Trong BD HSG Toán 9 bạn cần có nhiều đề để ôn luyện và rèn kĩ năng cho HS. Bạn muốn tìm tài liệu ôn thi cho HS dưới dạng các đề theo hệ thống. Bạn muốn tìm những đề thi có hệ thống và có hướng dẫn giải hãy đến với tài liệu đề thi sau. Gồm đủ 18 đề. (Đề 17)
Trang 1ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017 – 2018
ĐỀ THI SÔ 17
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm)
6 2
2
1 14.
x x
3
1
x x
và
5
1
x
x
Câu 2 (3 điểm)
Cho biểu thức P =
4
.
x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với giá trị nào của x thì P có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 3 (4 điểm)
thì a4b chia hết cho 5.4
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a M là điểm nằm trong tam giác Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB, BC, AC
a) Chứng minh rằng khi M thay đổi, tổng MN + MP + MQ có giá trị không đổi b) Chứng minh rằng MA, MB, MC là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Điểm M bất kì trên cạnh AC (M không trùng với A và C ) Kẻ tia Ax vuông góc với BM, tia Ax cắt BC tại H Gọi K là điểm đối xứng của C qua H Kẻ tia Ky vuông góc BM , tia Ky cắt AB tại I
Câu 6 (1 điểm)
Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a b � 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 2 2 2 3
2
==== hết ===
Trang 21a)
Ta có :
�
�
M M
2
4a 3ab 11b 5 5a 5ab 10b a 2ab b 5
a 2ab b 5
a b 5
a b 5 ( Vì 5 là số nguyên tố)
- Ta có:a 4 b 4 a 2 b 2a b a b 5 M (đpcm)
Câu 2 (3 điểm)
Cho biểu thức P =
4
.
x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Với giá trị nào của x thì P có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
a)
4
.
4
2
.
1
x
x
22 2
1
x
x
P
x
� ��
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Vậy min P = - 2 khi x = 0
Câu 5 (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Điểm M bất kì trên cạnh AC (M không trùng với A và C ) Kẻ tia Ax vuông góc với BM, tia Ax cắt BC tại H Gọi K là điểm đối xứng của C qua H Kẻ tia Ky vuông góc BM , tia Ky cắt AB tại I
GIẢI: Dựng điểm F đối xứng với I qua A Nối CF
Ta có: KI // AH (cung vuông góc BM)
Suy ra:
/ /
IK CF
Trang 3y x
F
I
K
H B
M
(cùng phụ �BFC)
CAF 90
Suy ra AF = AM, do AF = AI nên AM = AI
Do đó AIM 45� 0
Câu 6 (1 điểm)
Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a b � 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 2 2 2 3
2
Ta có bđt a3 b3 �a b ab2 2 ab a b a b , 0
Mà a b � 1 nên 3 32 2
+ 2 2 2
2 1 2
Câu 1 (4 điểm)
a)Giải phương trình: x2 16 x2 25 9
2 16 2 25 9 2 16 25 2 9
có:
2 16 25 2 2 16 25 2 9
Trang 4Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
2
16 25
x
�
�
2
16 x 25 4 x 5
ۣ�
�
ۣ�
4 v 4 5 4
x
Nghiệm của PT là: 4 � �x 5 ; 5 � �x 4
3 3
2 3
Giải: Đặt
3
3 3
3
1
2 3 1
1
2 3
b
ab
�
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho biết x = by + cz; y = ax + cz; z = ax + by Chứng minh rằng:
1 a 1 b 1 c
Giải:
+ Ta có: x + y = ax + by + 2cz = z + 2cz => x + y – z = 2cz
�c11 x y z2z
� a11 x y z2x
+ z + x = 2by + ax + cz = 2by + y => z + x – y = 2by
�b11 x y z2y
+ Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
2
2
x y z
Ta có: a5 b5 �a b3 2 a b2 3 �a5 a b3 2 b5 a b2 3 � 0
�a a3 2 b2 b a3 2 b2� 0
Dấu bằng xảy ra khi a = b
Ta có a5 b5 �a b3 2 a b2 3 �a5 b5 ab a b� 3 2 a b2 3 ab
1 1
Trang 5Vậy 5 ab5 c
Tương tự
5 5
; 5 5
Cộng vế theo vế => đpcm
Câu 3 (3 điểm)
a)Cho số nguyên n không chia hết cho 2 và 3 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức
2
4n 3n 5 chia hết cho 6
Giải: + Vì n không chia hết cho 2 và 3 nên n = 6k + 1 hoặc n = 6k – 1 (Với k thuộc Z)
4n 3n 5 4 6k 1 3 6k 1 5
4 36 k2 12k 1 18 k 3 5
4.36k2 4.12k 4 18k 8
144k2 66k 12 6 24 k2 11k M 2 6
4n 3n 5 4 6k 1 3 6k 1 5 6 24k 5k M 1 6
+ Vậy ………
b) Chứng minh rằng giá trị biểu thức n6 – n2 chia hết cho 60 với mọi số nguyên n
Ta có: 60 = 3 4 5 + B n 6 n2 n n2 2 1 n2 1 n 1 n n2 1 n2 1
+ Ta có n 1 n n 1 3M �BM 3
+ Nếu n chẳn thì n2 chia hết cho 4 � MB 4
n lẻ thi n – 1 và n + 1 là các số chẵn �n 1 n 1 4M �BM 4
+ n2 chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9
+ Nếu n2 có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì n2 M 5
n2 có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 thì n2 M 1 5
n2 có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9 thì n2 M 1 5
Suy ra � MB 5
+ Vì 3, 4, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên B chia hết cho 60
Câu 4 (5 điểm)
Câu 5 (3 điểm)
Câu 6 (2 điểm)
1 8
2
x y �
Trang 6E
D A
�x xy 2y 2xy 1 y x xy� y 2xy 1 � y 1 2xy� 2xy 1 y
2
2
x
=== hết===
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm tam giác Đường thẳng vuông góc BC tại C cắt tia BH tại D Đường thẳng vuông góc BC tại B cắt tia CH tại E Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE, CD
a) Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng
a) + BE // CD EBH� �HDC BEH;� �DCH (sl trong) => HBE HDC (g.g)
2
Do đó: �EHM CHN� .
mà CHN NHE� � 180 0 �MHE NHE� � 180 0 � M, H, E thẳng hàng
a) Cho a, b là hai số thực bất kì thỏa mãn a a2 2017b b2 2017 2017 Tính
Trang 7giá trị biểu thức P a b 2017 2
Giải
2 2 2017 2 2 2017 2017 2 2017 2 2017
2017 2017 2017a a2 2017b b2 2017
�
�
2 2017 2 2017 2 2017 2 2017 2017
Mặt khác từ giả thiết
2 2017 2 2017 2 2017 2 2017 2017
Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được
2a b 2017 2 b a 2017 0 �a b 2017 b a 2017 0