Mô Hình Hóa Nhận Dạng và Mô Phỏng - Chương 2

Tài liệu tham khảo bài giảng mô hình hóa, Nhận dạng và mô phỏng bộ môn điều khiển tự động Khoa điện - điện tử -

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.3 Phân tích vật lý

2.4 Phân tích toán học

• Ba bước mô hình hóa:

ƒ Phân tích chức năng

ƒ Phân tích vật lý

ƒ Phân tích toán học

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

• Khi phân tích chức năng cần để ý liên kết vật lý (connectivity) và quan hệ nhân quả (causality) giữa các thành phần bên trong hệ thống

• Ba bước phân tích chức năng:

ƒ Cô lập hệ thống

ƒ Phân tích hệ thống con

ƒ Xác định các quan hệ nhân quả

2.2.2 Cô lập hệ thống - Liên kết ngoài

• Xác định giới hạn của hệ thống cần mô hình hóa, cắt kết nối giữa hệ thống khảo sát với môi trường ngoài, mỗi kết nối bị cắt được thay thế bằng một cổng để mô tả sự tương tác giữa hệ thống và môi trường

Hình 2.1: Hệ thống có một cổng liên kết với môi trường

U Y biên của hệ thống

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

• Cổng (port) : là một cặp đầu cuối mà qua đó năng lượng hoặc công suất vào hoặc ra khỏi hệ thống Một hệ thống có thể có nhiều cổng (multiport system)

• Bốn loại cổng thường gặp: cơ khí (Structural), điện (Electrical), nhiệt (thermal), lưu chất (fluid)

 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Hình 2.2: Sơ đồliên kết ngoài của cánh tay robot

Thí dụ 2.2: Cô lập hệ thống làm mát

(a)

(b)

Hình 2.3: Hệ thống làm mát (a) Sơ đồ hệ thống

(b) Sơ đồ trao đổi nhiệt

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

(a)

(b)

Hình 2.4: Hệ thống làm mát (a) Sơ đồ đa cổng của hệ thống

(b) Sơ đồ đa cổng của bộ trao đổi nhiệt

Hình 2.5: Sơ đồ đa cổng lưu chất lỏng trong hệ thống làm mát

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.2.3 Phân tích hệ thống con - Liên kết trong

• Phân tích hệ thống sau khi cô lập thành các hệ thống con (subsystem), sau đó tiếp tục phân tích các hệ thống con chi tiết đến các bộ phận (component), thay thế liên kết giữa các bộ phận bằng các cổng

Thí dụ 2.3: Phân tích liên kết trong hệ cánh tay robot

Hình 2.6: Sơ đồ khối cánh tay máy chi tiết đến các hệ thống con

Hình 2.7: Sơ đồ khối cánh tay máy chi tiết đến các bộ phận

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.2.4 Quan hệ nhân quả - Các biến của hệ thống

• Vì cổng là đầu cuối mà qua đó công suất (năng lượng) truyền vào ra hệ thống nên quan hệ nhân quả của cổng được xác định bởi các biến định nghĩa công suất tại cổng

Thí dụ 2.4: Cánh tay máy

Hình 2.8: Sơ đồ khối hoàn chỉnh của cánh tay máy

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.3 PHÂN TÍCH VẬT LÝ

2.3.1 Phương pháp phân tích vật lý

2.3.1.1 Các qui luật vật lý

a Quan hệ cơ bản giữa lượng, thế và dịng

• Cảm (inductance) hay quán tính (inertia)

¾ Các phần tử cơ bản này được định nghĩa dựa trên 3 biến:

• Lượng (quantity)

• Thế (potential)

• Thời gian (time)

Bảng 2.1: Các biến được sử dùng để định nghĩa các yếu tố cơ bản

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

¾ Các biến khác được định nghĩa dựa trên 3 biến cơ bản trên

• Cường độ dịng là biến thiên lượng trong một đơn vị thời gian

(hay cường độ dịng là tốc độ biến thiên lượng)

(lượng)

dòng độ

cường thế

suất

¾ Định nghĩa các phần tử cơ bản (Quan hệ giữa lượng, thế và dịng)

• Trở là sự chống lại sự chuyển động hay dịng vật chất, năng

lượng Trở được đo bằng thế cần thiết để chuyển một đơn vị lượng

trong một đơn vị thời gian (giây)

dòng độ

cường

thế

• Dung biểu diễn mối quan hệ giữa lượng và thế Dung được đo

bằng lượng cần thiết là cho thế biến thiên một đơn vị

• Cảm hay quán tính là sự chống lại sự thay đổi trạng thái

chuyển động Cảm được đo bằng thế cần thiết để làm tốc độ biến

thiến của lượng thay đổi một đơn vị

(cường độ dòng)

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

* Các phương trình cân bằng

• Các định luật bảo tồn khối lượng, năng lượng, và xung lượng

là các định luật cơ bản được sử dụng khi mơ hình hĩa Phương trình

cân bằng cơ bản cĩ dạng tổng quát như sau:

ra dòng vào

dòng lũy

tích

Nếu hệ thống khơng cĩ các phần tử tích trữ khối lượng, năng lượng và

xung lượng thì phương trình (2.6) trở thành:

ra dòng vào

dòng −

=

Nếu hệ thống cĩ phần tử tích trữ khối lượng, năng lượng hay xung

lượng thì sự tích trữ này làm thay đổi trạng thái của hệ thống

(biến trạng thái)= dòng vào− dòng ra

dt

d

(2.8)

• Các hiện tượng tự nhiên xảy ra theo hướng làm tối thiểu năng

lượng, và nhiều bài tốn mơ hình hĩa mơ tả điều kiện cân bằng liên

quan đến sự tối thiểu năng lượng

2.3.1.2 Lý tưởng hĩa các phần tử vật lý

Các nguyên tắc lý tưởng hĩa:

• Nguyên tắc thuần hĩa: nhận ra ảnh hưởng vật lý cơ bản chi

phối hoạt động của đối tượng và dùng các phần tử thuần để biểu diễn

Hình 2.9: Mô hình tụ điện gồm các phần tử thuần nhất

điện

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

• Nguyên tắc tập trung hĩa: các ảnh hưởng vật lý thực luơn phân

bố trong một miền hay khơng gian nhất định (dù nhỏ) Các ảnh hưởng phân bố này cĩ thể lý tưởng hĩa bằng cách mơ hình hĩa tập trung

Hình 2.10: Mô hình ván nhảy

• Nguyên tắc tuyến tính hĩa: tất cả các hệ thống thực đều là hệ phi tuyến ⇒ lý tưởng hĩa bằng cách tuyến tính hĩa

Hình 2.11: Đặc tínhphi tuyến của điện trở

 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

2.3.1.3 Sự tương đồng của các quan hệ vật lý

• Do các hiện tượng vật lý có sự tương đồng nên có thể mô hình hóa hệ cơ bằng hệ điện, hệ nhiệt bằng hệ điện,…

Hình 2.12: Sự tương đồng giữa các phần tử

cơ bản của các loại hệ thống vật lý

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.3.2 Phân tích vật lý hệ thống điện

(2.5) ⇒

dt

di L

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.3.3 Phân tích vật lý hệ thống cơ

 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

• Quán tính cơ: m: khối lượng [kg]

dt

dv m

2.3.3.2 Phương trình cân bằng cơ

L dt

d

&

Trong đó:

U T

L = −

U: thế năng T: động năng q: tọa độ tổng quát

τ: ngoại lực (hay moment)

x

f

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.3.3.3 Sự tương đồng giữa hệ thống cơ và hệ thống điện

Hình 2.13: Sự tương đồng giữa các phần tử

Hình 2.14: Sự tương đồng giữa các nguồn

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2.3.4 Phân tích vật lý hệ thống nhiệt

2.3.4.1 Các phần tử nhiệt

¾ Các biến trong hệ thống nhiệt :

l R

C

trong đĩ: k C: là hệ số dẫn nhiệt của mơi trường truyền nhiệt

l: là chiều dài của mơi trường truyền nhiệt

S: là tiết diện ngang của mơi trường truyền nhiệt

trong đĩ: c: là nhiệt dung riêng của mơi trường truyền nhiệt

M: là khối lượng của mơi trường truyền nhiệt

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Hình 2.15: Nhiệt trở (a) Nhiệt trở truyền nhiệt (b) Nhiệt trở đối lưu (c) Nhiệt trở bức xạ

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Hình 2.16: Nhiệt dung

2.3.4.2 Các phương trình cân bằng nhiệt

2.3.5 Phân tích vật lý hệ lưu chất lỏng

2.3.5.1 Các phần tử lưu chất

¾ Các biến trong hệ lưu chất :

hướng), và đường ống dẫn lưu chất dài (l>20d)

Lưu trở của van: phi tuyến

 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

p = L

2.3.5.2 Các phương trình cân bằng trong hệ lưu chất

 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

()

m U

T

L = − = & −

Áp dụng công thức Euler–Lagrange:

F x

L x

()

()

 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động

1

kx x

m U

T

Áp dụng công thức Euler–Lagrange:

x b f x

L x

1)

Cs R

C

Rs s

C t q R t q

Do đó quan hệ giữa các đại lượng của hệ cơ là:

)()

()

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Thí dụ 2.7: Mô hình hóa hệ con lắc ngược

Chú thích:

M : trọng lượng xe [Kg] m : trọng lượng con lắc [Kg]

l : chiều dài con lắc [m] u : lực tác động vào xe [N]

g : gia tốc trọng trường [m/s2] x : vị trí xe [m]

θ : góc giữa con lắc và phương thẳng đứng [rad]

Cách 1: Dùng định luật Newton

Gọi (x P , y P ) là tọa độ của vật nặng m ở đầu con lắc, ta có:

θ

sin

l x

x d m dt

x d

x d

Khai triển các đạo hàm ở biểu thức (4) và rút gọn ta được:

F ml

ml x m

lsinθ

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Mặt khác, áp dụng định luật II Newton cho chuyển động quay

của con lắc quanh trục ta được:

θθ

2 2

2

mgl l

dt

y d m l

dt

x d

Thay (1) và (2) vào (6) suy ra:

θθ

θθ

sin

2 2

2

mgl l

l dt

d m l

l x dt

Khai triển các đạo hàm ở biểu thức (7) và rút gọn ta được:

m x&&cosθ +mlθ&&= mgsinθ (8)

Từ (5) và (8), ta có thể dễ dàng tính được:

2

2

)(cos

sincos)

(sin

θ

θθθ

θ

m m M

mg ml

F x

−+

−+

l m M ml

ml g

m M F

)(

)(cos

)sin(cos)

(sin)

−

=

θ

θθθθ

θ

Cách 2: Dùng công thức Euler–Lagrange:

Gọi (x P , y P ) là tọa độ của vật nặng m ở đầu con lắc, ta có:

θ

sin

l x

2

12

12

1m x& m y& m x& lθ& θ m lθ& θ

2

1cos

2

T T

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

2

1cos

2

mgl ml

x ml x

m M U

T

Phương trình Euler – Lagrange:

F x

L x

L L

sincos)

(sin

θ

θθθ

θ

m m M

mg ml

F x

−+

−+

&&

l m M ml

ml g

m M F

)(

)(cos

)sin(cos)

(sin)

−

=

θ

θθθθ

θ

Thí dụ 2.8: Mô hình hệ tay máy hai bậc tự do

l1, l2 : chiều dài của 2

m1, m2 : khối lượng

ϕ1, ϕ2 : góc quay của các khớp cánh tay

τ1, τ2 : moment làm quay các khớp nối

Tọa độ của cánh tay máy trong hệ tọa độ De-cac là:

1 1

1 l sinϕ

x = −

1 1

1 l cosϕ

y =

2 2

1 1

2 l sinϕ l sinϕ

2 2

1 1

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

1

1 1

1 1

1

cos

ϕϕ

x v

2 1 1

1

2 2

2 1 1

1 2

ϕϕ

ϕϕ

l l

y

x v

Động năng:

)(

2

1)(

2

2

2 2 2

2 1

2 1

2 1

2 1 2

2 1

2 1

12

12

T

m2l1l2ϕ&1ϕ&2(cosϕ1cosϕ2 +sinϕ1sinϕ2) Thế năng:

)coscos

2 2 2

2 1

2 1 2

2 1

2 1 1

2

12

12

1m l ϕ& m l ϕ& m l ϕ&

U T

+m2l1l2ϕ&1ϕ&2(cosϕ1cosϕ2 +sinϕ1sinϕ2)

)coscos

τϕ

τϕ

2 1

2 1 2 1

2 1 2

1 1 1

2 1

2 2 2 1

2 1

2 1

2 1 2 2

2

2 1 2 1

2 1

2

1

2 (sinϕ cosϕ −cosϕ sinϕ )ϕ − sinϕ =τ

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Thí dụ 2.9: Mô hình toán bồn chứa chất lỏng (Single Tank)

A: tiết diện ngang bồn chứa

a: tiết diện van xả

k: hệ số tỉ lệ với công suất máy bơm

Phương trình cân bằng: (Ah(t)) q (t) q (t)

Dòng ra: q out2 (t)= (2/ρ)a2C D2 p(t)

trong đó: p(t) = ρgh(t): áp suất

6.0

(2

1)(

)(2)

(

1)(

2 2

2 1

1 1 2 2

1 1

1 1

1 1 1

t gh C

a t gh C

a A t

h

t gh C

a t u k A t

h

D D

D

&

&

h(t) u(t)

q in

q out

h1(t) u(t)

q in1

q out2

h2(t)

q out1 =q in2

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Thí dụ 2.11: Hệ bồn liên kết (Coupled Tank)

( ) ( sgn )

( 2 )

( ) ( sgn )

( 2 )

12 1

2 12

2 2

2 2

2 2

2

2 1

12 2

1 12

1 1

1 1

1 1

1

t h t h g a

t h t h C

t gh C

a t u k A

t

h

t h t h g a

t h t h C

t gh C

a t u k A

t

h

D D

D D

&

&

Thí dụ 2.12: Sự tương đồng giữa hệ lưu chất và hệ thống điện:

Để 2 mô hình trên tương đương ta cần giả thiết bồn chứa rất lớn, khi hệ thống vận hành độ cao mực chất lỏng trong bồn chứa thay đổi không đáng kể

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Thí dụ 2.13: Mô hình lò sấy

C T θ =trong đó:

()(

t t

dt

t d C

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Dòng nhiệt:

1

1 1

)()()

t

2

2 1

2

)()

()

(

T

R

t t

t

Phương trình cân bằng:

)()

()

(

2 1

1

dt

t d

)()

2 2

2

2 1

1

1 1

1

)()

()

(

)()

()

()()

(

T T

T T

S T

R

t

t dt

t d C

R

t t

R

t t

dt

t d C

θθ

θ

θθ

θθ

θ

2.4 PHÂN TÍCH TOÁN HỌC

(tham khảo chương 5 và chương 8, (Smith, 1994))

Phân tích toán học:

• Kết hợp tất cả các hệ phương trình mô tả đặc tính động của các bộ phận chức năng để được hệ phương trình mô tả hệ thống

• Tuyến tính hóa quan hệ phi tuyến để được mô tả toán học tuyến tính

Xét hệ phi tuyến bậc n có p ngõ vào, q ngõ ra mô tả bởi phương

))(),(()(

t t t

t t t

u x h y

u x f

trong đó x(t)∈ℜn là vector trạng thái, u(t)∈ℜp là vector tín hiệu vào, y(t)∈ℜq là vector tín hiệu r; f (.)∈ℜn, h(.)∈ℜq là vector hàm mô tả đặc tính động của hệ phi tuyến

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

Khai triển Taylor xung quanh điểm làm việc tĩnh ( u x, )

ta có thể mô tả hệ thống bằng phương trình trạng thái tuyến tính:

~)

(

~)

(

~)

(

~)

(

~

t t

t

t t

t

u D x

C y

u B x

A x&

trong đó:

,)()(

~

u h y y

t y t y

u t u t u

t t

x

x x

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

) (

u , x

, x x

f A

n n

f x

f

x

f x

f x

f

x

f x

f x

f

K

MOM

M

LL

) ( 2

1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

) (

u , x

u , x u

f B

n

p p

u

f u

f u

f

u

f u

f u

f

u

f u

f u

f

K

MOM

M

LL

) ( 2

1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

) (

u , x

u , x x

h C

q

n n

x

h x

h x

h

x

h x

h x

h

x

h x

h x

h

K

MOM

M

LL

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

) ( 2

1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

) (

u , x

u , x u

h D

q

p p

u

h u

h u

h

u

h u

h u

h

u

h u

h u

h

K

MOM

M

LL

• Đại số sơ đồ khối – Phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu và công

thức Mason để tìm hàm truyền tương đương của hệ tuyến tính

• Đánh giá sự phù hợp của mô hình

• Dùng mô hình để dự báo đáp ứng của hệ thống đối với tín

hiệu vào cho trước

Thí dụ 2.14: Mô hình toán hệ con lắc ngược truyền động dùng động

cơ DC, xét ảnh hưởng của ma sát:

* Đặc tính động của hệ xe–con lắc có xét đến ảnh hưởng của ma

ml x m

P

f mg

ml x

trong đó: f C lực ma sát tác động lên xe

P

f lực ma sát tác động lên con lắc

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

* Đặc tính ma sát:

Giả thiết có cả ma sát tĩnh và ma sát nhớt tác động làm cản trở

chuyển động của xe và con lắc Các lực ma sát này có thể mô tả

bằng các phương trình sau:

x B e

A x

T : moment động cơ T l: moment tải

ω : tốc độ quay động cơ r: bán kính pu-li

K : hệ số giảm tốc E b: sức phản điện

F: lực tác động vào xe

Đặc tính động cơ có thể biểu diễn theo I a , x và F như sau:

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

a b

g a

a a

r

K K I

R I

F I

r

K K x r

B K x r

J

K

a g i m

g m

Do đó mô hình toán học của hệ xe con lắc với tín hiệu vào là điện

áp cấp cho động cơ như sau:

+

−

=

− +

−

=

− +

+

− +

+

a b

g a a

a

a

P

C a

i g m

g m

g

V x r

K K I

R

I

L

f mg

ml x

m

f I

r

K K x r

B K ml

ml x r

J K m

θ

θθθ

θ

sin cos

) (cos )

(sin )

Thí dụ 2.15: Mô hình tuyến tính của hệ con lắc ngược xung quanh vị

trí thẳng đứng

Hệ phương trình mô tả đặc tính động phi tuyến của hệ con lắc

ngược (xem thí dụ 7):

2

2

)(cos

sincos)

(sin

θ

θθθ

θ

m m M

mg ml

u x

−+

−+

l m M ml

ml g

m M u

)(

)(cos

)sin(cos)

(sin)

−

=

θ

θθθθ

θ

Đặt x(t)=[θ,θ&,x,x&]T: vector trạng thái, ta được:

44444444

44444444

sincos

)(sin

)(

)(

)(cos

)sin(cos

)(sin)

(cos

)(

1 1

2 2 1 4

2 1

2 2 1 1

1 1

−+

+

−

++

m M

x x

mg x

x ml

u

t x

l m M x

ml

x x x

ml x

g m M x

u

t x

 Huỳnh Thái Hồng – Bộ mơn Điều khiển Tự động

32

1(.)

)(

)()

(

)()

(

3 1

t x t

x

t t

Điểm cân bằng ở vị trí thẳng đứng: (x,u) =(0,0)

Tuyến tính hóa xung quanh điểm cân bằng:

~)

(

~)

(

~)

(

~)

(

~

t t

t

t t

t

u D x

C y

u B x

1000

000)

) 0 ( 4

4 3

4 2

4 1

4

4

3 3

3 2

3 1

3

4

2 3

2 2

2 1

2

4

1 3

1 2

1 1

1

) (

g M m

g Ml

m M

x

f x

f x

f x

f

x

f x

f x

f x

f

x

f x

f x

f x

f

x

f x

f x

f x

u u

10

10

) 0 ( 4 3 2 1

) (

0001

) ( 4

2 3

2 2

2 1

2

4

1 3

1 2

1 1

1

) (

u , x

h x

h x

h

x

h x

h x

h x

) ( 2

1

) (

u , x

u u

 Huỳnh Thái Hoàng – Bộ môn Điều khiển Tự động