Bài giảng phép tính vi tích phân hàm một biến đại học quốc gia hồ chí minh

GIÁO TRÌNH ---Giáo trình: 1/ Giải tích hàm một biến - BM Toán ứng dụng – ĐHBK 2/ Giải tích hàm một biến – Tác Giả: Đỗ Công Khanh 3/ Toán học cao cấp Tập hai - Nguyễn Đình Trí chủ biên Ý

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-BGĐT – TOÁN 1 PHÉP TÍNH VI – TÍCH PHÂN HÀM

MỘT BIẾN

TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

Môn học: Toán 1 MSMH: 006038 Số tín chỉ: 2

Thời lượng trên lớp: 3 tiết/tuần x 14 = 42 tiết/Học kỳ

GIÁO TRÌNH

-Giáo trình:

1/ Giải tích hàm một biến - BM Toán ứng dụng – ĐHBK

2/ Giải tích hàm một biến – Tác Giả: Đỗ Công Khanh

3/ Toán học cao cấp (Tập hai) - Nguyễn Đình Trí (chủ biên)

Ý kiến đóng góp xin gửi về: nqlan@hcmut.edu.vn

Địa chỉ Website: http://www2.hcmut.edu.vn/~nqlan

Trong quá trình thực hiện bài giảng, tác giả đã tham khảo bài giảng Calculus 1 (Tiếng Anh, GS Nguyễn Hữu Anh) và bài giảng Toán 1 (GVC Ngô Thu Lương) Xin chân thành cảm ơn

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-BGĐT – TOÁN 1 BÀI 1: DÃY SỐ & GIỚI HẠN

TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

NỘI DUNG

-1- Khái niệm dãy số Ba cách xác định dãy số

2- Ý tưởng giới hạn dãy số

3- Định nghĩa giới hạn dãy số Dãy hội tụ, phân kỳ

4- Tính chất của giới hạn dãy số

5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số Định lý kẹp

6- Dãy đơn điệu Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn Số e

7- Dãy con Tiêu chuẩn phân kỳ

VD: Dãy nghịch đảo các số tự nhiên 1, 1/2, 1/3, … , 1/n , …

Þ Số hạng tổng quát: x n = 1/n, n ³ 1.

VD: Dãy 1, –1, 1, –1 … Þ Số hạng tổng quát: x n = (–1) n – 1 ,

n ³ 1 (hoặc x n = (–1) n , n ³ 0: Có thể đánh số lại dãy số!)

Dãy số có số hạng đầu tiên, nhưng không có số hạng chót!

1 BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

-Mô tả (bằng lời): Đặc tính các số hạng của dãy VD: Dãy số tự nhiên, dãy số chẵn, số lẻ …

Công thức (biểu thức số hạng tổng quát): x n = f(n) : N ® R VD:

x n = n 2 Þ Dãy số chính phương

Truy hồi: x n (số hạng đứng sau) được tính bởi x n – 1 (số hạng đứng trước) VD: x n = 2 + x n-1

Dãy số {x n } có

thể được xác

định bởi 3 cách:

ü î

í

ì

³

= þ

ý

ü î

í

ì

-³ -

= -

þ ý

ü î

í

-

-+

-= þ

ý

ü î

í

ý

ü î

í

ì

+ +

= þ

L L

L L

L L

, 6

π cos ,

, 0

, 2

1 , 2

3 ,

1 0

, 6

π cos 6

π

cos

, 3 ,

, 3 , 2 , 1 , 0 3

, 3 3

, 3

) 1 (

) 1

( ,

, 27

4 ,

9

3 , 3

2 3

) 1 (

) 1

( 3

) 1 (

)

1

(

, 1

,

, 4

3 , 3

2 , 2

1 1

1

0 3 1

n n

n a

n

n n

n a

n

n

n a

n

n

n n

n a

n

n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

1 VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ & DÃY TRUY HỒI

Dãy số có thể được xác định qua cách mô tả (bằng lời): (a) Dãy {s n }, với s n – dân số của Việt Nam vào năm thứ n (b) Ký hiệu c n – chữ số thập phân thứ n sau dấu phẩy của số p Þ Dãy {c n } = {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4 … }

-Dãy số xác định theo kiểu truy hồi: -Dãy Fibonacci với

công thức truy hồi:

f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2 n ³ 3

=

n

n x

2

12

1/

n

y b

n n

+

-=

0.56250.4848

4

0.460.4902

5

0.38890.4737

3

0.750.4444

2

–0.5 0.3333

1

yn

xnn

1

x x2 x3 x4 x 550

5

01

y y3 y5 y4 y2

Khi n tăng, số hạng x n (và y n ) ngày càng tiến sát đến L = 0.5 theo nghĩa: Khoảng cách |x n –L|

sẽ rất bé nếu chọn n đủ lớn

-4 :

95.401

.0

1

2 2

2

L n

n

12

11

-=

-n n

n L

.0

Ngơn ngữ Giải tích: Khoảng cách |x n – L| rất bé nếu n đủ lớn

· |x n – L| rất bé Û "e > 0 sẽ cĩ |x n – L| < e (n thỏa đk nào đĩ)

· n đủ lớn Û Tìm được số tự nhiên N 0 & chỉ xét n > N 0

a)nhất

lớnnguyên

số[a]

:thích

úû

ùê

ë

é

÷ø

ưç

1

N

ĐS:

Ví dụ: Câu (c) ví dụ trước cho phép thiết lập:

2

11

2lim 2

2

=+

¥

n n

Nhận xét: x n - L < e Û -e < x n - L < e Û L -e < x n < L + e

Û Số hạng x n (kể từ n > N 0 ) Î đoạn [L – e, L + e] ® Minh họa:

0

0 :,

Định nghĩa: Dãy số {x n } tiến đến L (hoặc có giới hạn là L):

Khi dãy số tiến đến L: ta nói dãy hội tụ (và có giới hạn là L) Trường hợp ngược lại: ta nói dãy phân kỳ

3 MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY PHÂN KỲ

-Biểu diễn trên mặt phẳng các điểm (n, x n ) với x n = (–1) n

Từ đó kết luận về bản chất hội tụ hoặc phân kỳ của dãy

Vô số số hạng của dãy = 1 và = –1 Þ Dãy không tiến đến giá trị L nào Þ Phân kỳ!

VD: Dãy x n = 1/n chặn trên bởi 1 và dưới bởi 0 Þ Bị chặn!

Hiển nhiên ta có: Dãy bị chặn Þ Không có giới hạn vô cùng

limlim

lim

limlim

p n n

n n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n n

n n

n n

n n

n

x p

x x

y y

x y

x

y x

y x

y b

x a

by ax

vànếu

Dãy hội tụ Þ Bị chặn (Ü): Sai! $ dãy bị chặn nhưng phân kỳ

Như vậy, khi tìm giới hạn dãy số, ta cĩ thể thay n bằng x:

( ) lim ( ) (chỉ dùng khi an ở dạng f(n))lim

x n

=Þ

<

<

¥

=Þ

10

lim1

n n

n n

a a

a a

ïî

ïí

ì

=Þ

<

¥

=Þ

0

lim0

a

a a

a

n

n n

2-

+

¥

® n

n a

n n

n

b

35

2

2

5lim

11

1

2lim

2 2

2

2

2

=-

+

=-

n

n

n a

n

n n

32

5

521

5lim

n b

VD: Tìm

n

n n

1sin

n x n

z y

x

n n

n n

n n

n

limlim

0

a y

n n

n n

1lim

.0

1lim

1lim

12

1

!0

n n

n

n n

n b

ø

öçè

æ

<

÷ø

öç

è

n c

n n

+

=+

x

Cách 2: ( )

2'

:1

,3

2

2 < Þ ¯ Þ > ++

-=

³+

x

f

x x

x f

Dãy số {x n } được gọi là tăng khi x n < x n+1 với mọi n ³ 1, và

giảm nếu x n > x n+1 với mọi n ³ 1 Dãy tăng và dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

Dãy tăng được viết ở dạng: x 1 < x 2 < x 3 < … < x n < x n+1 < …

Dãy giảm được viết ở dạng: x 1 > x 2 > x 3 > … > x n > x n+1 > …

6 TIÊU CHUẨN DÃY ĐƠN ĐIỆU BỊ CHẶN

-Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ

Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ

å

=

=+

++

x

1 2

2 2

2

1

13

12

1

VD: Khảo sát tính hội tụ của

Giải: Bước 1: Tính đơn điệu

x n

1

13

2

12

11

13

12

12

11

ø

öç

è

-++

÷ø

öç

è

æ +

-÷ø

öç

11

lim

2 2

2

p

=

÷ø

öç

æ +

n x

lim Giới hạn này ký hiệu là số e » 2.718

1

11

11

1

1 ÷ø < + +

öç

è

æ +Û

+

n n

x

n n

n

Bđthức Côsi cho (n+1) số dương: n số = (1 + 1/n), 1 số = 1 Þ (1) Bước 2: Chặn trên: Khai triển nhị thức Newton và biến đổi:

ñpcm:

32

12

12

21

11

!

1

11

!2

1

ø

öç

è

æ

-÷ø

öç

è

æ +

-+

÷ø

öç

è

æ +

-n

n n

n n

L Euler chứng minh: e ix = cosx + isinx, x ÎR Þ e ip = –1 (*)

Hệ thức (*) liên hệ e, i và p , được gọi là Công thức của Chúa!

x 1,L, k ,L , 1 L L, lim

Cho dãy {x n } Þ Dãy con của dãy {x n }:

Dãy{x n } hội tụ Û Mọi dãy con của {x n } đều có cùng giới hạn

Dãy {x n } phân kỳ Û $ một dãy con phân kỳ của dãy {x n }

$ hai dãy con hội tụ có lim ¹ nhau

VD: Chứng tỏ dãy {x } = {(–1) n } phân kỳ Giải: Xét x & x

VD: Dãy con:

{ } {2 / 2 1}

/ x n b x n+a

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG – ĐHBK

-BGĐT – TOÁN 1 BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ

TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

NỘI DUNG

-1- GIỚI THIỆU: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

2- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM ĐỊNH NGHĨA HÌNH THỨC

3- ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN (NGÔN NGỮ e – d)

4- GIỚI HẠN VÔ CÙNG - TẠI VÔ CÙNG – 1 PHÍA

Câu hỏi: Làm sao xác định hệ số góc m của tiếp tuyến t tại P?

1 XẤP XỈ HỆ SỐ GÓC TIẾP TUYẾN

-Hệ số góc m của tiếp tuyến t cần tìm xấp xỉ bởi hệ số góc

mPQ của cát tuyến PQ với Q Î đồ thị (C) và Q “rất gần” P

Câu hỏi: Hệ số góc mPQ có xác định không khi Q º P Û x = a?

t

a x

a f

x

f

mPQ

-

2

+

= -

2.01 1.01

2.1 1.1

2.5 1.5

3 2

m PQ

x

1.999 0.999

1.99 0.99

1.9 0.9

1.5 0.5

1 0

m PQ

x

Quan sát: Khi Q ® P (đồng nghĩa x rất gần 1)

giá trị mPQ tiến đến 2

Ta có thể viết

21

1lim

lim

2 1

PQ P

m

x

Phương trình tiếp tuyến: y – y = m(x – x ) Þ y = 2x – 1

Câu hỏi: Tại sao phải cho x » 1 mà không xét luôn x = 1?

2 Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm y = f(x), MXĐ D

-Tại điểm x 0 Þ “Giá

f = sin , x » x 0 = 0: é

ë

ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê

ù

û

ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú

0.1000 0.8415 0.01000 0.9588 0.001000 0.9816 0.0001000 0.9896 0.00001000 0.9935

2 GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA HÌNH THỨC

-L x

VD: Đoán (không chứng minh) giới hạn ( ) ( )

1

1,

f x

f

Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định tại x = 1

0.500025 0.9999

0.500250 0.999

0.502513 0.99

0.526316 0.9

0.666667 0.5

f(x)

x<1

0.499975 1.0001

0.499750 1.001

0.497512 1.01

0.476190 1.1

0.400000 1.5

f(x)

x>1

Từ bảng giá trị, có thể phỏng đoán:

5

01

1lim 2

2 GIÁ TRỊ TẠI 1 ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỚNG GIỚI HẠN

Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x ® 1

ïî

ïí

ì

=

¹-

-=

=

1khi

2

1

khi1

12

x

x x

x x

f x

1,

ø

öçè

æ

÷ø

öçèæ

( ) ( )0.1 (0.01) 0 limsin 0:

3

12

11

öçè

æ

=

÷ø

öçè

æ

=

f f

f f

k x

4

2

p

p p

!1sin =

Þ

x p

Có vô số giá trị x gần 0 tùy

ý, tại đó f = 0 lẫn f = 1 KL: Giới hạn đang xét không $!

Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng

để chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn!

( )x f

x

x x

1 < x <

03.0

=

Þ d

4 GIỚI HẠN VÔ CÙNG - TẠI VÔ CÙNG

Khi f(x) ® ± ¥ (tức L = ± ¥) hoặc x ® ± ¥ (tức x 0 = ± ¥): Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x 0 | Þ Cần điều chỉnh! Chú ý: Đại lượng A ® ¥ Û A > M "M & B ® –¥ Û B < m "m

f x

x x

M x

A x

x A

M x

lim

0 0

0 f x f x0 & f x

x x x x x

0

0 & x x x

x x

x

x x

G hạn phải: x ® x 0 + Û x ® x 0 & x > x 0 (tức x ® x 0 từ bên phải)

( ): lim ( ))

(

lim

0 0

0 f x f x0 & f x

x x x x x

f x

f x

f x

f

x x

x x

x

x x

5 PHÉP TOÁN TRÊN GIỚI HẠN

Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn khi x ® a Khi đó

-0 )

(

lim )

( lim

) ( lim )

(

)

( lim

5

) ( lim )

( lim )]

( ) ( [ lim

4

) ( lim )]

( [

lim

3

) ( lim )

( lim )]

( )

( [ lim

2

) ( lim )

( lim )]

( )

( [ lim

+

= +

if x

g

x f x

g

x f

x g x

f x

g x f

x f c

x cf

x g x

f x

g x

f

x g x

f x

g x

f

a

x a

x

a x a

x

a x a

x a

x

a x a

x

a x a

x a

x

a x a

x a

x

5 VÍ DỤ

Cho đồ thị 2 hàm số

x

f x

g x f x

g x

f

x x

xlim2 5 2/ lim1 3/lim2/

1

®

® -

a/ Các giới hạn sau liệu

có tồn tại hay không:

Giải: a/ f ( )x g( )x

x

xlim2 1; lim1

® -

® = Khoâng $ b/ 1/ –4 2/ – 3/: Không $

achẵn, :

n(nếuvà

f x

f

a x

a x

a x

c c

x f x

f

a x

n

a x

n a x

n n

a x

n n

a x

a x a

x

n a

x

n a

x

limlim

8lim

7

limlim

6

Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi

1 cơng thức chứa các hàm cơ bản & a Ỵ D f Þ f ( )x f ( )a

a

®lim

Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)

3lim

/2

1

2lim

2 3

1 2

+

+

x

x a

x x

:22

2

1lim

a

a a

x x

Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x ® ¥:

,lim

:1

,

0lim

:10

Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định):

21

22

1lim

23

2

3lim

2 1

2 1

2

2 3

-

-=+

x

x x

x x

x

x

x

x x

x

( ) ( )1 2 1 12

12

1lim:

;2

10

+

=-¥

®

¥

x x

L x

L x

6 PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH

Dạng vô định : 0/0, ¥/¥, ¥ – ¥, 0.¥, 1 ¥ ® Biến đổi về xác định 1/ Khử dạng vô định 0/0: phân thức, căn, lượng giác, mũ …

( )00 0 ( ( 00) ) 11

0 0

lim)

(

)

(lim

lim

Q x

x

P x

x x

Q x

Q

x P x

P Q

P

x x x

x x

-=-

x n

x

11

1lim

x m

m

n n

x

a b

x b x

b

a x

a x

a

0

0 1

1 0

1 1

lim

¥

® -

-¥

++

+

++

+

LL

a a

a x

x

:0,

ø

öç

11

1lim1

x x

v x x

x x x

2

2lim

"

"

lim)

('

)(

'lim

)(

)

(

0 0

0

x

f x

g

x

f x

g

x

f x

x x

x x

x x

x

x a

x a a

a

x h x

g x

f

x

x x

x x

x

=

Þïî

ïí

limlim

0 0

0

=

Þïî

ïí

h

x x

x h x

f

x

x x

lim

VD: Tìm

x

x x

p

sin

lim0

® Chú ý: Muộn hơn sẽ cminh $

x x

p

sin

lim0

®

8 GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGÔN NGỮ DÃY

Ngơn ngữ “dãy”: "{ }t n :[ t n ® x0 Þ f ( )t n ® a ]

-Khơng cĩ giới hạn tại x0 (Thuận tiện chứng minh khơng $ lim):

n

n n

n n n

VD: Chứng minh khơng cĩ giới hạn:

x

b x

a

x x

p

sinlim/

sinlim

® x

x

Đại lượng a(x) – vô cùng bé (VCB) khi x ® x 0 :

VCB cơ bản (x ® 0): Lượng giác a( )x = sin x ,1- cos x , tgx

x

b x

a

x x

x

p p

p

sinlim

/sin

lim/

sinlim

9 SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ

a(x), b(x) – VCB, x ® x 0 và $ ( )

1/ c = 0 : a(x) – VCB cấp cao so với b(x): a(x) = o(b(x))

2/ c = ¥: Ngược lại trường hợp c = 0 Þ b(x) = o(a(x))

3/ c ¹ 0, c ¹ ¥ : vô cùng bé cùng cấp

Cách nói khác: b(x) – VCB cấp thấp hơn

VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn VD: sin 2 x, x 3

Áp dụng: So sánh 2 vô cùng bé x m , x n (m, n > 0) khi x ® 0

~tg,

~sin

2

®

x x

x x

1

x

+

9 DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN

-3 0

tg

sinlim

x

x

x x

-® :VD

a ~b & a 1 ~ b 1 khi x ® x 0 Þ a ± a 1 ~ b ± b 1

x x

x

tg21

lnlim

2 0

3cos

lnlim

÷ø

öç

è

æ

+-

x x

x

x x x

x x

x x

1 1

1

0 0

0 0

limlim

~,

~

b

a b

a b

b a

Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU)

9 QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ

-a, b – VCB khác cấp Þ a + b tương đương VCB cấp thấp hơn

Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: a(x), b(x) – tổng VCB khác cấp

Þ lim a/b = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu)

lnlim

x x

x

tg32

=

¹+

+

Þïî

~

,

~

m l

b a

b

a m

l m

b

a

x x

g

f a

x x

g

a x

x f

Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & S º 0

1lim

x

x x

x x

Ø Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất

Ø Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim

So sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x ® x 0 và $ giới hạn f/g

VD: 3x2 4x 1 ~ 3x2

x® ¥+

x

c x

9 KẾT LUẬN

-Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):

v Dạng tích (thương) Þ Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn

( ) ( ) ( ) ( ) ( )h ( )x

x g x

f x

h

x g x

f

x x x

x

1

1 1

0 0

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-BGĐT – TOÁN 1 BÀI 3: HÀM SỐ - HÀM SƠ CẤP –

TÍNH LIÊN TỤC

TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

5- LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM LIÊN TỤC 1 PHÍA

6- PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN

7- HÀM LIÊN TỤC TRÊN ĐOẠN ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH

Biến số x, giá trị y Tương quan hàm

số : 1 giá trị x cho ra 1 giá trị y

Đại lượng A biến thiên phụ thuộc đại lượng B:

· Đời sống: Tiền điện theo số kwh tiêu thụ, giá

vàng trong nước theo thế giới …

· Kỹ thuật: Tọa độ chất điểm theo thời gian …

Tương quan hàm số

=

=

t y y

t x x

VD: x = 1 + t, y = 1 – t ® Đ/ thẳng

: 1 t ® 1 (x, y)

VD: x = acost, y = asint ® Đường tròn

Dạng ẩn F(x, y) = 0 Þ y = f(x) VD: Đtròn x 2 + y 2 – 4 = 0, 1 0

916

2

2

=-+ y

x

Biểu thức:

x f

y = ( ) Û = -1 " Ỵ : biểu thức hàm ngược : -1 : ®

Tìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x) Þ Biểu thức hàm ngược x = f -1 (y)

y = cosx Þ arccosx; y = tgx Þ arctgx; y = cotgx Þ arcotgx

VD: Tính a = arcsin(1/2): Dùng phím sin -1 trên máy tính bỏ túi

é- p p arcsina = b Û sin b = a

Áp dụng: Tính các tích phân bất định / ò 1- 2 / ò1+ x2

dx b

x dx a

Hàm sin hyperbolic:

Hàm cos hyperbolic: x = x = e x + e-x > 0 " x Î R

2

chcosh

Hàm tang hyperbolic:

x x

x x

e e

e

e x

x x

tanh

Hàm cotang hyperbolic:

x x

x x

x

th

1sh

chcoth

Công thức với hàm hyperbolic: Như công thức lượng giác, nhưng thay cosx ® chx, sinx ® ishx (i: số ảo, i 2 = –1)!

BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC

-1cos

cos2

cos

cos x + y = x + y x - y

2

ch2

ch2ch

chx + y = x + y x - y

2

sin2

sin2cos

cos x - y = - x + y x - y

2

sh2

sh2ch

chx - y = x + y x - y

Công thức Hyperbolic Công thức lượng giác

VD: Tính tích phân ò 1 x+ 2

dx

HÀM HYPERBOLIC TRONG KỸ THUẬT

Thiết kế hình dáng vòm, cáp treo, điều khiển robot …

sin

x a

x x

x y

VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số:

a

x

x y

b / = sin

îí

ì

³-

<

=

1,

1

1

,)

(

/

x x

x

x x

f

sơ cấp!

lim f x f x

x f

f(x) liên tục phải tại x 0 khi xác định tại x 0 và ( )

( )

( )0

0 0

lim f x f x

x f

f(x) liên tục trái tại x 0 khi xác định tại x 0 và

Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … Þ Khảo sát

VD: Khảo sát tính liên tục:

ïî

ïí

ì

=

¹+

-1,

1

1

,1

1)

1

x

x e

PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN

-Hàm f xác định & gián đoạn tại x 0 Û Khơng cĩ

Hoặc $ lim f ¹ f(x 0 ), hoặc lim– ¹ lim+, hoặc $ lim f: 3 trường hợp!

( ) ( )0

0

lim f x f x x

x® - ¹ ® +

0 0

limlim

x x x

x® + - ®

-0 0

limlim

Loại 2: f ( )x f ( )x

x x x

$

0 0

limlim hoặc

(Hoặc khơng tồn tại cả 2 ghạn 1 phía) f(x) gián

đoạn tại x 0

VÍ DỤ

Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại

-( )

ïî

ïí

0,

sin

x a

x x

x x

f

0,

sin

x

x x

x x

f

Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại

VÍ DỤ

Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a

-( )

ïî

ïí

0,

1sin

x a

x x

< 0 Þ $ c Î (a, b) : f(c) = 0

Chú ý: Không thể thay đoạn bằng khoảng!

Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b]

10

,

0,

1 2

x x

x b

ax

x

x x

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-BGĐT – TOÁN 1 BÀI 4: ĐẠO HÀM & VI PHÂN

TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)