NGUYÊN HÀM I.Kiến thức cơ bản: 1.Bài toán mở đầu: 2.Định nghĩa: -Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng a;b nếu với mọi x∈a;b thì F'x=fx.. -Nếu Fx là nguyên hàm của h
Trang 1NGUYÊN HÀM I.Kiến thức cơ bản:
1.Bài toán mở đầu:
2.Định nghĩa:
-Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x∈(a;b) thì F'(x)=f(x) -Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x)
-Kí hiệu:∫f(x)dx =F(x) +C
-Chú ý: F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên [a;b] nếu ∀x∈(a;b) ta có
F'(x)=f(x);F'(a+)=f(a) và F'(b-)=f(b)
3.Các tính chất:
3.1.(∫f(x)dx)' = f(x)
3.2.∫(f(x) +g(x))dx =∫f(x)dx+∫g(x)dx
3.3.∫(f(x) −g(x))dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx
3.4.∫αf(x)dx = α∫f(x)dx
3.5.∫f(x)dx =∫f(t)dt =∫g(u)du =
3.6.Nếu f và g là các hàm có nguyên hàm và f≤g thì ∫f(x)dx ≤∫g(x)dx
3.7.∫ f( ϕ (x)) ϕ ' (x)dx =F( ϕ (x)) +C
4.Sự tồn tại nguyên hàm:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó
5.Bảng nguyên hàm:
NhómI: Đại số
1.∫dx= x+C
+
+
=
1
1
α
α α
∫ 1 = ln
1.∫ du = u + C
+
+
=
1
1
α
α α
∫ 1 = ln
NhómII: Lượng giác
1.∫ sin xdx = − cos x + C
2.∫ cos xdx sin = x + C
x = +
2 cos
1
x = − +
2 sin
1
1.∫ sin udu = − cos u + C
2.∫ cos udu sin = u + C
u = +
2 cos 1
u = − +
2 sin 1
Trang 2NhómIII: Siêu việt
1.∫e x dx=e x +C
a
x a dx x a
ln
1.∫e u dx=e u+C
a
u a dx u a
ln
II Các phương pháp cơ bản tính nguyên hàm:
1.Phương pháp phân tích:
1.1.Đa thức,hữu tỉ:
b ax
x
n
∫( +2 )
Áp dụng: dx
x
x
∫ − 27
2 ) 1
(
Ví dụ 2:Tính ∫ ax +bx+c n
dx
) ( 2
Áp dụng:
Bài 1.∫x2−3x+2
dx
Bài 2.∫x2+2x+2
dx
Bài 3.∫(x+2 ) 2
dx
x x
x x
x
6 5
1 16 10
2
2
2 3
x
x x
∫ + + −
1
2 2
3
2
Bài 6.∫(x+1 ) 2 (x+2 ) 2
dx
x x
x
2 3
4 7
3
x x
x x x
1 4
3 4
2 3
1.2.Lượng giác:
Dạng 1:∫sin(x+a)1.sin(x+b)dx
−
6 sin(
).
4 sin(
1
π
−
3 cos(
).
4 sin(
1
π π
x 1
sin
2
1
Bài 4.∫ x+ ) tanxdx
4
Dạng 2:
1.3.Vô tỉ:
Bài 1
dx
x + − x +
1
dx
∫
Trang 32.Phương pháp đặt ẩn phụ:
Đạo hàm của hàm hợp:
Nếu hàm số u=g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu u'(x) và hàm số y=f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu là y'(u) thì hàm số hợp y=f(g(x)) có đạo hàm theo x kí hiệu là y'(x) và ta có y'(x)=y'(u).u'(x)
Định lí:
-Giả sử f là một hàm xác định và có nguyên hàm là F trên (a;b)
+Nếu ϕ:(α ; β)→(a;b) là hàm khả vi thì:
∫ f( ϕ (x)) ϕ ' (x)dx =F( ϕ (x)) +C x∈(α;β)
+Nếu ϕ:(α ; β)→(a;b) là hàm khả vi liên tục có đạo hàm ngược ψ sao cho g=(f.ϕ)ϕ' có
nguyên hàm G trên (α ; β) thì:
∫f(x)dx =F(x) +C =G( ψ (x)) +C. x∈(a;b)
-Từ định lí trên ta có phương pháp tính nguyên hàm bằng đổi biến số như sau:
Giả sử cần tính I=∫f(x)dx
+Nếu f(x)=g(ϕ(x)).ϕ'(x) thì đặt ϕ(x)=u khi đó:
∫
∫
∫f(x)dx= g( ϕ (x)) ϕ ' (x)dx = g(u)du
Áp dụng:
2.1.Đa thức,hữu tỉ:
x
x
) 4
3
x
x
∫ +−
1
1
4 2
Bài 3.∫x3 − x2 8dx
) 3 2
x
∫1+ 6
1
x
x
∫ 6 ++11
4
Bài 6.∫ + dx
x
x
1 2
Bài 7
2
4
1
1
x
dx x
+
+
2 4
1 1
x dx x
− +
∫
2.2.Lượng giác:
x
x
x x
1 2 sin
3 sin cos
x
x
8
2
sin
cos
Bài 4.∫sin 5 x cosx.dx
Bài 5.∫tanxdx
2.3.Vô tỉ:
Bài 1.∫ − dx
x
x
1
2
Bài 2
2
1 2
x dx x
+
∫
2.4.Mũ-Logarit:
Trang 4Bài 1.∫ x − x2
e
e
dx
Bài 2.∫ax.e x2.dx
+Nhiều bài toán ta đặt x=ϕ(t) khi đó:
∫
∫f(x)dx= f( ϕ (t)) ϕ ' (t)dt
Áp dụng:
− dx
x2 1 1
Bài 3.∫ + dx
1
Bài 5.∫ ( 1−x2 ) 3
dx
Bài 6.∫ 2 −1
2
x
dx x
Bài 7.∫ ( 1+x2 ) 3
dx
3.Phương pháp nguyên hàm từng phần:
Giả sử u;v là hai hàm khả vi trên khoảng (a;b) nào đó.Khi đó: (uv)'=u'.v+v'.u
Từ đó ta có:
∫udv =uv−∫vdu
3.1.Đa thức,hữu tỉ:
3.2.Lượng giác:
Bài 1.∫p(x) sin(ax+b).dx Bài 2.∫p(x) cos(ax+b).dx
Bài 3.∫x sin 2 x.dx
Bài 4.∫ x tan2 xdx
3.3.Vô tỉ:
3.4.Mũ-Logarit:
Bài 1.∫p(x).e ax+b.dx Bài 2.∫p(x) ln(ax+b).dx
Bài 3.∫e ax+b cos(cx+d).dx Bài 4.∫e ax+b sin(cx+d).dx
Bài 5.∫(x+3).e x dx Bài 6.∫ ( 2 x + 1 sin ) 3 xdx
Bài 7.∫e x cosxdx Bài 8.∫e x cos 2x.dx
Bài 9.∫x3 lnx.dx
Bài 10.∫(x3 − 2x2 +x− 1 ).e2x dx
3.5.Tổng hợp:
Bài 1.∫ ln( + 2+1+1)
2
x
dx x
x
x
Bài 2.∫cos(lnx) dx
Bài 3.∫ln(cosx)dx Bài 4.∫ sin 2 x ecosxdx
Trang 5Bài 5.∫ ( sin x x cos xdx3 + ) 2 Bài 6.∫ x tan2 xdx
4.Xác định nguyên hàm bằng nguyên hàm phụ:
x x
x
4 4
4
sin cos
sin
Bài 2.∫e −e− dx
e x x x
Bài 3.∫2 sin 2x cos 2x.dx
x x
x
cos sin
sin
TÍCH PHÂN:
I.Kiến thức cơ bản:
1.Định nghĩa:
2.Ý nghĩa hình học:
3.Các tính chất:
Tính chất1.∫a ( ) = 0
a
dx x f
Tính chất2.∫b = −∫
a
a
b
dx x f dx
x
a
b
a
dx x f k dx x f
b
a
b
a
b
b
a
b
a
b
Tính chất6 f x dx f x dx f x dx
b
c
b
a
c
Tính chất7.Nếu f(x)≥0,∀x∈ [a;b] thì ∫b ≥
a
dx x
Tính chất8.Nếu f(x)≥g(x),∀x∈ [a;b] thì ∫ ≥∫
b
a
b
a
dx x g dx x
Tính chất9.Nếu m≤f(x)≤M,∀x∈ [a;b] thì m(b-a)≤∫b
a
dx x
f( ) ≤M(b-a)
Tính chất10.Cho t∈ [a;b]thì G(t)=∫t
a
dx x
f( ) là một nguyên hàm của hàm số f(t) và G(a)=0
II.Các dạng bài tập:
1.Tính tích phân bằng phương pháp phân tích:
1.1.Đa thức-Hữu tỉ:
Trang 6Bài 1
2
( )n
x
dx
ax b
β
7
x
dx
x +
∫
Bài 3
5
1( 2)
x
x+
9
x dx x
−∫ −
ax bx c
β
4
3
1 ( x − + 3 x 2) dx
∫
Bài 7
1
2
xdx
x +
2 1
dx
x x
+
∫
Bài 9
4
2
x dx
x − + x
3
2 3
3
x
dx
−
∫
Bài 11
2
x dx
x + x +
0 3 1
x
dx
x x
−
−
− +
∫
Bài 13
2
dx
x + x +
2
dx
∫
1.2.Lượng giác:
Bài 1
0
x cosx
dx
x cosx
4 4 0
dx cos x
π
∫
Bài 3
2
0
sin
sin
x dx
x cosx
π
+
2 3 0
cos xdx
π
∫
0
sin
cos x x dx
π
−
0
5
cos xcos xdx
π
∫
Bài 7
2
6
1 sin 2 2
sin
x cos x
dx
x cosx
π
π
+
2 0
1 sin xdx
π
+
∫
Bài 9
2
0
sin x cos xdx
π
2 4 0
sin xdx
π
∫
Trang 7Bài 11.
4
4
dx cosx x
π
π
+
2
0
1 2sin x 1 dx
π
+
∫
Bài 13
3
6sin sin
6
dx
π
∫
1.3.Vô tỉ:
Bài 1
1
dx
x + + x
5
xdx
x − − x +
∫
1.4.Mũ-Logarit:
Bài 1
1
2
dx
e +
ln 2
0
5
e
+
∫
2.Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Dạng I:
2.1.Đa thức-Hữu tỉ:
Bài 1 ∫2 ++
1
4
2
1
1
dx x
x
Bài 2 ∫2 +−
1 4
2
1
1
dx x
x
Bài 3 ∫1 −
0
6 3
5 ( 1 x ) dx
1
x dx
x + +x
∫
Bài 5
1
21 0
x − x dx
2
x dx
x +
∫
Bài 7
1
2 10 0
(1 3 )(1 2 + x + x + 3 ) x dx
4
6 10 2
1 1
x dx x
+
+ +
∫
Bài 9
6
0
1
1
x
dx x
+
+
1 3 0
3
1 + x dx
∫
Bài 11
9
2(1 )
x
dx x
−
1
x dx
x x x x
−
∫
Bài 13
1
x dx
x x x
−
10
x dx
x −
∫
Trang 8Bài 15
3
3 1
dx
x x +
∫
2.2.Lượng giác:
Bài 1 ∫4 +
0
2
2 2cos
sin
2 sin
π
dx x x
∫2 +
01 sin sin
π
x xdx
π
x x
2 0
.cos
1 cos
sinx x
dx x
π
+
∫
Bài 5
6
2 0
cos
x
dx
π
3 3
0
sin 2
x dx cosx
π
+
∫
Bài 7
2
0
1 3
dx cosx
π
+ +
2 0
sin 2 1
x cosx dx cosx
π
+
∫
Bài 9
2 4
0
1 2sin
1 sin 2
x dx x
π
−
+
2
0
1 cos x sin xcos xdx
π
−
∫
Bài 11
3
2
0
sin x tan xdx
π
4 2 0
1 sin x
dx cos x
π
+
∫
Bài 13
2
2 0
sin 2
2 sin
x dx x
π
+
2
3
sin 2
x dx cos x cosx
π
Bài 15
4
0
tan
2
t
x dx cos x
4
t π
< <
3 2 0
tan
sin
x
dx cos x cosx x
π
−
∫
Bài 17
2
0
sin
sin
xcosx
dx
a cos x b x
π
+
4 3
sin 2
dx x
π
π∫
Bài 19
2 3
6 6
sin x
dx cos x
π
4
2 0
sin 4 1
x dx cos x
π
+
∫
Bài 21
2
dx cosx x
π
2
3 .sin4
cos x xdx
π
∫
Trang 9Bài 23.
2
0
sin x cos xdx
π
3 4
dx
x cosx
π
π∫
2.3.Vô tỉ:
Bài 1 ∫2 +
1 x x2 1
dx
Bài 2
1
0
1
x − xdx
∫
Bài 3
3
0
1
x + x dx
x dx x
+
∫
Bài 5
2 3
2
dx
x x +
1
0
1
x − x dx
∫
Bài 7
7
3
0
2
1
x
dx x
+
+
10
dx
x − x −
∫
Bài 9
5
2
dx
x x −
0
1 1
x dx x
+ +
∫
Bài 11
2
2
dx
x + + x
3
3
2 2
a
xdx
a + +x a +x
∫
Bài 13
3 5 3
2 0
2 1
dx x
+ +
0
1 1
x dx x
− +
∫
Bài 15
1
dx
1
5 0
1 1
x dx x
− +
∫
Bài 17
2
x
dx
x + x +
1
2
dx
1
−
∫
2.4.Mũ-Logarit:
Bài 1
2
1 ln
e
x dx x
+
ln 2
2
x
dx
e +
∫
Trang 10Bài 3
ln 5
dx
e + e− −
0
1 3ln ln
e
x x dx x
+
∫
Bài 5
ln 3
3
x x
e
dx
e +
ln 3 2
x
x
e dx
e −
∫
Bài 7
1
ln
ln 1
e
x dx
1
3 2ln
1 2ln
e
x dx
− +
∫
Bài 9
1
2
0
ln
x dx
+
1
0
x
x e
e + dx
∫
Bài 11
1
x
x
e
dx e
−
− +
ln 2
0
1
x
e − dx
∫
Bài 13 ( )2
1
0
x
e dx e
+
1
2 0
1 1
x
x
e dx e
+ +
∫
Bài 15
ln 2
0
3
e
+
1
e
dx x
+
∫
Dạng II.
Bài 1 ∫2 −
2
2
1 x
dx
0
2
2 4 x dx x
Bài 3.∫1 +
0
3 2 3
) 1
dx
x
3
2 x x2 1
dx
Bài 5 ∫1 −
2
2
2 1
dx x
x
Bài 6.∫1 −
2
dx x
Bài 7.∫a a +dx x
0
2 2
2 3 2
2
x dx x
−
∫
x
x
∫2 +
3
2
3
2
2
2 9
Bài 10 ∫
− −
+
0
a
dx x a x a
Trang 11Bài 11 ∫
+
2
4
b
a
b
dx
Bài 12
2 0
1 4
x x
dx x
− + +
∫
Bài 13
1
2
0
1
x
dx
x x
− + +
1 2 0
1 1
x dx x
+ +
∫
Bài 15
2 1
9 3x
dx x
+
6
2
2 2
x dx x
− +
∫
Bài 17
3
2
dx
x x
− + −
∫
3.Tính tích phân bằng phương pháp từng phần:
3.1.Đa thức-Hữu tỉ:
Bài 1
x
dx
x −
∫
3.2.Lượng giác:
Bài 1 ( ).sin
b
a
P x α xdx
b
a
P x cos xdx α
∫
Bài 3
b
x
a
e cos xdxα β
b x a
eα β xdx
∫
0
cos
x
e cosx xdx
π
+
4
x dx cos x
π
+
∫
Bài 7
2
0
sin
x xdx
π
4
sin 0
(tan x e cosx dxx )
π
+
∫
Bài 9
1
2 0
tan
x xdx
0
2 x 1 cos xdx
π
−
∫
Bài 11 2( )
0
1 sin 2
π
+
2
9 0
sin xdx
π
∫
Bài 13
3
2 sin
dx cos x
π
+
π
∫
Trang 120
( sin )
t t
I =∫ x x dx
a.Tính với t=π b.CMR: ( )I t + − =I t( ) 0
3.3.Vô tỉ:
3
2 0
1
x x x
dx x
+
2
x x
dx x
+ +
∫
3.4.Mũ-Logarit:
Bài 1.1( ) 2
0
x − e dx
2
∫
2 3
1
1
x
−
1 3 0
x
x e dx
∫
Bài 5
2
1
1
ln
e
x
xdx x
+
1
ln
e
x xdx
∫
Bài 7.2( )
1
2 ln
x − xdx
1
ln
e x dx x
∫
Bài 9
3
2 1
ln
1
x
dx
x +
4
3 0
x dx x
+ +
∫
Bài 11
2
0
cos
x
e xdx
π
2 2 0
x
xe dx−
∫
2
0
sin
x
e xcos xdx
π
3 2
1
ln 1 ln
e
x dx x
+
∫
Bài 15.1 2 ( 3)
0
ln 1
x + x dx
1 2 0
x
x e dx−
∫
0
x x + + x dx
∫
Bài 18 Cho hàm số ( ) ( )3
1
x
a
x
+ .Tìm a,b để f’(x)=-22 và
1
f x dx =
∫
Trang 134.Lớp tích phân đặc biệt:
Tính chất 1:Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [-a;a] thì: ∫
−
=
a
a
dx x
f( ) 0
Ví dụ 1
1
3 1
2 ln 2
x cos x dx
x
−
−
+ ÷
2 1
ln x x 1 dx
−
∫
Ví dụ 3
3 2
2
sin 1
x dx cosx
π
π
1
1
. x
x e +dx
−∫
Ví dụ 5
4
4 4
1
x x x x
dx cos x
π
π
−
− + − +
1 4 2 1
sin 1
x x dx x
−
+ +
∫
Tính chất 2:Nếu f(x) liên tục và chẳn trên [-a;a] thì: ∫ ∫
−
=
a
a
a
dx x f dx
x f
0 ) ( 2 ).
(
Tính chất 3:Nếu f(x) liên tục và chẳn trên R thì: ∫ =∫
+
−
a a
a
x dx f x dx b
x f
0 ) ( 1
) (
Ví dụ 1
2
sin
3x 1
x dx
π
π
11 2x
x dx
−∫ +
Ví dụ 3
2
2
sin sin 2 5
1
x
x xcos x
dx e
π
π
1
1
1 2x
x dx
−
− +
∫
Tính chất 4:Nếu f(x) liên tục trên [0;
2
π
0
2 0
) (cos )
(sin
dx x f dx x f
Ví dụ 1
2
n
cos x
dx cos x x
π
+
∫
Tính chất 5:Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x)=f(x) thì:∫b = + ∫
a
b
a
dx x f b a dx x
2 )
(
2
xf x dx f x dx
π
=
0
sin
4
x x
dx cos x
π
−
0
sin 3
x x
dx cos x
π
+
∫
Hệ quả 2.2 xf cosx dx ( ) 2 f cosx dx ( )
π
=
Trang 14Ví dụ 1
2
3 0
xcos xdx
π
∫
Tính chất 6:Nếu f(x) liên tục và f(a+b-x)=-f(x) thì ∫b =
a
dx x
f( ) 0
Ví dụ 1 2
0
1 sin ln
1
x dx cosx
π
+
0
ln 1 tan x dx
π
+
∫
Tính chất 7:Nếu f(x) liên tục trên đoạn [0;a] với a>0 thì: ∫a =∫ + −
a
a
dx x a f x f dx x f
2
0
)] 2 ( ) ( [ )
(
Ví dụ 1
3
0
sin sin 2 sin 3 x x xcos xdx 5
π
∫
Tính chất 8:Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì : ∫+ =∫
T a
a
T
dx x f dx x f
0 ) ( )
(
Ví dụ 1
2008
0
1 cos xdx 2
π
−
2008
0
1 cos xdx 2
π
+
∫
5.Tích phân chứa trị tuyệt đối:
Bài 1
2
2
0
x − x dx
3
0
x − x + x dx
∫
3
−
+ − −
1
0
x x a dx −
1
1
x − + a x a dx +
1 2 0
2
x − x m dx +
∫
Bài 7
2
0
1 sin xdx
π
+
4
12
cot x cot 2 x dx
π π
−
∫
6.Công thức truy hồi:
Bài 1.∀n, m∈N+ CMR: ∫1 − =∫ −
0
1
0
) 1 ( )
1
x x
x dx
x x
x
n n
n n
n
n
∫
+
2 0
2
cos cos
sin
π
Trang 15Bài 3.Cho =∫1
0
sin xdx
x
a.Lập công thức truy hồi I n , I n+2 b.CMR In đơn điệu
c.Tìm n I n
∞
→
Bài 4.Cho = ∫4
0
tan
π
xdx
n
a.Lập công thức truy hồi I n , I n-2 b.CMR I n đơn điệu và 2(n1+1)<In<2(n1−1)
c.Tìm n I n
∞
→
Bài 5.Lập công thức truy hồi:
0
1 x dx
x
0
dx e x
0
cos
π
dx x x
n
I
1
ln
0 x 1dx
x I
n
I
0
2
(
−
+
=1
0
.
e
x n
∞
→
Bài 7.Cho = ∫2
0
cos
π
dx x
0
sin
π
dx x
n
c.CMR I n đơn điệu và
2
1
+
+
n
n
<
n
n I
I +1
0
11 cos x dx
0
11 sin x dx
I n
BÀI TOÁN DIỆN TÍCH
Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=(e+1)x , y=(1+ex)x
Bài 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:y= x2 4 3− x+ và y x= +3
y= x +mx − x− m− Tìm m 0;5
6
∈ ÷ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường x=0,x=2,y=0 có diện tích bằng 4
Bài 4.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= x+1,trục hoành và hai đường thẳng
x=ln3,x=ln8
Trang 16Bài 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= ln2( )2 1
2 1
x x x
+ + ,trục hoành và đường thẳng 1
x= e−
Bài 6.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 4 2
4
x
y= − và 2
4 2
x
y=
Bài 7.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=-1;x=3;y=0,y x= 2 2− x
Bài 8.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=1
e;x=e;y=0;
ln x
y x
=
Bài 9.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 12 ; 12 ; ;
sin
cos x x
Bài 10.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2 ;x y= −3 x x; =0
Bài 11.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x = 2 − x y ; = − + x2 2 x − 1
Bài 12.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 3 3;
y x= + x− y= x
Bài 13.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2y − y x+ =0;x y+ =0
Bài 14.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2; 2; 27
27
x
y x y y
x
Bài 15.Tính tỉ số diện tích mà parabol (P): 2 2 (y = px p>0) chia đường tròn (C): 2x +y2 =8p2
Bài 16.Tính tỉ số diện tích mà parabol (P): 2 2 (y = px p>0) chia Elip (E): 22 22 1
2
x y
p + p =
Bài 17.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 1; 0; 1; 1
x
x
+ Bài 18.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x= 2; = −y2
Bài 19.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 sin 2 ; 0; ;
y= − x y= x= −π x=π
Trang 17Bài 20.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2 4 3 ;− x+ y= −3 x
Bài 21.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2−1 ;y= +x 5
Bài 22.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 2sin23 ; 1 12 ; 0;
π
Bài 23.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sin3 ; 3 ; 0;0
4
y= x y cos x y= = ≤ ≤x π
Bài 24.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3 3
y= x cos x y+ = giữa hai giao điểm liên tiếp
Bài 25.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x22 y22 1;x 2a
a −b = = Bài 26.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= 3−2x2+4x−3, và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ bằng 2
Bài 27.Cho hàm số x2 3 1x
y
x m
+ +
= + 1.Khảo sát m=1
2.Với m=1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x=0;x=1;y=0 và đồ thị hàm số
Bài 28.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= − +x2 4x−3 và hai tiếp tuyến tại các điểm A(0;-3),B(3;0)
Bài 29.Tìm a để diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
1
x
x
π
Bài 30.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= −x2+x y x y x; = 2; = 2+mx−2
Bài 31.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e y e= x; = −x;x=1
Bài 32.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sin2 3 ; 0; 0;
2
y= x cos x y= x= x=π
Bài 33.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x.ln ;x y 0;x 1;x e
e
Trang 18Bài 35.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2sinx-1,y=0,x=0,x=7
6 π
Bài 36.Xét hình phẳng bị chặn dưới bởi parabol (P): 2
y x= ,bị chặn trên bởi đường đi qua A(1;4) và có hệ
số góc k.Xác định k để hình nói trên có diện tích nhỏ nhất.Cho A tuỳ ý trên parabol 2
y= px p> D là đường thẳng song song với tiếp tuyến của parabol tại A.d cắt (P) tại hai điểm M,N.Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (P)
Bài 37.Cho parabol (P): y x= 2+2x+4.Xét hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại điểm bất kì trên (P) và các đường x=0,x=1,y=0.Tìm tiếp tuyến để hình nói trên có diện tích lớn nhất
BÀI TOÁN THỂ TÍCH
Bài 1.Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx,y=0,x=0,x=
3 π
a.Tính diện tích hình phẳng D
b.Tính thể tích vật tròn xoay khi quay D quanh Ox
Bài 2.Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=xlnx,y=0,x=1,x=e
a.Tính diện tích hình phẳng D
b.Tính thể tích vật tròn xoay khi quay D quanh Ox
Bài 3.Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y= 4 4
1+cos x+sin x ,y=0,x=
2
π ,x=π Tính thể tích vật tròn xoay khi quay D quanh Ox
Bài 4.Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường ( ) (: 4)2 2 1
a.Tính diện tích hình phẳng D
b.Tính thể tích vật tròn xoay khi quay D quanh Oy
c.Tính thể tích vật tròn xoay khi quay D quanh Ox
Bài 5.Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=
2 2
1 ,
x y
+