Giới hạn và liên tục Định nghĩa 3.1.1: Nếu ứng với mỗi cặp giá trị của hai biến số và , ta có một quy tắc xác định một giá trị của, thì được gọi là hàm số theo hai biến độc lập và.. Khi
Trang 1CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG VI PHÂN
HÀM HAI BIẾN
1 Giới hạn và liên tục
Định nghĩa 3.1.1: Nếu ứng với mỗi cặp giá trị
của hai biến số và , ta có một quy tắc xác định
một giá trị của, thì được gọi là hàm số theo
hai biến (độc lập) và
Kí hiệu: ,
Ví dụ 3.1.1: Cho hàm ,
Tính
1
Định nghĩa 3.1.2: Cho hàm hai biến sốz ,
Tập hợp các cặp số , sao cho , có nghĩa
được gọi là miền xác định của hàm số ,
Ví dụ 3.1.2: Tìm miền xác định của hàm số
2
Định nghĩa 3.1.3: Cho hàm hai biến , xác định
trên một hình tròn chứa , (có thể loại trừ , ).
Ta nói , dần đến ∈ khi , dần đến ,
hay , có giới hạn là tại , nếu với mọi 0
cho trước, tồn tại 0 sao cho
Ta viết
hay "→"lim$ → $
, .
3
lim
", →" $ , $ ,
Định nghĩa 3.1.4: Xét hàm hai biến ,
xác định trong một miền& và ' , ∈ & Ta
nói , liên tục tại ' nếu xác định tại 'và tồn tại giới hạn:
Hàm , được gọi là liên tục trong miền &
nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền&
4
lim
", →" $ , $ , , .
2 Đạo hàm riêng
Cho hàm hai biến , Ta giữ nguyên không
đổi (xem như hằng số), xem là một hàm số theo
biến Khi đó, đạo hàm của hàm theo biến được
gọi làđạo hàm riêngcủa hàm , theo biến
Kí hiệu: ()
("hay
(*
("hoặc", "
Tương tự, đạo hàm riêng của theo biến : ( ()hoặc
Ví dụ 3.2.1: Cho ,
Tìm (*
(" và
(*
( .
Đạo hàm riêng cấp 2
((".*. "" " "/; ( *
( /
((" .* " "/; ( *
( " " " /
(*(" " 12
"" 24; "" 1,2 24
(*( ; 1,2 42
Trang 23 Cực trị hàm hai biến
Định nghĩa 3.3.1: Xét hàm số , xác
định tại , Ta nói:
i. , đạt cực đại tại , nếu đối với mọi
điểm , khá gần , ta có ∶
, ,
ii. , đạt cực tiểu tại , nếu đối với mọi
điểm , khá gần , ta có ∶
, ,
iii., đạt cực trị tại , nếu , đạt
cực đại hay cực tiểu tại, 7
Cách tìm cực trị của , B1 Tính các đạo hàm riêng.
B2 Giải hệ phương trình sau để tìm điểm dừng:
;" 0
B3 Ứng với mỗi điểm dừng , , đặt:
"" , ; = " , ; > ,
∆ =
B4 Xét dấu của∆ và của để kết luận:
8
∆ 0: Hàm số không đạt cực trị tại ,
∆ 0, 0: Hàm số đạt cực tiểu tại ,
∆ 0, 0: Hàm số đạt cực đại tại ,
∆ 0: Chưa kết luận được tại ,
9
.
,
10
Ví dụ 3.3.3: Tìm cực trị của hàm số
Cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất (xem tài liệu)
4 Ứng dụng 4.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
Giả sử có một xí nghiệp sản xuất hai sản phẩm
Gọi: A%, A : giá sản phẩm,
B%, B : lượng cung, C> C> B%, B : hàm tổng chi phí
Hãy định mức sản lượngB%, B để xí nghiệp đạt lợi
nhuận cao nhất
Trang 3Phương pháp giải:
Điều kiện vể mức sản lượng: B% D 0, B D 0
Doanh thu: A%B% B
Lợi nhuận:
Để đạt lợi nhuận cao nhất cần xác định các mức
sản lượngB%, B dương sao cho tại đóE đạt cực
đại
13
Ví dụ 4.1.1: Một xí nghiệp sản xuất hai sản phẩm với đơn giá trên thị trường lần lượt làA% 56, và
A 40 Hàm tổng chi phí là
C> 2B% %B
Hãy định các mức sản lượng B%, B để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất
14
4.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất trong điều
kiện sản xuất độc quyền
Giả sử một xí nghiệp sản xuất hai sản phẩm
Hàm cầu của 2 sản phẩm:
BHI &% A%, A , BH. & A%, A
Mức sản lượng: B%, B
Đơn giá hai loại sản phẩm trên thị trường: A%, A
Xác định mức sản lượngB%, B để lợi nhuận max
15
Phương pháp giải:
Điều kiện về mức sản lượng:B%D 0, B D 0
Do sản xuất độc quyền, nên để tiêu thụ hết sản phẩm xí nghiệp sẽ bán với đơn giáA%, A sao cho
JBHI B%
BH. B ⇔ ;&&%%AA%%, A, A B B %
Giải hệ trên ta được:
;A % A%B%, B
A A B % , B
16
Khi đó:
Doanh thu:CF A% B%, B B% B%, B B
Lợi nhuận:
A% B%, B B% B%, B B %, B
Để đạt lợi nhuận cao nhất cần xác định các mức
sản lượng B%, B dương sao cho tại đó E đạt cực
đại
Ví dụ 4.1.2: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai sản phẩm với hàm cầu lần lượt là:
Hàm tổng chi phí:C> B% %B
Hãy tìm mức sản lượngB%, B để xí nghiệp đạt lợi
nhuận cao nhất
Trang 4Tài liệu tham khảo:
1 Lê Trường Nhật, Bài giảng Toán kinh tế.
2 Đan Đình Trúc, Bài giảng Toán kinh tế.
3 Nguyễn Tấn Bình, Toán tài chính ứng dụng, NXB Thống
kê, 2007.
4 Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, 2nd ,
Routledge, 2003.
19
...Định nghĩa 3.1 .2: Cho hàm hai biến sốz ,
Tập hợp cặp số , cho , có nghĩa
được gọi miền xác định hàm số ,
Ví dụ 3.1 .2: Tìm miền xác... 2
3 Cực trị hàm hai biến
Định nghĩa 3.3 .1: Xét hàm số , xác
định , Ta nói:
i....
.
,
10
Ví dụ 3.3 .3: Tìm cực trị hàm số
Cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất