Mô hình hóa và nhận dạng hệ thống - Chương 3

Xác định ngõ vào, ngõ ra của hệ thống cần nhận dạng ⇒ xác định tín hiệu “kích thích“ để thực hiện thí nghiệm thu thập số liệu và vị trí đặt cảm biến để đo tín hiệu ra. Chọn tín hiệu

MÔ HÌNH HÓA VÀ NHẬN DẠNG HỆ THỐNG

Giảng viên: TS Huỳnh Thái Hoàng

Bộ môn Điều Khiển Tự Động, Khoa Điện – Điện Tử

Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn,

hthoang.hcmut@yahoo.com Homepage: http://www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Môn học

NHẬN DẠNG MÔ HÌNH KHÔNG THAM SỐ

Chương 3

Giới thiệu

Tùy theo phương pháp nhận dạng mà ta chọn tín hiệu vào thích hợp Tín hiệu xung dirac

Tín hiệu hàm nấc

Tín hiệu hình sin

Tín hiệu ngẫu nhiên

Hàm truyền: Hàm truyền của hệ rời rạc là tỉ số giữa biến đổi Z của tín hiệu ra và biến đổi Z của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0

Hệ thống tuyến tính bất biến

)(

)

()

(

z U

z

Y z

U( ) ( )

Đáp ứng xung: Đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm dirac.

Hệ thống tuyến tính bất biến

)()

(z G z

{ ( )}

)()

g(k) gọi là đáp ứng xung của hệ thống

1)

(z =

U

Tính đáp ứng của hệ thống dựa vào đáp ứng xung:

Hệ thống tuyến tính bất biến

Đối với hệ nhân quả: g(k) = 0, ∀k < 0, ta có

)()

()

)()

(

l

l k u l g k

y

Hệ thống tuyến tính bất biến

Đáp ứng của hệ thống trong miền thời gian có thể viết lại là:

Ký hiệu q là toán tử làm sớm 1 chu kỳ lấy mẫu:

và q–1 là toán tử làm trể 1 chu kỳ lấy mẫu:

)1(

)(.u k = k u +

q

)1(

)(

−

k u k

u q

()

(

l

l

k u q l g k

y

) ( ) ( )

y =

q z k

k

z G q

k g q

0

Hệ thống tuyến tính bất biến

Đặc tính tần số: Đặc tính tần số là đại lượng cho biết tỉ lệ về biên độ

và độ lệch pha giữa tín hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin

ω

ω

j

e z

j

z G e

kT U

k

u( ) = m sinω

Nếu tín hiệu vào là:

)sin(

)(k = Y ωkT +ϕ

và tín hiệu ra xác lập là:

)( jω

m

m G e U

Y

=

)( ω

e G

∠

=

Thì:

Hệ thống tuyến tính bất biến

Hệ thống có nhiễu: Mọi hệ thống thực đều bị ảnh hưởng bởi nhiễu (nhiễu đo lường, nhiễu do các tín hiệu vào không kiểm soát được,…) Giả thiết nhiễu tác động vào hệ thống là nhiễu cộng Tín hiệu ra của hệ thống có nhiễu là:

Để đơn giản, giả sử nhiễu có thể mô tả bởi:

trong đó {e(k)} là nhiễu trắng (nhiễu trắng là chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập xác định bởi một hàm mật độ xác suất nào đó)

)()

()()

(

0

k v l

k u l g k

)()

(

l

l k e l h k

Nhận dạng mô hình không tham số

Phương pháp nhận dạng mô hình không tham số là phương pháp xác định trực tiếp đáp ứng xung g(k) hoặc đặc tính tần số G(e jω) của

hệ thống (mà không cần sử dụng giả thiết về cấu trúc mô hình của hệthống)

Các PP nhận dạng mô hình không tham số có thể chia làm 2 nhóm: Phương pháp trong miền thời gian (ước lượng )

Phương pháp phân tích quá độ (phân tích đáp ứng xung, phân tích đáp ứng nấc)

Phương pháp phân tích tương quan Phương pháp trong miền tần số (ước lượng )

Phương pháp phân tích đáp ứng tần số Phương pháp phân tích Fourier

Phương pháp phân tích phổ

) (

ˆ k

g

)(

ˆ jω

e G

Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên là biến mà giá trị của nó là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được

Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu:

Tập hợp các giá trị của X có thể lấp đầy một hay một số khoảng của trục số, thậm chí lấp đầy trục số

Xác suất để X nhận một giá trị cụ thể nào đó luôn luôn bằng 0, nghĩa là với mọi số a ta có

Hàm mật độ xác suất: Hàm số xác định trên toàn bộ trục số được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X nếu:

f X ( ) ≥ 0 , ∀

1 )

Kỳ vọng (Expectation)

Tính chất kỳ vọng:

Định nghĩa kỳ vọng: Giá trị trung bình, hay kỳ vọng của X, ký hiệu

là E(X) được định nghĩa như sau:

Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên và hai số bất kỳ a và b, giả sử

E(X) và E(Y) tồn tại, thế thì:

) ( )

( )

g

E[ ( )] ( ). X ( )

Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì:

) ( ).

( )

(XY E X E Y

Phương sai (Variance)

Tính chất phương sai:

Định nghĩa phương sai: Phương sai của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu

Var(X) là:

] ) [(

) ( Var X = E X − μ 2

) (

) ( Var X = E X − μ

Nếu X là biến ngẫu nhiên, a và b là các hằng số thì:

) ( Var )

( Var aX + b = a2 X

Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì:

) ( Var )

( Var )

( Var X +Y = X + Y

Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Hiệp phương sai (Covariance): Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên, hiệp phương sai của X và Y là:

) ( ),

μtrong đó:

Y X Y

X Y

X , ) = E [( − μ )( − μ )] = E ( ) − μ μ

( Cov

Hệ số tương quan (Correlation coefficient): Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y là:

trong đó:

Y X

Y

X

σσ

) ( Var

, ) (

σHai biến ngẫu nhiên X và Y không tương quan nếu Cov (X,Y) = 0

Quá trình ngẫu nhiên

Quá trình ngẫu nhiên:

Một hàm x(t)=X(t,θ) phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên θ gọi là quátrình ngẫu nhiên Với giá trị t xác định giá trị hàm chỉ phụ thuộc vào θ, do đó nó là biến ngẫu nhiên Với giá trị xác định của θ, chỉ phụ thuộc vào t, do đó nó là hàm biến thực thông thường

Đối với hệ rời rạc, quá trình ngẫu nhiên là chuỗi {x(k)}

Nhiễu trắng:

Nhiễu trắng là chuỗi biến ngẫu nhiên độc lập {e(k)} có E[e(k)]=0

và Var[e(k)]=λ

Hàm hiệp phương sai

Hàm tự hiệp phương sai (Auto Covariance Function)

Cho {x(k)} là quá trình ngẫu nhiên, hàm tự hiệp phương sai (Auto Covariance Function) của {x(k)} là:

Nếu E[x(k1)] E[x(k2)]=0 thì:

)]

( ), ( [ Cov )

, ( Cov )

,

Hàm hiệp phương sai chéo (Cross Covariance Function)

Cho {x(k)} và {y(k)} là hai quá trình ngẫu nhiên, hàm hiệp phương sai chéo giữa {x(k)} và {y(k)} là:

Nếu E[x(k1)] E[y(k2)]=0 thì:

)]

( ), ( [ Cov )

, ( Cov )

,

R xy =

Quá trình ngẫu nhiên dừng

{x(k)} được gọi là quá trình ngẫu nhiên dừng (stationary) nếu:

E[x(k)] không phụ thuộc vào k và

Rx (k1,k2) chỉ phụ thuộc vào τ=k1−k2

Khi đó hàm tự hiệp phương sai được ký hiệu là:

)]

( ), ( [ Cov )

R xy

Chú ý: R x(τ) = R x( −τ) R xy(τ) = R xy(−τ)

Quá trình ngẫu nhiên gần dừng (quasi-stationary)

{x(k)} được gọi là quá trình ngẫu nhiên gần dừng nếu:

E[x(k)] = m x (k), |m x (k)| ≤ C, ∀k

E[x(k1), x(k2)] = Rx (k1,k2), |Rx (k1,k2)| ≤ C và

)()]

()([E

1lim

x

1

)]

()([E

1lim)]

()([

( ) ( [

x x

τ

xy xy

xy( ) F R ( ) R ( )e

Phân tích đáp ứng quá độ

( ) ( )

( )

( ) ( )

=

Giả sử HT mô tả bởi:

) ( )

(k k

Tín hiệu vào là hàm dirac:

) ( )

( )

( )

( )

( )

0

g k

y

l

+

= +

−

= ∑+∞

=

ααδ

Tín hiệu ra:

αα

) ( )

( )

(

0

k v k

y k

Ngoài ra tín hiệu vào có biên độ lớn có thể làm gây ra các ảnh

hưởng phi tuyến làm méo dạng mô hình tuyến tính của hệ thống

αα

) ( )

( )

(

0

k v k

y k

Thí dụ nhận dạng đáp ứng xung của động cơ DC

Giả sử động cơ mô tả bởi mô hình toán (sử dụng để mô phỏng):

) (

1 )

( )

t

y L

K t

i L

R dt

t

) ( )

B t

i J

K dt

t

Trong đó: u(t): điện áp phần ứng (tín hiệu vào);

y(t): tốc độ quay của động cơ (tín hiệu ra);

i(t): dòng điện phần ứng

) (

1 Ω

=

02 0

=

m

K

02 0

=

e

K

) (kg.m 02

0

=

B

Dùng pp phân tích đáp ứng xung, nhận dạng đáp ứng xung của động

cơ Giả sử chu kỳ lấy mẫu là T=0.01s, tín hiệu đo tốc độ bị ảnh

hưởng bởi nhiễu cộng có giá trị trung bình là μ và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính dựa vào mô hình toán học

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu của động cơ DC với tín hiệu vào là hàm dirac

Kết quả ước lượng đáp ứng xung động cơ DC

(a) Không nhiễu (μ = 0; λ=0)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.04

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

ghat g0

(b) Có nhiễu (μ = 0; λ=10−2)

α = 10

Nếu không có nhiễu ⇒ nhận dạng chính xác đáp ứng xung

Có nhiễu ⇒ đáp ứng xung nhận dạng không chính xác nếu tín hiệu vào có biên độ bé

Kết quả ước lượng đáp ứng xung động cơ DC

(d) Có nhiễu (μ = 0.5; λ=10−2)

α = 100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0.09

ghat g0

Thí dụ nhận dạng đáp ứng xung của tay máy

Mô hình toán học mô tả tay máy (sử dụng để mô phỏng):

) ( )

( sin )

( ) ( )

( ) (Ml C2 + ml2 θ t + Bθ t + ml + Ml C g θ t = u t

9.81

g

0.01 N.m.s/rad

B

0.5 m

l C

1.4 m

l

0.6 kg

m

3.5 kg

M

Giá trị Đơn vị

Ký hiệu

Dùng pp phân tích đáp ứng xung, nhận dạng đáp ứng xung của hệ

thống quanh điểm làm việc Giả sử chu kỳ lấy mẫu là

T=0.1s, tín hiệu đo tốc độ bị ảnh hưởng bởi nhiễu cộng có giá trị trung bình là μ và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính dựa vào mô hình toán học

4 /

π

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu

Sơ đồ mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu vào ra quanh

điểm việc tĩnh của hệ tay máy với tín hiệu vào là hàm dirac

Dữ liệu dùng để nhận dạng mô hình tuyến tính: u~ = u − u

y y

y = −

~

Kết quả ước lượng đáp ứng xung hệ tay máy quanh điểm tĩnh

(a) Không nhiễu (μ = 0; λ=0)

(b) Có nhiễu (μ = 0; λ=10−5)

α = 1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.015

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

0.02

ghat g0

Nếu không có nhiễu ⇒ nhận dạng chính xác đáp ứng xung

Có nhiễu ⇒ đáp ứng xung nhận dạng không chính xác nếu tín hiệu vào có biên độ bé

Kết quả ước lượng đáp ứng xung hệ tay máy quanh điểm tĩnh

(d) Có nhiễu (μ = 0; λ=10−5)

α = 25

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.015

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

0.02

ghat g0

Tăng biên độ tín hiệu vào ⇒ giảm ảnh hưởng của nhiễu đến đáp ứng xung ước lượng được

Biên độ tín hiệu vào lớn quá ⇒ đáp ứng xung nhận dạng bị sai lệch do tính phi tuyến của đối tượng

Phân tích đáp ứng nấc

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

=

Giả sử HT mô tả bởi:

) ( 1 )

g k

y

k

l l

+

= +

) 1 (

) ( )

( )

1 (

)

⇒

Phân tích đáp ứng nấc

Nhận xét:

☺ Phương pháp đơn giản

Sai số nhận dạng là [v(k) − v(k −1)] /α, loại mức DC của nhiễu

Nhiều hệ thống vật lý không cho phép tín hiệu vào có biên độ đủlớn để [v(k) − v(k −1)] /α, đủ nhỏ

Ngoài ra tín hiệu vào có biên độ lớn có thể làm gây ra các ảnh

hưởng phi tuyến làm méo dạng mô hình tuyến tính của hệ thống

Kết luận:

) 1 (

) ( )

1 (

) ( )

Đáp ứng xung ước lượng:

α

) 1 (

)

( )

(

ˆ = y k − y k −

k g

Thí dụ nhận dạng đáp ứng xung của động cơ DC

Giả sử động cơ mô tả bởi mô hình toán (sử dụng để mô phỏng):

) (

1 )

( )

t

y L

K t

i L

R dt

t

) ( )

B t

i J

K dt

t

Trong đó: u(t): điện áp phần ứng (tín hiệu vào);

y(t): tốc độ quay của động cơ (tín hiệu ra);

i(t): dòng điện phần ứng

) (

1 Ω

=

02 0

=

m

K

02 0

=

e

K

) (kg.m 02

0

=

B

Dùng pp phân tích đáp ứng nấc, nhận dạng đáp ứng xung của động

cơ Giả sử chu kỳ lấy mẫu là T=0.01s, tín hiệu đo tốc độ bị ảnh

hưởng bởi nhiễu cộng có giá trị trung bình là μ và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính dựa vào mô hình toán học

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu của động cơ DC với tín hiệu vào là hàm nấc

Kết quả ước lượng đáp ứng xung động cơ DC

Nếu không có nhiễu ⇒ nhận dạng chính xác đáp ứng xung

Có nhiễu ⇒ đáp ứng xung nhận dạng không chính xác nếu tín hiệu vào có biên độ bé

(a) Không nhiễu (μ = 0; λ=0)

(b) Có nhiễu (μ = 0; λ=10−2)

α = 10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.04

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

ghat g0

Kết quả ước lượng đáp ứng xung động cơ DC

Biên độ tín hiệu vào càng lớn ⇒ nhiễu càng ít ảnh hưởng đến đáp ứng xung ước lượng được

Nhiễu có mức DC ⇒ mức DC không ảnh hưởng đến đáp ứng xung

(d) Có nhiễu (μ = 0.5; λ=10−2)

α = 100

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.01

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.08

ghat g0

Thí dụ nhận dạng đáp ứng xung của tay máy

Mô hình toán học mô tả tay máy (sử dụng để mô phỏng):

) ( )

( sin )

( ) ( )

( ) (Ml C2 + ml2 θ t + Bθ t + ml + Ml C g θ t = u t

9.81

g

0.01 N.m.s/rad

B

0.5 m

l C

1.4 m

l

0.6 kg

m

3.5 kg

M

Giá trị Đơn vị

Ký hiệu

Dùng pp phân tích đáp ứng nấc, nhận dạng đáp ứng xung của hệ thống quanh điểm làm việc Giả sử chu kỳ lấy mẫu là T=0.1s, tín hiệu đo tốc độ bị ảnh hưởng bởi nhiễu cộng có giá trị trung bình là μ

và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính dựa vào mô hình toán học

4 /

π

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu

Sơ đồ mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu vào ra quanh

điểm việc tĩnh của hệ tay máy với tín hiệu vào là hàm nấc

Dữ liệu dùng để nhận dạng mô hình tuyến tính: u~ = u − u

y y

y = −

~

Kết quả ước lượng đáp ứng xung hệ tay máy quanh điểm tĩnh

Nếu không có nhiễu:

nhận dạng chính xác đáp ứng xung nếu biên độ tín hiệu vào bé

kết quả nhận dạng đáp ứng xung bị sai lệch nếu biên độ tín hiệu vào lớn

(a) Không nhiễu (μ = 0; λ=0)

(b) Không nhiễu (μ = 0; λ=0)

α = 1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.015

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01

0.015

ghat g0

Kết quả ước lượng đáp ứng xung hệ tay máy quanh điểm tĩnh

Có nhiễu ⇒ đáp ứng xung nhận dạng không chính xác do ảnh hưởng của nhiễu

Biên độ tín hiệu vào lớn quá ⇒ đáp ứng xung nhận dạng bị sai lệch do tính phi tuyến của đối tượng

(d) Có nhiễu (μ = 0; λ=10−5)

α = 5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.015

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

0.02

ghat g0

Phân tích tương quan

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

=

Giả sử HT mô tả bởi:

Tín hiệu vào u(k) là chuổi ngẫu nhiên gần dừng:

k m k

m k

u( )] = u( ), u( ) ≤ , ∀ [

E

) , ( ), ,

( )]

( ) ( [

E u k1 u k2 = R u k1 k2 R u k1 k2 ≤ C

) ( )]

( ) ( [

Phân tích tương quan (tt)

Theo định lý 2.2 (Ljung, 1999 trang 40):

()]

()([

u k

ˆ

N yu

ˆtrong đó:

Phân tích tương quan (tt)

Nhận xét:

☺ Phương pháp đơn giản

☺ Sai số nhận dạng là chính bằng sai số ước lượng , sai số này càng giảm khi số mẫu dữ liệu sử dụng để nhận dạng càng tăng

☺ Biên độ tín hiệu ảnh hưởng không đáng kể đến chất lượng nhận

dạng

☺ Phương pháp phân tích tương quan đặc biệt thích hợp để nhận dạng đáp ứng xung trong trường hợp hệ thống có nhiễu đo lường ngẫu nhiên và biên độ tín hiệu vào giới hạn

☺ Nhận dạng tốt đáp ứng xung của hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh

Kết luận:

τ

τ ) ˆ ( )(

ˆ

N yu

R

)(

ˆ N τ

yu

R

Thí dụ nhận dạng đáp ứng xung của động cơ DC

Giả sử động cơ mô tả bởi mô hình toán (sử dụng để mô phỏng):

) (

1 )

( )

t

y L

K t

i L

R dt

B t

i J

K dt

t

Trong đó: u(t): điện áp phần ứng (tín hiệu vào);

y(t): tốc độ quay của động cơ (tín hiệu ra);

i(t): dòng điện phần ứng

) (

1 Ω

=

02 0

=

m

K

02 0

=

e

K

) (kg.m 02

0

=

B

Dùng pp phân tích tương quan, nhận dạng đáp ứng xung của động

cơ Giả sử chu kỳ lấy mẫu là T=0.01s, tín hiệu đo tốc độ bị ảnh

hưởng bởi nhiễu cộng có giá trị trung bình là μ và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính dựa vào mô hình toán học

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu

Mô phỏng thí nghiệm thu thập dữ liệu của động cơ DC với tín hiệu vào ngẫu nhiên

Dữ liệu để nhận dạng đáp ứng xung dùng pp tương quan

Đáp ứng của động cơ DC với tín hiệu vào ngẫu nhiên

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -10

-5 0 5 10

-1 0 1 2 3

Time (sec)

Kết quả ước lượng đáp ứng xung động cơ DC

(b) Có nhiễu (μ = 0; λ=10−2)

α = 1, N=10000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.01

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.08

ghat g0

Kết quả ước lượng đáp ứng xung động cơ DC

(d) Có nhiễu (μ = 0; λ=10−2)

α = 1, N=100000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -0.01

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

0.08

ghat g0

Thí dụ nhận dạng đáp ứng xung của tay máy

Mô hình toán học mô tả tay máy (sử dụng để mô phỏng):

) ( )

( sin )

( ) ( )

( ) (Ml C2 + ml2 θ t + Bθ t + ml + Ml C g θ t = u t

9.81

g

0.01 N.m.s/rad

B

0.5 m

l C

1.4 m

l

0.6 kg

m

3.5 kg

M

Giá trị Đơn vị

Ký hiệu

Dùng pp phân tích tương quan, nhận dạng đáp ứng xung của hệ thống quanh điểm làm việc Giả sử chu kỳ lấy mẫu là T=0.1s, tín hiệu đo tốc độ bị ảnh hưởng bởi nhiễu cộng có giá trị trung bình là μ

và phương sai là λ

So sánh đáp ứng xung nhận dạng được với đáp ứng xung chính xác tính dựa vào mô hình toán học

4 /

π