HÀM SỐ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ: Phương pháp: Cho 2 hàm số y f x , y g x = = ( ) ( ) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’). +) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x g x ( ) = ( ) +) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm. +) Số nghiệm của () là số giao điểm của (C) và (C’)

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

BÀI TẬP DẠNG 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1: Số giao điểm của đường cong y x= 3−2x2+2x+1 và đường thẳng y= − bằng 1 x

y x

−

=+ và đường thẳng y= − là: x 1

Câu 7: Đường thẳng ( )d y= + cắt đồ thị x 1 ( )C của hàm số 2 5

1

x y x

+

=+ tại hai điểm phân biệt Tìm các hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C

−

=+ với trục tung

Phương pháp:

Cho 2 hàm số y f x , y g x= ( ) = ( ) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’)

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x( )=g x( )

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

x Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng

B Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng của tập xác định của nó

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng

D Đồ thị hàm số ( )C có giao điểm với Oy tại điểm

Câu 13: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số y x x= 2 2− và đường thẳng 3 y =2

A n =6 B n =8 C n =2 D n =4

Câu 14:Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị 2 1

1

x y

x

−

=+ với đường thẳng y= − −1 3x?

+

=

− Hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng:

−

=+ và đường thẳng y =x− cắt nhau tại hai điểm phân biệt 1 A B ,

Tìm hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

Câu 22: Đồ thị ( )C của hàm số y 2x 8

x

−

= cắt đường thẳng : y∆ = − tại hai điểm phân biệt x A và

B Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

=+ và đường thẳng y= −x

+

=

− Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm ( )0;2 B Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I( )1;2

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2

Câu 28: Biết rằng đồ thị hàm số 3

1

x y x

y = tại ba điểm D Trục hoành tại một điểm

Câu 33: Cho hàm số y x= −2mx2+m2−1 có đồ thị ( )C và đường thẳng :d y x= − Tìm tất cả giá 1trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( )C và đường thẳng d có giao điểm nằm trên trục hoành

A m =2 B m ≥2 C m =0 D m ∈{ }0; 2

Câu 34: Cho hàm sốy= f x( )=x x( 2−1)(x2−4)(x2−9) Hỏi đồ thị hàm số y= f ′(x) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm phân biệt ?

=

− hợp với hai trục tọa

độ một tam giác có diện tích S bằng:

A S =1,5 B S =2 C S =3 D S =1

DẠNG 2: SỰ TƯƠNG GIAO PHƯƠNG PHÁP BẢNG BIẾN THIÊN

VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

SỰ TƯƠNG GIAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 1.Tìm m để phương trình x3−3x m+ =0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Câu 9. Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+cx d+ có bảng biến thiên như sau:

2

x <x <x < <x khi và chỉ khi

+ +

1

y y' x

Phương pháp 1: Bảng biến thiên

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m( )=0(phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x= ( )

+) Lập BBT cho hàm số y f x= ( )

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

Phương pháp 2: Đồ thị hàm số

+) Cô lập m hoặc đưa về hàm hằng y=g m( ) là đường thẳng vuông góc với trục Oy

+) Từ đồ thị hàm số tìm cực đại, cực tiểu của hàm số (nếu có)

+) Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số ta tìm được giá trị của m theo yêu cầu của bài toán

*) Chú ý: Sử dụng PP bảng biến thiên và đồ thị hàm số khi m độc lập với x.

Câu 21. Tìm m để phương trình x4−8x2+ −3 4m= có 4 nghiệm thực phân biệt 0

Câu 24.Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ Tìm tất cả các giá trị thực

m m

A m>1 B m< −1

C m> −1 hoặc m= −2 D m≥ −1 hoặc m= −2

Câu 27.Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ Tìm tất cả các giá trị thực

m m

Câu 29.Cho hàm số y =f x( ) xác định trên ℝ\ 1{ }, liên tục trên từng khoảng xác định và có bảng biến

thiên như dưới đây:

A (0;+∞) B (2;+∞) C  +∞2; ) D  +∞0; )

Câu 30. Giả sử tồn tại hàm số y= f x( ) xác định trên ℝ\ 1 ,{ }± liên tục trên mỗi khoảng xác định và

có bảng biến thiên như sau:

2

f '(x) f(x) x

-∞

+ -

-1

-∞

SỰ TƯƠNG GIAO PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Câu 1.Cho hàm sốy= − −x3 3x2+ có đồ thị như hình vẽ 2

Câu 3. Cho hàm số y x= 3−6x2+9x m C+ ( ), với m là tham số Giả sử đồ thị ( )C cắt trục hoành tại 3

A 1< <x1 x2 < <3 x3<4 B 0< < <x1 1 x2< <3 x3<4

C x1< < <0 1 x2< <3 x3<4 D 1<x1< <3 x2 < <4 x3

Câu 4.Cho hàm số y = f x ( ) có đồ thị là hình sau Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

A m≤ −4 haym>0 B − < ≤4 m 0 C 0< <m 4 D − < <1 m 3

Câu 5. Hình vẽ bên là đồ thị ( )C của hàm số y x= 3−3x−1 Giá trị

nhau là

A m =0 B 1<m<3

C − <3 m<1 D m =0, m =3

Câu 6.Đồ thị sau đây là của hàm số y x= 3−3x+1 Với giá trị nào của mthì phương trình x3 −3x−m =0

có ba nghiệm phân biệt

−

A m<0,m=4 B m <0 C m<2;m=6 D m <2

Câu 12.Cho hàm số 1 4 2

24

DẠNG 3: TƯƠNG GIAO VỚI HÀM BẬC BA

Phương pháp 1: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm F x, m( )=0

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x x= 0 là 1 nghiệm của phương trình

+) Phân tích:

( )

0 0

y F x, m= cắt trục hoành tại 3 điểm phân

cd ct

y y <0

+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị

y F x, m= cắt trục hoành tại 2 điểm phân

3 Phương pháp giải toán:

+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra

Câu 1: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y=(x−2)(x2+ + và trục hoành x 1)

Câu 2: Tìm m để phương trình x3−3x2+ − =m 1 0 có ba nghiệm thực phân biệt

A − <1 m<5 B 1<m<5 C − <5 m<1 D 1≤m≤5

Câu 3: Cho hàm sốy x= 3−3x2+1 có đồ thị ( )C Với giá trị nào của m thì phương trình x3−3x2=m−2

có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm lớn hơn 1

A − <3 m<1 B. − < <2 m 0 C − <3 m< −1 D − <3 m<0

Câu 4: Biết đường thẳng y mx= +1 cắt đồ thị hàm số y x= 3−3x+ tại ba điểm phân biệt Tất cả các 1

giá trị thực của tham số m là

Câu 9: Cho hàm số y x= 3−(m+3)x2+(2m−1)x+3(m+ Tập hợp tất cả giá trị m để đồ thị hàm số 1)

đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ âm là

Câu 11: Cho hàm số y x= 3−2x2+ −(1 m x m) + (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt có hoành độ x x x thỏa mãn điều kiện 1, , 2 3 2 2 2

x +x +x <

b x

a

= −

Câu 12: Cho hàm số y=x3−3x2+ có đồ thị là 2 ( )C Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m

để đường thẳng y mx= + cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt có hoành độ 2 x x x thỏa mãn điều 1, 2, 3kiện x1+x2+ x3−(x x1 2+x x2 3+x x3 1) 4= ?

Câu 13: Cho hàm số y x= 3−3x+2 có đồ thị ( )C Gọi ( )d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số góc

Câu 15: Tìm m để đồ thị ( )C của y x= 3−3x2+4 và đường thẳng y=mx m+ cắt nhau tại 3 điểm phân

Câu 16: Cho hàm số y x= 3−3x2+4 có đồ thị ( )C Gọi ( )d là đường thẳng đi qua A −( 1;0) và có hệ số

Câu 17: Đường thẳng d y: = +x 4 cắt đồ thị hàm số y x= 3+2mx2+(m+3)x+4 tại 3 điểm phân biệt

( )0;4 ,

mãn yêu cầu bài toán

Câu 18: Cho hàm số y=x3−3x+2 có đồ thị ( )C Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số

m m

m m

m m

m m

m m

m m

<





DẠNG 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC

*) Các câu hỏi thường gặp:

thuộc tập hợp nào sau đây ?

A (−∞ −; 3 ] B (18;+∞) C (−2;18) D (− −5; 2 ]

Câu 7:Những giá trị của m để đường thẳng y x m= + −1 cắt đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

+

=

y x

Câu 13:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

2 33

y x

m< và m≠ C 19

2

12

m> và m≠

Câu 14:Cho hàm số 2 1

2

x y x

−

=+ có đúng hai nghiệm phân biệt là

DẠNG 5: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4+bx2+ = (1) c 0

- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t1 2 thỏa mãn: 0 t= <1 t2

- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t1 2 thỏa mãn: 0 t< <1 t2

3 Bài toán: Tìm m để (C): y ax= 4+bx2+c 1( ) cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng

Vậy có hai giao điểm

Câu 2:Hàm số y= − +x4 x2 , có số giao điểm với trục hoành là:

Câu 3:Cho hàm số y x= 4−2x2− Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với trục 1 Ox:

Câu 4:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( )C m :y x= 4−mx2+ −m 1 cắt trục hoành

tại bốn điểm phân biệt

A m >1 B 1

2

m m

Câu 6:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x= 4−2x2+m cắt trục hoành tại đúng hai điểm

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:

Câu 1: Số giao điểm của đường cong y x= 3−2x2+2x+1 và đường thẳng y= − bằng 1 x

Vậy đường cong và đường thẳng có 1 giao điểm

Câu 2: Tìm số giao điểm của đồ thị ( )C : y x= 3+ −x 2 và đường thẳng y= − x 1

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm: x3+ − = − ⇔x 2 x 1 x3= ⇔ = 1 x 1

Vậy ( )C và đường thẳng y= − chỉ có 1 giao điểm x 1

Câu 3: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y=x4−4x2+ và đường thẳng 1 y = − 3

y x

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f x( )=g x( )

+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm

+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’)

Tọa độ giao điểm là (3; 0).

Câu 6: Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số 2x 3

3

y x

−

=+ và đường thẳng y= − là: x 1

+

=+ tại hai điểm phân biệt Tìm các hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C

x x

x x

=

+

 (thỏa mãn điều kiện)

Hoành độ nhỏ hơn 1 nên ta chọn x= ⇒ =0 y 1 Vậy tọa độ điểm cần tìm là A ( ) 0;1

Câu 9: Cho hàm số y x= 4−4x2−2 có đồ thị ( )C và đồ thị ( )P y: = −1 x2 Số giao điểm của ( )P và

0

22

0

x x

−

=+ với trục tung

Chọn đáp án D

Đồ thị cắt Oy⇒ = , thay x 0 x =0 vào hàm số 2 3

1

x y x

−

=+ , ta được y = − 3

Câu 11: Số giao điểm của đồ thị hàm số y x= 4−7x2−6 và y x= 3−13x là

x

x Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

A Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng

B Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng của tập xác định của nó

C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng

D Đồ thị hàm số ( )C có giao điểm với Oy tại điểm

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D

Giao điểm của đồ thị hàm số ( )C với Oy là điểm (0; 1− )

Câu 13: Tìm số giao điểm n của đồ thị hàm số y x x= 2 2− và đường thẳng 3 y =2

A n =6 B n =8 C n =2 D n =4

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A

Vẽ đồ thị hàm số y=x2x2−3 bằng cách suy ra từ đồ thị ( )C :y=x4−3x2 bằng cách

- Giữ nguyên đồ thị (C) phần phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng đồ thị (C) phần dưới trục hoành qua trục hoành

Khi đó đt y =2 cắt đồ thị hàm số y=x2x2−3 tại 6 điểm phân biệt

Câu 14:Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị 2 1

1

x y

x

−

=+ với đường thẳng y= − −1 3x?

x x

x x

x x x

Vậy hai đồ thị có 3 điểm chung

Câu 17: Đồ thị của hàm số y = − x +3 3 x2+ 2 x − 1 và đồ thị của hàm số y = 3x2− 2 x − 1 có tất cả bao nhiêu điểm chung ?

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên số điểm chung là 3

Câu 18: Gọi M N là giao điểm của đường thẳng , y= + và đường cong x 1 2 4

1

x y x

+

=

− Hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng:

−

=+ và đường thẳng y =x− cắt nhau tại hai điểm phân biệt ,1 A B

Tìm hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

A x I =1 B x I = −2 C x I =2 D x I = −1

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm 2 1 1 ( 5 )

Đồ thị và đường cắt nhau tại hai điểm A(− +1 5;− +2 5 ;) (B − −1 5;− −2 5)

Có I là trung điểm của AB

Vậy tổng hai nghiệm là x1+x2=0

Câu 21: Biết đường thẳng y=3x+ cắt đồ thị hàm số 4 4 2

1

x y x

= cắt đường thẳng : y∆ = − tại hai điểm phân biệt x A và

B Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

Suy ra :

4 2

12

x x

11

y y

= −



Suy ra A(1; 1 ,− ) (B 2; 1− )

=+ và đường thẳng y= −x

11

x x

Vậy có 4 giao điểm của hai đồ thị

Câu 27: Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm ( )0;2 B Đồ thị hàm số có tâm đối xứng I( )1;2

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x =1 D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 2

 = ++

 = ++

Lần lượt xét các phương trình hoành độ giao điểm

A x3−3x= ⇔3 x3−3x− = , phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực (sử dụng máy tính bỏ túi 3 0kiểm tra) Loại A

B x3−3x= − ⇔4 x3−3x+ = , phương trình này chỉ có 1 nghiệm thực (sử dụng máy tính bỏ túi 4 0kiểm tra) Loại B

, phương trình này chỉ có 3 nghiệm thực Loại D

Câu 33: Cho hàm số y x= −2mx2+m2−1 có đồ thị ( )C và đường thẳng :d y= − Tìm tất cả giá x 1trị thực của tham số m để đồ thị hàm số ( )C và đường thẳng d có giao điểm nằm trên trục hoành

A m =2 B m ≥2 C m =0 D m ∈{ }0; 2

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D

Gọi A x y( , ) là giao điểm của d và Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của d và trục hoành là x− = ⇔ =1 0 x 1

Phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong (0;1);(2;7);(7;8).

Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt Suy ra phương trình f ′ (x) 0 = có 6 nghiệm phân biệt Hay đồ thị hàm số y= f ′(x) cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt

Câu 35: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

1

y x

=

− hợp với hai trục tọa

độ một tam giác có diện tích S bằng:

1

y x

′ =

− nên y′ = ⇔ = ±0 x 1 2 , do đó đồ thì hàm số có 2 điểm cực trị là (1 2;2 2)

v x

( )

u x y

v x

′

=

′ ta được đường thẳng qua hai điểm cực trị là ( )d :y=2x−2

Vì ( )d cắt các trục tọa độ tại M(0; 2− ) và N( )1;0 nên diện tích là 1 1

2

S = OM ON =

DẠNG 2: SỰ TƯƠNG GIAO PHƯƠNG PHÁP BẢNG BIẾN THIÊN

VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

SỰ TƯƠNG GIAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẢNG BIẾN THIÊN

Câu 1.Tìm m để phương trình x3−3x m+ =0 có 3 nghiệm thực phân biệt

Câu 2.Tìm tất cả các giá trị m để phương trình 3 − =

Phương pháp 1: Bảng biến thiên

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng F x, m( )=0(phương trình ẩn x tham số m) +) Cô lập m đưa phương trình về dạng m f x= ( )

+) Lập BBT cho hàm số y f x= ( )

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m

Phương pháp 2: Đồ thị hàm số

+) Cô lập m hoặc đưa về hàm hằng y=g m( ) là đường thẳng vuông góc với trục Oy

+) Từ đồ thị hàm số tìm cực đại, cực tiểu của hàm số (nếu có)

+) Dựa vào số giao điểm của hai đồ thị hàm số ta tìm được giá trị của m theo yêu cầu của bài toán

*) Chú ý: Sử dụng PP bảng biến thiên và đồ thị hàm số khi m độc lập với x.

Vậy để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì − <2 2m< ⇔ − <2 1 m<1

Câu 3.Tìm m để phương trình x3−3x m− − =2 0 có 3 nghiệm phân biệt

Câu 5. Phương trình x3−12x m+ − =2 0có 3 nghiệm phân biệt khi

y x= − x tại 3 điểm phân biệt ⇔ −16 2< − <m 16⇔ −14<m<18

Câu 6.Với giá trị nào của m thì phương trình x3−3x2+m=0có hai nghiệm phân biệt

Câu 8.Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị hàm số y x= 3−3x+2tại 3 điểm phân biệt

Câu 9. Cho hàm số y= f x( )=ax3+bx2+cx d+ có bảng biến thiên như sau:

Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị ( )C y: = f x( ) nằm bên trên trục hoành

Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị ( )C y: = f x( ) nằm dưới trục hoành qua trục hoành

+ +

1

y y' x

Đồ thị hàm số có tọa độ điểm uốn 1 1;

Từ bảng biến thiên ta có 0<m<4 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

Câu 11 Tìm m để phương trình 2x3+3x2−12x−13= có đúng hai nghiệmm

Phương trình 2x3+3x2−12x−13= có đúng hai nghiệm khi m m= −20,m=7

Câu 12. Tìm m để phương trình 2x3+3x2−12x 13 m− = có đúng 2 nghiệm

Nhìn vào BBT ta thấy để phương trình 2 x3 + 3 x2 − 12 x − 13 = m có đúng 2 nghiệm

20

7

Câu 14.Tìm tất cả các giá trị thực kđể phương trình 3 3 2 1