Tương giao đồ thị hàm số

Tương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm sốTương giao đồ thị hàm số

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 2.1 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 2.2 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

Chủ đề 4.1 NGUYÊN HÀM

Chủ đề 4.2 TÍCH PHÂN

Chủ đề 4.3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

SỐ PHỨC

Chủ đề 5.1 DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Chủ đề 5.2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM

BÀI TOÁN THỰC TẾ

6.1 LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

6.2 BÀI TOÁN TỐI ƯU

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 7.1 QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 7.2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

 Để tính tung độ y của giao điểm, ta thay hoành độ 0 x vào 0 y f x hoặc   yg x  

 Điểm M x y 0; 0 là giao điểm của (C và 1) (C 2)

Lập phương trình hoành độ giao điểm của  C và d:ax3bx2  cx d kx n (1)

Phương trình  1 là phương trình bậc ba nên có ít nhất một nghiệm Ta có 2 trường hợp:

+  C và d có ba giao điểmphương trình  1 có ba nghiệm phân biệt phương trình

 2 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm x (Đây là trường hợp thường gặp) 0

+  C và d có hai giao điểmphương trình  1 có hai nghiệm phân biệt phương trình

 2 có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm x0 hoặc phương trình  2 có nghiệm

kép khác x 0

+  C và d có một giao điểmphương trình  1 có một nghiệmphương trình  2 vô

nghiệm hoặc phương trình  2 có nghiệm kép là x 0

 Trường hợp 2: Phương trình  1 không thể nhẩm được “nghiệm đẹp” thì ta biến đổi

phương trình  1 sao cho hạng tử chứa x tất cả nằm bên vế trái, các hạng tử chứa tham số

m nằm bên vế phải, nghĩa là  1  f x( )g m( )

Ta khảo sát và vẽ bảng biến thiên hàm số y f x và biện luận số giao điểm của    C và

x x x

 C m cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt   1 có ba nghiệm phân biệt

  2 có hai nghiệm phân biệt khác 2

m thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số yx3mx2 cắt trục hoành tại một điểm duy nhất

f x   x Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất   m 3 Vậy

3

m  thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị  C của hàm số yx33x29x m cắt trục hoành tại ba điểm

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số yx33x29x

Ví dụ 6: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A1; 0 với hệ số góc k ( k ) Tìm k để

đường thẳng d cắt đồ thị hàm số( ) :C yx33x24tại ba điểm phân biệt A B C, , và tam

giác OBC có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua A( 1;0) và có hệ số góc k nên có dạng yk x( 1), hay

0

kx  y k Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d là:

Vậy k 1 thỏa yêu cầu bài toán

II SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Cho hàm số 4 2  

0

yax bx c a có đồ thị  C và đường thẳng yk có đồ thị d Lập phương trình hoành độ giao điểm của  C và d: 4 2  

  C và d có bốn giao điểm   1 có bốn nghiệm phân biệt  2 có hai nghiệm dương

phân biệt phương trình  2 thỏa

000

P S

(Trường hợp này thường gặp)

  C và d có ba giao điểm  1 có ba nghiệm phân biệt  2 có hai nghiệm phân biệt,

trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm t0

  C và d có hai giao điểm  1 có hai nghiệm phân biệt   2 có nghiệm kép dương

hoặc có hai nghiệm trái dấu

  C và d không có giao điểm  1 vô nghiệm  2 vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm

  C và d có một giao điểm  1 có một nghiệm  2 có nghiệm t 0 và một nghiệm

Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số yx42x23

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy  1 có bốn nghiệm phân biệt   2 m 3 Vậy 2 m 3 thỏa

yêu cầu bài toán

yx  m x m  m C Định m để đồ thị (C m) cắt đường thẳng d y:  2 tại bốn điểm phân biệt

Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và d:

x  m x m  m   x  m x m  m Đặt 2  

 C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt   1 có bốn nghiệm phân biệt

  2 có hai nghiệm dương phân biệt 

2

2

5 24 16 00

44

50

43

m m

m m

Khi đó phương trình  2 có hai nghiệm 0 t1 t2 Suy ra phương trình  1 có bốn nghiệm

phân biệt là x1   t2 x2   t1 x3 t1 x4  t2 Bốn nghiệm x x x x1, 2, 3, 4 lập thành cấp

số cộng

 x2  x1 x3 x2 x4x3   t1  t2 2 t1  t2 3 t1  t2 9t1 (3) Theo định lý Viet ta có 1 2

2

1 2

3 4 (4) (5)

9 3 410

m t



 có đồ thị là ( )C Tìm m để đường thẳng d y:   x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

dcắt ( )C tại hai điểm phân biệt   1 có hai nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 1    

2

mx y x





 có đồ thị là  C m Tìm m để đường thẳng d y: 2x1 cắt đồ thị  C m tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB 10

d cắt  C m tại hai điểm phân biệt A B,   1 có hai nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

   2

3 8 0

8 2 6 1 0

m m

m  (*) Đặt A x 1; 2x11 ;  B x2; 2x21với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình  2

Theo định lý Viet ta có

1 2

1 2

3212

Ví dụ 4: Cho hàm số 2 1

1

x y x

Suy ra d luôn cắt ( )C tại hai điểm , A B phân biệt với mọi m

Gọi A x y 1; 1 ; B x y2; 2, trong đóy1 2x1m y; 2  2x2m và x1, x là các nghiệm của 2

 1 Theo định lý Viet ta có

1 2

1 2

4212





 ( )C Tìm k để đường thẳng d y: kx2k1 cắt ( )C tại hai

điểm phân biệt A B, sao cho khoảng các từ A và Bđến trục hoành bằng nhau

  B  2; 1 ;  1 

; 4 2

Câu 11 Cho hàm số yx44x22 có đồ thị ( )C và đồ thị ( )P : y 1 x2 Số giao điểm của ( )P và





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d : y2x3 Đường thằng d cắt ( )C tại

hai điểm A và B Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

m

   

Câu 25 Cho hàm số yx44x22 có đồ thị ( )C và đường thẳng d y: m Tất cả các giá trị của tham

số m để d cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt là

y  x x m Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục

hoành tại ít nhất ba điểm phân biệt là

Câu 28 Cho hàm số  2 2 

y x x mx m  Tất cả giá trị của thma số m để đồ thị hàm số đã cho

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

1

m m

m m

Câu 31 Tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y 2x42x21 cắt đường thẳng y3m tại ba

điểm phân biệt là

Câu 33 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

x  x m   có ba nghiệm phân biệt, trong đó

có hai nghiệm dương là

A   1 m 1 B   1 m 1 C   1 m 3 D   1 m 1

Câu 35 Cho hàm số y 2x33x21 có đồ thị  C như hình vẽ. Dùng

đồ thị  C suy ra tất cả giá trị tham số m để phương trình

Câu 36 Cho phương trình x33x2  1 m 0 (1) Điều kiện của tham số m để (1)có ba nghiệm phân

biệt thỏa x1 1 x2 x3 khi

Câu 37 Cho hàm số y2x33x21 có đồ thị ( )C và đường thẳng d y:  x 1 Giao điểm của ( )C và

d lần lượt là A 1; 0 , B và C Khi đó khoảng cách giữa B và C là

Câu 41 Tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d y:  x m2 cắt đồ thị hàm số

C y x  x  Gọi d là đường thẳng qua A0; 1  có hệ số góc bằng k Tất

cả giá trị k để  C cắt d tại ba điểm phân biệt là

A

9.80

k k

k k

k k

k k

Câu 44 Cho hàm số yx33x24 có đồ thị  C Gọi d là đường thẳng qua I 1; 2 với hệ số góc k

Tập tất cả các giá trị của k để d cắt  C tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d:y x m Giá trị của tham số m để d

cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB 10 là

P yx  x m và d y: 2x1 Giả sử  P cắt d tại hai điểm phân biệt A B, thì tọa

độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là

Câu 50 Giá trị nào của tham số m để đồ thị     3 2

Câu 51 Cho hàm số yx33x2 m 1 có đồ thị ( )C Giá trị của tham số m để đồ thị ( )C cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

Câu 52 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị ( )C và đường thẳng d y:  x m Đường thẳng ( )d cắt đồ thị ( )C tại hai điểm A và B Với ( 2;5) C  , giá trị của tham số m để tam giác ABC đều là

Câu 53 Cho hàm số 4   2

yx  m x  m có đồ thị ( )C Tất cả các giá trị của tham số m để đường

thẳng d: y2 cắt đồ thị ( )C tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 3 là

m m

2

m m

Câu 54 Cho hàm số: yx32mx23(m1)x2 có đồ thị ( )C Đường thẳng d y:   x 2 cắt đồ thị

( )C tại ba điểm phân biệt A0; 2 ,   B và C Với M(3;1), giá trị của tham số m để tam giác

y x mx   x m có đồ thị  C m Tất cả các giá trị của tham số m để

 C m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x1, , 2 x3 thỏa x12x22x32 15 là

 và đường thẳng d y: m Tất cả các giá trị tham số m để  C cắt

d tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB 2 là

C m 1 6 D m1 hoặc m3

D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2

Lập phương trình hoành độ giao điểm: x32x2 x 120 x 3

Vậy có một giao điểm duy nhất

x x

x x

Do đó, đường thẳng ym không cắt đồ thị hàm số khi m4

Yêu cầu bài toán    1 m 3 Vậy chọn   1 m 3

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra trực tiếp đáp án

+Với m2, giải phương trình x33x 1 0 ta bấm máy được ba nghiệm  loại C, D

+Với m 1, giải phương trình x33x 2 0 ta bấm máy được hai nghiệm  loại B

C yx  x và d y: m Xét hàm số yx42x2



Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt  Phương trình 1 có ba  

nghiệm phân biệt  Phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt khác 2

Phương pháp trắc nghiệm:

+Với m3, ta giải phương trình x42x2     0 x 0 x 2  x 2loại B, D

+Với m2, ta giải phương trình x42x2       1 0 x 1 x 1 loại A

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và trục Ox: 2x33x22m 1 0 Ta khảo sát

x  x   m Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của

đồ thị hàm số ( )C :y  x3 3x24 và đường thẳng d:ym Số giao điểm của ( )C và d là

số nghiệm của (*) Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán  m 4 Vậy chọn m 4

Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là 1  m 3

Với x  0 y 1 nên yêu cầu bài toán    1 m 1 Vậy chọn 1  m 1

Phương pháp trắc nghiệm: Xét m1, ta được

Tiếp tục thử m 1 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm

nhưng có một nghiệm bằng 1 Suy ra loại A

Tiếp tục thử m 2 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính Ta nhận thấy (1) có ba nghiệm

thỏa yêu cầu bài toán Suy ra loại D

- Nhập máy tính tìm nghiệm phương trình bậc ba

- Gán hai nghiệm khác 1 vào Bvà C

- Nhập máy X 1 Dùng lệnh CALC tìm tung độ của điểm B và C gán vào hai biến D và E

AB Vậy chọn 5 5

2

Trang 27 Tiến Sĩ Hà Văn Tiến - 01697637278

được A và C

Tiếp tục chọn m  4 2 6 thay vào (1) tìm nghiệm bằng máy tính, ta nhận thấy (1) có

nghiệm kép Suy ra loại B

P S

3 4 0

m m

50

43

m m

m m

m m

k k

k k

Phương trình hoành độ giao điểm  C và d là 3  

m m m

Nhận thấy m0 thỏa yêu cầu

Tượng tự chọn m6 kiểm tra tương tự m0 nhận thấy m6 thỏa yêu cầu bài toán

A

k x

Vậy chọn không tồn tại

Hoành độ của điểm A B, là nghiệm x x của phương trình 1, 2  1 và tung độ trung điểm I thỏa

phương trình d , nên tọa độ trung điểm I là

1 2 22

x   có hai nghiệm (loại)

Khi m1 ta thấy đồ thị hàm luôn có có hai điểm cực trị Vậy ta tìm giá trị cực đại và cực tiểu

của hàm số như sau:

x  x  m có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng

Suy ra đường thẳng ym đi qua điểm uốn của đồ thị yx33x21 (do đồ thị ( )C nhận

điểm uốn làm tâm đối xứng) Mà điểm uốn của 3 2

3 1

yx  x  là I(1; 3) Suy ra m 3 Vậy chọn m 3

Phương pháp trắc nghiệm

Chọn m 3 thay vào phương trình x33x2  m 1 0

Mặt khác AB(x2x x1; 2x1)AB 2(x2x1)2  2(m22m13) Vậy tam giác ABC

đều khi và chỉ khi

trình (1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3

2

m m

Đường thẳng d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt khác 0

2

3 3 0

11

1 0

m

m m

m m

m m

Phương pháp trắc nghiệm: Ta kiểm tra ngay trên đáp án

+ Với m 2, ta giải phương trình bậc ba: 1 3 2 2 4 0

3x  x   x 3 thu được 3 nghiệm