Mô hình hóa và nhận dạng hệ thống - P3

Xác định ngõ vào, ngõ ra của hệ thống cần nhận dạng ⇒ xác định tín hiệu “kích thích“ để thực hiện thí nghiệm thu thập số liệu và vị trí đặt cảm biến để đo tín hiệu ra. Chọn tín hiệu

Trang 1

Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ

1

Chương 3

NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ

Chương 3: NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ

3.1 Giới thiệu

3.2 Quá trình ngẫu nhiên

3.2 Phân tích đáp ứng quá độ và phân tích tương quan

• Nhận dạng hệ thống là xây dựng mô hình toán học của hệ thống dựa trên dữ

liệu vào ra quan sát được

Hình 3.1: Hệ thống

• Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tại sau khi lấy mẫu là chuỗi là u(k) và

y(k) Tùy theo phương pháp nhận dạng mà ta chọn tín hiệu vào thích hợp

Ký hiệu tập hợp N mẫu dữ liệu quan sát được là:

{y(1),u(1), ,y(N),u(N)}

• Do dữ liệu thu thập được thông qua quá trình lấy mẫu là dữ liệu rời rạc nên

một cách tự nhiên ta tìm mô hình toán học rời rạc mô tả hệ thống

Hệ thống

v(t)

Trang 2

2

• Về mặt toán học, nhận dạng hệ thống là tìm ánh xạ:

)()(

• Hệ thống tuyến tính bất biến có thể mô tả bởi hàm truyền

Hàm truyền của hệ rời rạc là tỉ số giữa biến đổi Z của tín hiệu ra và biến

đổi Z của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0

)(

)()(

z U

z Y z

• Nếu tín hiệu vào là hàm dirac (U(z)=1) thì tín hiệu ra là:

)()(z G z

{ ( )})

()

g(k) gọi là đáp ứng xung của hệ thống

Đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dirac

• Hệ thống có thể mô tả bởi đáp ứng xung, vì nếu biết tín hiệu vào u(t) bất kỳ ta

có thể xác định được tín hiệu ra dựa vào đáp ứng xung, thật vậy:

(

l

l k u l g k

• Ký hiệu q là toán tử làm sớm 1 chu kỳ lấy mẫu:

)1()(.u k = k u +

Trang 3

3

và q–1 là toán tử làm trể 1 chu kỳ lấy mẫu:

)1()(

−

k u k u

(

l

l k u q l g k

j

z G e

Đặc tính tần số cho biết tỉ lệ về biên độ và độ lệch pha giữa tín hiệu ra ở trạng

thái xác lập và tín hiệu vào hình sin

Nếu tín hiệu vào là:

k U

k

thì ở trạng thái xác lập tín hiệu ra là:

)sin(

)(k =Y ωk+ϕ

ta có các quan hệ:

)( jω

m

m G e U

)( ω

e G

∠

Hệ thống có nhiễu

Hình 3.2: Hệ thống có nhiễu

• Mọi hệ thống thực đều bị ảnh hưởng bởi nhiễu (nhiễu đo lường, nhiễu do các

tín hiệu vào không kiểm soát được,…) Giả thiết nhiễu tác động vào hệ thống là

nhiễu cộng Tín hiệu ra của hệ thống có nhiễu là:

)()()()

(

0

k v l k u l g k

Trang 4

4 Giả sử nhiễu có thể mô tả bởi:

(

l

l k e l h k

trong đó { }e (k) là nhiễu trắng (nhiễu trắng là chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập xác

định bởi một hàm mật độ xác suất nào đó)

Nhận dạng mô hình không tham số

• Phương pháp nhận dạng mô hình không tham số là phương pháp xác định

trực tiếp đáp ứng xung g(k) hoặc đặc tính tần số G(e jω) của hệ thống (mà

không cần sử dụng giả thiết về cấu trúc mô hình của hệ thống)

• Các phương pháp nhận dạng mô hình không tham số có thể chia làm 2 nhóm:

Phương pháp trong miền thời gian (ước lượng g ˆ k( )):

* Phương pháp phân tích quá độ (phân tích đáp ứng xung, phân tích

đáp ứng nấc) (xem mục 3.3.1)

* Phương pháp phân tích tương quan (xem mục 3.3.2)

Phương pháp trong miền tần số (ước lượng Gˆ(e jω)):

* Phương pháp phân tích đáp ứng tần số (xem mục 3.4)

* Phương pháp phân tích Fourier (xem mục 3.5)

* Phương pháp phân tích phổ (xem mục 3.6)

3.2 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN

3.2.1 Bieán ngaãu nhieân

3.2.1.1 Định nghĩa

• Biến ngẫu nhiên là biến mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước

được

• Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu:

i) Tập hợp các giá trị của X có thể lấp đầy một hay một số khoảng của trục số,

thậm chí lấp đầy trục số

ii) Xác suất để X nhận một giá trị cụ thể nào đó luôn luôn bằng 0, nghĩa là với

mọi số a ta có P{X =a}=0

• Hàm mật độ xác suất: Hàm số f X (x)xác định trên toàn bộ trục số được gọi là

hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:

Trang 5

5

iii) Với mọi a < b: { < < }=∫b

a

X x dx f

b X a

2

1)

• Phương sai (Variance)

Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu Var(X) là:

])[(

)(

trong đó )μ = E ( X

• Tính chất của phương sai:

i) Nếu X là biến ngẫu nhiên có μ =E ( X) và E(X2)<∞ thì:

ii) Nếu X là biến ngẫu nhiên, a và b là các hằng số thì:

iii) Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì:

Var(X +Y)=Var(X)+Var(Y) (3.34)

Trang 6

6

• Hiệp phương sai (Covariance)

Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên, hiệp phương sai của X và Y là:

Y X Y

X Y

X, )=E[( −μ )( −μ )]=E( )−μ μ

(

trong đó μX =E X( )và μY =E Y( )

• Hệ số tương quan (Correlation coefficient)

Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y là:

Y X

σ σ

trong đó: σX = Var X( ), σY = Var Y( )

Hai biến ngẫu nhiên X và Y không tương quan nếu 0Cov(X,Y)=

3.2.2 Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên:

Một hàm x(t)= X(t,ω) phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên ω gọi là quá trình

ngẫu nhiên Với giá trị t xác định giá trị hàm chỉ phụ thuộc vào ω, do đó nó là

biến ngẫu nhiên Với giá trị xác định của ω, )X(t,ω chỉ phụ thuộc vào t, do đó

nó là hàm biến thực thông thường

Đối với hệ rời rạc, quá trình ngẫu nhiên là chuỗi {x (k)}

Hàm hiệp phương sai:

• Cho {x (k)} là quá trình ngẫu nhiên, hàm tự hiệp phương sai (Auto

Covariance Function) của {x (k)} là:

)]

(),([Cov)

,(Cov)

• Cho { }x (k) và {y (k)} là hai quá trình ngẫu nhiên, hàm hiệp phương sai

chéo (Cross Covariance Function) giữa {x (k)} và {y (k)} là:

)]

(),([Cov)

,(Cov)

Trang 7

7

Quá trình ngẫu nhiên dừng

•{x (k)} được gọi là quá trình ngẫu nhiên dừng (stationary) nếu E[x(k)]

không phụ thuộc vào k và R x(k1,k2)chỉ phụ thuộc vào τ =k1−k2, khi đó hàm tự

hiệp phương sai được ký hiệu là:

)]

(),([Cov)

•{x (k)} và {y (k)} được gọi là hai quá trình ngẫu nhiên hỗ tương quan dừng

(stationary correlation) nếu E[x(k)], E[y(k)] không phụ thuộc vào k và

Chú ý: R x(τ)=R x(−τ)

)()

(τ = xy −τ

R

Quá trình ngẫu nhiên gần dừng

•{x (k)} được gọi là quá trình ngẫu nhiên gần dừng (quasi-stationary) nếu:

x k x

1

)]

()([E

1lim)]

()([

•{x (k)} và {y (k)} được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên kết gần dừng

(jointly quasi-stationary) nếu { }x (k) và {y (k)} là hai quá trình ngẫu nhiên gần

dừng, đồng thời :

E[x(k)y(k−τ)]=R xy(τ), ∀ (3.47) τ

Phổ công suất

• Cho{x (k)} là tín hiệu ngẫu nhiên gần dừng, phổ công suất của { }x (t) là

biến đổi Fourier của hàm tự hiệp phương sai:

x x

• Cho{ }x (k) và {y (k)} là hai tín hiệu ngẫu nhiên liên kết gần dừng, phổ

công suất chéo của {x (k)} và {y (k)} là biến đổi Fourier của hàm hiệp phương sai

xy xy

Trang 8

8

3.3 PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ VÀ PHÂN TÍCH TƯƠNG QUAN

3.3.1 Phân tích đáp ứng quá độ

3.3.1.1 Phân tích đáp ứng xung

Hình 3.3: Thí nghiệm thu thập dữ liệu phân tích đáp ứng xung

Giả sử hệ thống mô tả bởi:

)()()()(k G0 q u k v k

)()

thì tín hiệu ra là:

)()()()

(

0

g k

)()()(0

k v k y k

Nếu mức nhiễu đủ nhỏ thì giá trị ước lượng đáp ứng xung là:

α

)()

Ngoài ra tín hiệu vào có biên độ lớn có thể làm gây ra các ảnh hưởng phi

tuyến làm méo dạng mô hình tuyến tính của hệ thống

Hệ thống

v(t)

Trang 9

9

Thí dụ 3.1: Cho động cơ DC có mô hình toán học cho bởi 2 phương trình vi phân sau đây:

)(

1)()

()

(

t u L t y L

K t i L

R dt

()

(

t y J

B t i J

K dt

Nhận dạng đáp ứng xung của động cơ Giả sử chu kỳ lấy mẫu là T=0.01s,

tín hiệu đo tốc độ bị ảnh hưởng bởi nhiễu cộng có giá trị trung bình là μ và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính dựa vào mô hình toán học

Hình 3.4: Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu của động cơ DC với tín hiệu vào là hàm dirac

Trang 10

10Kết quả nhận dạng:

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

ghat g0

(a) Không nhiễu (b) Có nhiễu (μ =0,λ =10−2)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0.09

ghat g0

(c) Có nhiễu (μ =0,λ =10−2) (d) Có nhiễu (μ =0.5,λ =10−2)

α =100 α =100

Hình 3.5: Kết quả nhận dạng đáp ứng xung động cơ

DC dùng phương pháp phân tích đáp ứng xung

Thí dụ 3.2: Cho hệ tay máy một bậc tự do như hình vẽ, tín hiệu vào là moment

điều khiển u(t), tín hiệu ra là góc quay θ(t) của cánh tay máy so với phương nằm

ngang Đặc tính động học của hệ tay máy mô tả bởi phương trình vi phân:

)()(sin)(

)()

()(Ml C2 +ml2 θ&& t +Bθ& t + ml+Ml C g θ t =u t (3.58)

Trang 11

11

Khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay l C m 0.5

Nhận dạng đáp ứng xung của hệ thống quanh điểm làm việc θ =π /4 Giả

sử chu kỳ lấy mẫu là T=0.1s, tín hiệu đo góc bị ảnh hưởng bởi nhiễu cộng có giá

trị trung bình là μ và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính

dựa vào mô hình toán học cho ở trên

Sơ đồ thu thập dữ liệu:

Hình 3.7: Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu của hệ tay máy

quanh điểm làm việc tĩnh với tín hiệu vào là hàm dirac

Tính toán dữ liệu vào mô hình tuyến tính:

u u

u~ = −

y y

y = −

~Kết quả nhận dạng:

Trang 12

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

0.02

ghat g0

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

0.02

ghat g0

Hình 3.9: Thí nghiệm thu thập dữ liệu phân tích đáp ứng nấc

Nếu tín hiệu vào là tín hiệu nấc:

)(1.)

thì tín hiệu ra là:

)()(1.)()

(

0

g k

Trang 13

13

)()(1.)()

(1.)(

1

0 0

g

k l

+

−+

1

g k

y

k l

y

k l

⇒ y(k)−y(k−1)=αg0(k)+v(k)−v(k−1)

Đáp ứng xung của hệ thống:

αα

)1()()1()()(0

k

Nhận xét:

☺ Phương pháp đơn giản

Sai số nhận dạng là [v(k)− k v( −1)]/α, loại được mức DC của nhiễu

Sai số nhận dạng lớn trong đa số các ứng dụng

Đáp ứng nấc (3.62) cho biết các thông tin cơ bản về hệ thống cần thiết

cho việc thiết kế bộ điều khiển như thời gian trễ, độ lợi tĩnh, thời hằng quyết

định,… khá chính xác

Thí dụ 3.3: Nhận dạng đáp ứng xung của động cơ mô tả ở thí dụ 3.1 dùng

phương pháp phân tích đáp ứng nấc

Sơ đồ thu thập số liệu:

Hình 3.10: Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu của

động cơ DC với tín hiệu vào là hàm nấc

Trang 14

-0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

ghat g0

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.08

ghat g0

Trang 15

15

quanh điểm làm việc tĩnh với tín hiệu vào là hàm nấc

u u

u~ = −

y y

y = −

~Kết quả nhận dạng:

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01

0.015

ghat g0

(a) Không nhiễu, 2α =0 (b) Không nhiễu, 1α =

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

0.02

ghat g0

(c) Có nhiễu (μ =0,λ =10−5) (d) Có nhiễu (μ =0,λ =10−5)

α =1 α =5

Hình 3.13: Kết quả nhận dạng đáp ứng xung bằng

phương pháp phân tích đáp ứng nấc

3.3.2 Phân tích tương quan

Hình 3.14: Thí nghiệm thu thập dữ liệu phân tích tương quan

Hệ thống

v(t)

Trang 16

16

Xét hệ thống mô tả bởi:

)()()()

(

0

g k

(

[

Eu k =m u k m u(k) ≤C, ∀k

),,()]

()

(

[

Eu k1 u k2 =R u k1 k2 R u(k1,k2) ≤C

)()]

()

()([

()([E

l

u

R k

u k

• Nếu tín hiệu vào được chọn là nhiễu trắng sao cho:

0

)(τ =αδτ

0

yu R

(

Nhận xét:

☺ Sai số nhận dạng là chính bằng sai số ước lượng )ˆN (τ

yu

R , sai số này càng giảm khi số mẫu dữ liệu sử dụng để nhận dạng càng tăng

☺ Biên độ tín hiệu ảnh hưởng không đáng kể đến chất lượng nhận dạng

☺ Phương pháp phân tích tương quan đặc biệt thích hợp để nhận dạng đáp

ứng xung trong trường hợp hệ thống có nhiễu đo lường ngẫu nhiên và biên độ

tín hiệu vào giới hạn

☺ Nhận dạng tốt đáp ứng xung của hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh

Trang 17

17

Thí dụ 3.5: Nhận dạng đáp ứng xung của động cơ mô tả ở thí dụ 3.1 dùng phương pháp phân tích tương quan

động cơ DC với tín hiệu vào ngẫu nhiên

-10 -5 0 5 10

-2 -1 0 1 2 3

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.08

ghat g0

(a) Có nhiễu (μ =0,λ =10−2) (b) Có nhiễu (μ =0,λ =10−2)

α =1, 1000N = α =1, 10000N =

Trang 18

-0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.08

ghat g0

Sơ đồ thu thập dữ liệu:

quanh điểm làm việc tĩnh với tín hiệu vào ngẫu nhiên

u u

u~ = −

y y

y = −

~

Trang 19

(a) Dữ liệu đo lường (b) Dữ liệu vào mô hình tuyến tính

Hình 3.19: Dữ liệu vào ra của hệ tay máy với tín hiệu vào ngẫu nhiên

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01

0.015

ghat g0

(a) Có nhiễu (μ =0,λ =10−5) (b) Có nhiễu (μ =0,λ =10−5)

(c) Có nhiễu (μ =0,λ =10−5)

α =1, 100000N =

Hình 3.20: Kết quả nhận dạng đáp ứng xung hệ tay máy dùng

phương pháp phân tích tương quan

Trang 20

Chương 3: NHẬN DẠNG MƠ HÌNH KHƠNG THAM SỐ

20

3.4 PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG TẦN SỐ

3.4.1 Kiểm tra sóng sin

Hình 3.21: Thí nghiệm thu thập dữ liệu phân tích đáp ứng tần số

Đối với hệ tuyến tính bất biến, nếu tín hiệu vào là tín hiệu hình sin thì tín hiệu ra là tín hiệu hình sin cùng tần số với tín hiệu vào, khác biên độ và pha Nếu tín hiệu vào là:

kT k

u( )=αsinω , k = 0, 1, 2, (3.70) thì tín hiệu ra là:

)()()cos(

)

trong đó y qđ (k) là thành phần quá độ y qđ(k)→0 khi k →∞

Ở trạng thái xác lập, nếu bỏ qua nhiễu thì ta có:

)cos(

Phải thực hiện nhiều thí nghiệm → mất nhiều thời gian

Nhiều hệ thống vật lý không cho phép tín hiệu vào là tín hiệu hình sin

→ không áp dụng được phương pháp phân tích đáp ứng tần số này

Chỉ ước lượng được GˆN(e jω) trong miền tần số quan tâm

Đặc tính tần số ước lượng bị ảnh hưởng bởi nhiễu

Trang 21

21

Thí dụ 3.7: Nhận dạng đặc tính tần số của động cơ mô tả ở thí dụ 3.1 dùng phương pháp kiểm tra sóng sin

động cơ DC với tín hiệu vào hình sin

Cho tín hiệu vào là: u(k)=10sinωkTvới các tần số ω khác nhau, ta đo đươc tín hiệu ra ở trạng thái xác lập như các đồ thị dưới đây:

-4 -2 0 2 4 6

-2 -1 0 1 2 3

Tiêu đề	Nhận dạng mô hình không tham số
Người hướng dẫn	Huỳnh Thái Hoàng
Trường học	Bộ môn Điều khiển Tự động
Thể loại	Tài liệu

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	596,73 KB