Tích phân 2

PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ VÀ VIỆC LẤY TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ CÓ DẠNG ðẶC BIỆT ðẶC TRƯNG Hồ Quang Vinh Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ Phương pháp ñổi biến số ðBS là một trong những phương

PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ VÀ VIỆC LẤY TÍCH PHÂN

MỘT SỐ HÀM SỐ CÓ DẠNG ðẶC BIỆT ( ðẶC TRƯNG )

Hồ Quang Vinh (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ)

Phương pháp ñổi biến số (ðBS) là một trong những phương pháp (PP) cơ

bản ñể tính tích phân trong chương trình THPT Có thể xem nó là một PP

khá hữu hiệu ñể giải các bài toán thuộc loại trên Trong bài báo này chúng

tôi sẽ sử dụng PP ñó ñể lấy tích phân của một số hàm số có dạng ñặc biệt

Các kết quả sẽ ñược thể hiện qua các mệnh ñề Thông qua các mệnh ñề này

có thể áp dụng chúng vào việc lấy tích phân các hàm số cụ thể, ñồng thời

cũng chỉ ra ưu thế của các mệnh ñề này so với các PP tính tích phân khác

trong việc lấy tích phân của các hàm ñặc trưng Trước tiên chúng ta xét một

kết quả quen thuộc sau:

Mệnh ñề 1 1) Nếu hàm số y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên [ −a ; a ] thì

a

f(x).dx 2 ( ).

a

f x dx

=

2) Nếu hàm số y = f(x) là hàm số lẻ, liên tục trên [ − a ; a ] thì

a

-a

f(x).dx = 0

∫

Chứng minh Nhắc lại, Hàm y = f(x) là hàm số chẵn nếu nó thoả mãn hai tính

chất:

*) Miền xác ñịnh D của hàm có tính ñối xứng, nghĩa là với mọi x thuộc D

thì − x cũng thuộc D;

*) Với mọi x thuộc D thì f(x) = f(−x)

ðịnh nghĩa hàm số lẻ cũng tương tự như trên, nhưng thay tính chất thứ hai

bởi: Với mọi x thuộc D thì − f(x) = f(−x)

1) Ta có a

-a

f(x).dx =

( ) ( ) ( ) ( ).

f x dx f x dx f x dx f x dx

ðBS u = − x , khi ñó du = − dx Khi x = − a thì u = a

Khi x = 0 thì u = 0

f x dx f u du f u du f x dx

−

∫ ∫ ∫ ∫

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ñiều phải chứng minh

2) Câu này ñược chứng minh một cách tương tự như trên nhờ phép ñổi biến

số u = − x và tính chất hàm số lẻ

Nhận xét Như vậy, trước khi tính tích phân ta cần chú ý ñến hai cận, nếu

thấy hai cận ñối nhau thì cần ñể ý ñến tính chẵn lẻ của hàm số dưới dấu tích

phân rồi áp dụng kết quả mệnh ñề 1

Thí dụ 1 1) Chứng minh rằng

1 osx 1 osx

2 .

−

=

2) Tính các tích phân: I1 = 2 2

2

ln( x x 1) dx

−

I2 =

1 2 1 2

1+ x osx.ln( ).

1

x

Lời giải 1) Xét hàm số f(x) = ecosx , f(x) là hàm số chẵn vì :

*) Nó có miền xác ñịnh ñối xứng D = [ − 1; 1]

*) f(− x) = ecos(-x)

= ecosx = f(x) , với mọi x thuộc [ − 1; 1]

Sử dụng kết quả mệnh ñề 1 ta suy ra ñiều phải chứng minh

2) a) Xét hàm f(x) = ln( x + x 2 + 1), hàm này có miền xác ñịnh ñối xứng

D = [−2; 2] Mặt khác ta thấy

2

2

2 2

1 1

ln

1

ln ( 1) ( ).

x x

x x

 − + + + + 

Do ñó hàm f(x) = ln( x + x 2 + 1) là hàm số lẻ.Vậy I1= 0

b) Ta sẽ chứng minh hàm f(x) =cosx.ln 1

1

x x

 + 

 

−

  là hàm số lẻ Thật vậy hàm này có miền xác ñịnh ñối xứng D = [ − 1 1

;

2 2] và có f(− x) = cos(− x).ln 1 osx ln 1+ x ( ) , 1 1;

x

Từ ñó ta kết luận rằng I2 = 0

f a b x dx + − = f x dx

ðặc biệt :

f x dx = f b x dx −

∫ ∫ (4) Chứng minh ðBS u = a + b − x , lúc ñó du = − dx Khi x = a thì u = b , khi x

= b thì u = a Ta có

f a b x dx + − = − f u du = f u du = f x

Cho a = 0 chúng ta nhận ñược công thức (4)

Thí dụ 2 Tính tích phân I = 2

0

.sinx dx

1 + sin

x

x

π

Lời giải Sử dụng công thức (4) ta có

( ).sin( x) dx ( )sinx dx sinx dx sinx dx

1 + sin ( ) 1 + sin 1+sin 1 + sin

π

−

0

sinx dx

2 1 + sin x

π

π ∫ ðBS u = − cosx, du = sinx.dx Khi ñó

I = 1 2

1

2 1 2

du u

−

 + 

Chứng minh Ta có

f(x).dx ( ) ( ).

a

f x dx f x dx

ðBS u = 2a − x thì du = − dx Khi x = a thì u = a; khi x = 2a thì u = 0 Do

f(x).dx (2 )( ) (2 ) (2 ).

a

f a u du f a u du f a x dx

( ) ( ) (2 )

f x dx = f x + f a x dx −

Thí dụ 3 Tính tích phân I = 3

0

sinx sin2x sin3x dx

π

Lời giải Theo mệnh ñề 3, ta thấy

3 2 0 3 2 o

sinx.sin2x.sin3x +sin(3 ).sin 2(3 ).sin3(3 )

(sinx.sin2x.sin3x sinx.sin2x.sin3x).dx 0.

π

π

∫

∫

Mệnh ñề 4 Nếu hàm y = f(x) liên tục trên [a ; b] và f(a + b − x) = f(x) thì ( ) ( ).

2

a b

Chứng minh ðBS u = a + b −x thì du = − dx Khi x = a thì u = b, khi x = b thì u = a Vậy

( ) ( ) ( ) .

x f x dx a b u f a b u du a b u f u du

a b f x dx xf x dx

2

a b

x f x dx = + f x dx

Thí dụ 4 Tính tích phân I = 3

0

.sin

x x dx

π

Lời giải Sử dụng mệnh ñề 4 với f(x) = sin3

x ; a = 0 ; b = π , ta ñược

I = 3

0

sin

2 x dx

π

π

∫ Dễ dàng tính ñược I =2

3

π

Mệnh ñề 5 Ta có hệ thức :

2

Chứng minh ðBS x = π− u thì dx = − du Khi x = 0 thì u = π , khi x = π thì

u = 0 Do vậy

(sinx).dx ( ) (sinu).du (sinx).dx (sinx).dx.

Suy ra

(sinx).dx (sinx).dx

2

Thí dụ 5 Tính tích phân I =

2 0

.sinx.dx 1+cos

x x

π

Theo kết quả của mệnh ñề 5, ta có I = 2

0

sin

2 1 cos

x dx x

π

π

+

∫

ðBS u = − cosx , du = sinx.dx Khi x = 0 thì u = −1 ; khi x = π thì u = 1 Từ

ñó ta tính ñược ngay I = 2

4

π

Mệnh ñề 6 Nếu hàm y = f(x) liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì

0

a

+

=

Chứng minh Hàm y = f(x) tuần hoàn với chu kì T thì f(x) = f(x + T)

0

( ) ( ) ( ) ( ).

f x dx f x dx f x dx f x dx

Nhưng 0

a

f x dx = − f x dx = − f x T dx +

ðBS u = x +T Khi ñó ta có 0 ( ) ( ) ( ).

f x dx f u du f x dx

Từ (*) suy ra ñiều phải chứng minh

Nhận xét Từ kết quả của mệnh ñề 6 ta thấy nếu hàm y = f(x) tuần hoàn với

( ) ( ) ,

f x dx n f x dx = ∀ ∈ n N

Chúng tôi xin tạm dừng tại ñây Mời các bạn sử dụng PP ñổi biến số và kết quả của các mệnh ñề trên ñể giải các bài tập sau:

Bài tập 1 Tính các tích phân sau:

a) I1 = 8 6 7

8

.sin

x x dx π

π

−

b) I2 = 6 5 3

-6

( x − 3 x + x c ) osx.dx

c) I3 = 4

0

ln (1 t anx).dx

π

+

Bài tập 2 Chứng minh các hệ thức sau:

) (1 ) (1 )

1 ) ( ) ( ) ( 0 ; 0 )

2

b x f x dx x f x dx a x

c) Chứng minh rằng nếu hàm y = f(x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thì ta có hệ thức

2

( ) 2 ( ).

T T

f x dx = f x dx

Hồ Quang Vinh

(Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, 187B Giảng Võ, Hà Nội)