CHUYÊN ĐỀ 4
Cho hàm số y = f x( ) có đồ thị ( ) C1 , hàm số y =g x( ) có đồ thị ( ) C2 Để tìm giao điểm của 1
( ) C và ( ) C2 ta xét phương trình hoành độ giao điểm
f x =g x f x -g x = (1) Nếu ta nhẩm được x0 là 1 nghiệm của phương trình (1) thì ta luôn phân tích được :
0 ( ) ( ) ( ) ( )
f x - g x = x - x h x
Đối với bài toán biện luận theo tham số m để phương trình ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
một số hướng giải quyết như sau:
Nếu nhẩm được x0 là một nghiệm của (2) ta thực hiện phân tích:
0 ( , ) ( , ) ( ) ( , )
f x m - g x m = x - x h x m
Nếu không nhẩm được nghiệm ta thực hiện cô lập tham số m bằng cách biến đổi đưa
về:
Sau đó ta lập bảng biến thiên của y =F x( ) để đưa ra kết luận (Thông thường y =h m( )
thường là hàm bậc nhất theo m đồ thị là một đường thẳng song song với Ox )
Bài tập 1 Cho hàm số 2 ( )
x
x
+
=
- Tìm m để đường thẳng D:y = +x m cắt đồ thị ( )C tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho 2 2 37
2
Hướng dẫn
+ Phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt khác 1 " Î m
Trang 25 37
m
m
é
ê = -ê
ê = êë
Bài tập 2 Cho ( )
1
x
x
=
- Tìm m để đường thẳng D:y =mx -m-1 cắt ( )C tại 1 điểm phân biệt ,A B sao cho MA2+ MB2 đạt giá trị nhỏ nhất, với ( 1;1)M -
Đáp số: m = -1
Bài tập 3 Tìm m để đồ thị ( Cm) của hàm số y =x3-3mx2-3x +3m+2 cắt Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 sao cho 2 2 2
1 2 3 15
Hướng dẫn
+ Phương trình hoành độ giao điểm 1
2
1
x
é = ê
Để ( Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt g x( )=0 có 2 nghiệm phân biệtx x2, 3 khác 1
0
m
1 2 3 15 ( 2 3) 2 2 3 14 9 9 0
Bài tập 4 Cho đường thẳng D: y=x cắt (C): 3 2
2
x y x
+
= + tại hai điểm ,A B phân biệt Tìm m Î để đường thẳng :d y = +x m cắt (C) tại 2 điểm ,C D phân biệt sao cho ABCD
là hình bình hành
Hướng dẫn
+ D cắt (C) tại A( 1; 1),- - B(2;2)
+ Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là g x( )=x2 +(m-1)x +2m- =2 0, 2
x ¹ -
Do đó để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt , C Dthì ( )g x = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác ‐2
1 9
m m
é <
ê
ê >êë + Gọi A x y ( ; )1 1 , B x y ( ; )2 2 Ta có ABCD là hình bình hành AB = DC
Trang 3 Bài tập 5 Cho ( ) : 2 1
2
x
x
+
= + Tìm m để đường thẳng : d y= - +x m cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B thỏa mãn AB nhỏ nhất
Hướng dẫn
+ Để d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt x2 +(4-m x) + -1 2m =0 có 2 nghiệm phân biệt khác ‐2 " m
Bài tập 6 Tìm m để đồ thị (C m) :y =f x( )=x3-x2 +18mx-2m cắt Õ tại
x < < x < x
Hướng dẫn
x
+ Ta có
2 2
2 (3 1) '( )
(9 1)
x x
g x
x
-=
- Có bảng biến thiên + Dựa và bảng biến thiên ( )f x =0 có nghiệm thỏa mãn x1 < < 0 x2 < x3 m < 0
Bài tập 7 Tìm m để D: y =m cắt đồ thị ( ) : 2 1
1
x
-=
- tại 2 điểm phân biệt A, B
thỏa mãn OA^OB
Hướng dẫn
+ Phương trình hoành độ giao điểm 2 1
1
x
ìï ¹ ïï
íï = -ïïî D cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt
,
1
A B
m
ìï ¹ <
ïï
í ï
=
+ OA ^ OB OAOB = 0 2 1 0 1 5
2
Bài tập 8 (D_2008) Cho ( ) :C y =x3-3x2 +4 và (1;2)I Chứng minh rằng mọi đường
thẳng qua I có hệ số góc k > - 3đều cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt , ,A B I sao cho I là trung
điểm AB
Trang 4
Hướng dẫn
+ Phương trình đường thẳng qua I có dạng D:y =k x( -1)+2 Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
1
x
é = ê
(1) 0
k g
ìïD = + >
ïí
ïî nên pt có 3 nghiệm phân biệt hay D cắt ( )C tại 3 điểm phân biệt A,I,
B Trong đó x xA, B là nghiệm phương trình ( )g x =0 1
2
A B
I
x
+
Bài tập 9.(D_2009) Cho (C m) :y =x4-(3m+2)x2+3m Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt ( Cm) tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2
Hướng dẫn
+ YCBT Phương trình hoành độ giao điểm có 4 nghiệm phân biệt :
4 (3 2) 2 3 1 0
x - m+ x + m+ = (1) + Đặt t =x t2, ³0 YCBT t2-(3m+2)t+3m+ =1 0 có 2 nghiệm phân biệt dương và nhỏ hơn 4
(1)
1
3
ìï
é = ìïï + ¹ ïï- < <
ï ê
Bài tập 10.(D_2009) Cho ( ) :C y =x3-2x2 + -(1 m x) +m Tìm m để ( ) C cắt Ox tại 3
điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn điều kiện 2 2 2
x +x +x <
Hướng dẫn
+ Phương trình hoành độ giao điểm:
(1)
2
1
0
x
é = ê
+ YCBT (2) có 2 nghiệm phân biệt x x2, 3 khác 1 thỏa mãn
1
1
Trang 5
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1.(B_2009) Tìm m để đường thẳng y = - +x m và đường cong y x2 1
x
nhau tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB=4
Đáp số: m = 2 6
Bài tập 2.(A_2003) Tìm m để 2
1
y
x
+ +
=
- có đồ thị cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ dương
- < <
Bài tập 3.(D_2009) Tìm m để đường thẳng y = -2x +m cắt ( ) :C y x2 x 1
x
+
điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của AB nằm trên trục tung
Đáp số: m =1
Bài tập 4 Tìm m để đường thẳng y = -2x +m cắt đường cong 2 1
1
x y x
+
= + tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho SOAB = 3 (O là gốc tọa độ)
Đáp số: m = 2
Bài tập 5 Tìm m để D:y = +x 4 cắt (C m) :y =x3+2mx2 +(m+3)x + tại 3 điểm 4 phân biệt (0; 4)A , B, C sao cho SDKBC = 4, biết (1;3)K
Bài tập 6 Tìm m để : 2d x- +y m =0 cắt ( ) : 2 2
1
x
x
-= + tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB £ 5
Bài tập 7 Tìm m để y =x3-x2+18mx-2m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn x1< < 0 x2 < x3.
Bài tập 8 Tìm m để (C m) :y =x3-2x2-(3m-1)x +m+ cắt đường thẳng 3 :y (1 m x) m 5
D = - + - tại 3 điểm phân biệt thỏa mãn x1 < x2 < < 1 x3
Trang 6y = x -mx - +x m+ cắt trục hoành tại tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn 2 2 2
1 2 3 15
x +x +x >
Bài tập 10 Tìm m để y =x3-3mx2+(3m-1)x +6m-6 cắt trục hoành tại tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, ,2 3 thỏa mãn 2 2 2
1 2 3 1 2 3 20
Bài tập 11 Tìm m để :d y =mx + -2 m cắt
2 4 1 ( ) :
2
x
=
+ tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh của ( )C
Đáp số:
3 2 1
m m
ìïï < ïïí
ïï ¹ ïïî
Bài tập 12 Tìm m để (C m) :y =x3-2mx2 +(2m2-1)x +m(1-m2) cắt trục hoành tại tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1
Đáp số: m > 2