nh lý 2.1 Đạ o hàm c ủ a hàm h ợ p

Nếu, @ kh ả vitại vàA - kh ả vi

kh ả vitại-và

Trang 5

Ví dụ 2.2.14:

a) Tính đạo hàm của các hàm số

-F 2-? 3- 6

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số

J:

25

Hàm số, - đạtgiá tr ị l ớ n nh ấ t(hay cực

đại toàn cục – global maximum – absolute maximum) tạiđiểmKthuộc miền xácđịnhL

của,nếu, - M , K v ớ i m ọ i- ∈ L

Hàm số, - đạtgiá tr ị nh ỏ nh ấ t(hay cực

tiểu toàn cục – global minimum – absolute minimum) tạiđiểmKthuộc miền xácđịnhL

của, nếu, - O , K v ớ i m ọ i- ∈ L

lo

26

Trang 6

31 32

Cực trị địa phương

35

• C ự c tr ị ( đị a ph ươ ng hay toàn c ụ c) c ủ , ch ỉ có th ể

x y ra t ạ i m ộ t trong các lo ạ i đ i ể m sau đ ây

• Đ i ể m trong c ủ a mi ề n xác đị nh và , /

• Đ i ể m trong c ủ a mi ề n xác đị nh và , /không xácđịnh

• Đ i ể m biên c ủ a mi ề n xác đị nh.

• N ế K là đ i ể m trong c ủ a mi ề n xác đị nh và , /

ho ặ , / K không t ồ n t ạ i thì ta nói K làđ i ể m t ớ i h ạ

(critical point) c ủ ,

• Tình giá tr ị c ủ a , t ạ i các đ i ể m t ớ i h ạ n và các đ i ể m biên.

• L ấ y giá tr ị l ớ n nh ấ t và nh ỏ nh ấ t trong các giá tr ị nói trên.

36

Trang 7

Ví dụ 2.2.15:

a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

10- 2 ln - trên khoảng 1, J .

b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số $: Q 7:

trên khoảng 2,0

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số R trên

khoảng 2,3

S ự đơ n đ i ệ u c ủ a hàm s ố

Cho hàm số, liên tục trên , S và khảvi trên

, S

- Nếu,/ - T 0, ∀- ∈ , S thì, t ă ngtrên , S

- Nếu,/ - V 0, ∀- ∈ , S thì, gi ả mtrên , S

39

Tìm cực trị địa phương

• Cho K là đ i ể m t ớ i h ạ n c ủ a hàm s ố liên t ụ , và gi ả

s ử , kh ả vi trên m ộ t kho ả ng m ở ch ứ a K (có th ể ngo ạ i

tr ừ t ạ i K )

• Khi di chuy ể n t ừ trái sang ph ả i đ i ể m K

• N ế , /đổi dấu từâm sang d ươ ngthìK làc ự c ti ể

đị a ph ươ ng.

• N ế , /đổi dấu từd ươ ng sang âmthìK làc ự c đạ i

đị a ph ươ ng.

• N ế , /không đổ i d ấ (nghĩa là, /dương cảhai

bên ho ặ c âm c ả hai bên đ i ể m K ) thì Kkhông ph ả i là

c ự c tr ị đị a ph ươ ng.

40

Ví dụ 2.2.16:

a) Tìm cực trị địa phương của 3 J:

b) Tìm cực trị địa phương của R - 4

Đị nh lý:

Cho ,!-" là hàm số có đạo hàm bậc hai trên !, S)

Khi đó:

1) Nếu,// -. V 0 và ,/ -. đại địa phương tại-. 2) Nếu ,// -. T 0 và ,/ -. tiểu địa phương tại-.

Trang 8

Ví dụ 2.2.17: Cho F?- - 3, hãy

tìm cực trị địa phương của,!-" trên 0,2

43

Ứ ng dụng của đạo hàm trong kinh tế

Một số khái niệm:

Doanh thu và doanh thu biên

GọiX : giá của hang hóa,

YZ: lượng cung,

Y[: lượng cầu

Khi đó, (tổng) doanh thuTR (Total Revenue) của sản phẩm:

` !_`M _a"

44

Ta có thể xem `".

Khi đó, đạo hàm của \] theo _` đượ c gọi là

doanh thu biên – MR (Marginal Revenue).

a\]

a_` Doanh thu biên de của một hàng hóa chính là

phần tăng (hoặc giảm) của doanh thu khi lượng

cung có sự thay đổi nhỏ (tăng hoặc giảm)

45

Ví dụ 2.2.18:

Hãy tìm doanh thu biênde của một loại hàng hóa, biết rằng lượng cầu của hàng hóa trên thị trường được cho bởi hàm

46

Tổng chi phí \g (Total Cost) và Chi phí biên

cg (Marginal Cost).

Ví dụ 2.2.19:

Chi phí sản xuất của một doanh nghiệp được cho bởi

13YZ 50YZ 12 Hãy cho biết

chi phí biên của doanh nghiệp trên?

47

Hàm chi phí tổng quát:

`

m n_` o_` a

Điều kiện: , o, a T p, n V p, nV qo

48

Trang 9

Tối ưu hóa lợi nhuận

Gọihe : doanh thu,

hi: chi phí

Lưu ý: Hàm lợi nhuận s cũng phụ thuộc vào YZ

Bài toán: Tìm lượng cung _` để lợi nhuận đạt

đượ c là lớn nhất.

49

Xét 2 trường hợp (TH) sau:

TH1: Doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện cạnh

tranh hoàn hảo:

GiáX do thị trường quyết định và không phụ thuộc vào sản lượng của doanh nghiệp

50

Ví dụ 2.2.19:Một doanh nghiệp sản xuất một loại

hàng hóa trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Biết

giá của hàng hóa trên thị trường là

tổng chi phí để sản xuất ra hang hóa được cho bởi

1

3 YZ? YZ 10YZ 20.

Hãy tìm mức sản lượng!YZ" để lợi nhuận đạt được

là lớn nhất? Tìm lợi nhuận lớn nhất?

51

TH2: Doanh nghiệp sản xuất trong điều kiện độc

quyền:

GiáX của hàng hóa do doanh nghiệp quyết định Lượng cầuY[do người tiêu dung quyết định và phụ thuộc vào X

Ví dụ 2.2.20: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa Biết hàm cầu về sản phẩm này là

Y[

và hàm tổng chi phí để đạt được mức sản lượngYZlà

Z? 30.625YZ 1528.5YZ 20000

Tìm mức sản lượng và giá bán để doanh nghiệp đạt lợi

Xét trường hợp doanh nghiệp bị đánh thuế doanh thu

Gọi h là tổng số thuế doanh nghiệp phải trả,

t mức tiền thuế tính trên một sản phẩm

Khi đó, `

Ví dụ 2.2.21: Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một

loại hàng hóa Biết hàm cầu của hàng hóa này là

Y[

v 200Yv 100

a) Doanh nghiệp sẽ ấn định mức sản lượng như thế nào

để lợi nhuận sau thuế là lớn nhất?

b) Hãy tìm mức thuế doanh thu tính trên một đơn vị sản phẩm để tổng tiền thuế thu được từ doanh nghiệp là lớn nhất?

c) Nhu cầu xã hội cần tối thiểu 125 đơn vị sản phẩm của doanh nghiệp Vậy mức thuế tối đa được tính là bao

Trang 10

Tài liệu tham khảo:

1 Lê Trường Nhật, Bài giảng Toán kinh tế.

2 Đan Đình Trúc, Bài giảng Toán kinh tế.

3 Nguyễn Tấn Bình, Toán tài chính ứng dụng, NXB Thống

kê, 2007.

4 Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, 2nd ,

Routledge, 2003.

55

Ví dụ 2.2 .8: Tìm giá trị tương lai dịng tiền đều

500 triệu đồng ghép lãi hàng năm thời hạn năm với lãi suất 10%

10

Ví dụ 2.2 .9: Bạn định dành...

? 2- 1

Đị nh lý 2.1 Đạ o hàm c ủ a hàm h ợ p

Nếu, @ kh ả vi< /i>tại vàA - kh ả vi< /i>

kh ả vi< /i>tại-và

Trang...
⋯
2
Ví dụ 2.2 .6: Ngân hàng cho doanh nghiệp vay một
khoản tiền ngắn

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	2,46 MB