ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN TIN HỌC
—OOO—
BÀI TẬP MÔ HÌNH TÀI CHÍNH
NHÓM 1
Đoàn Quyền Vương 1011256 Nguyễn Phương Thảo 1011387
Trần Thị Diễm Trang 1011227
Ngày 3 tháng 5 năm 2013
Trang 2Bài 1 Giả sử một nhà mô giới tin rằng giá trị của một biến đầu tư X trong 2 tháng tới có phân phối đều trên khoảng [-12,24] Tìm VaR của X cho 2 tháng tới đó tại mức tin cậy α = 95%
Giải vì X ∼ U(−12, 24) nên
F (x) =
x + 12
24 + 12 x ∈ (−12, 24)
với mức tin cậy α=0.95 ta có
V aR(x) = −F−1(1 − α) = −F−1(0.05)
= −(0.05 × 24 + 0.95 × −12)
= 10.2 Bài 7 Hàm quantile của 1 phân bố F được định nghĩa như sau
F−1(p) = inf{x : F (x) ≥ p}
Chứng minh
a) F−1(F (x)) ≤ x ∀x ∈ R
Giải
F−1(F (x)) = inf{y : F (y) ≥ F (x)}
Đặt A= {y : F (y) ≥ F (x)}
F−1(F (x)) = inf A
Ta có
F (x) = F (x) ⇒ x ∈ A ⇒ inf A ≤ x ⇔ F−1(F (x)) ≤ x (đpcm) b) F F−1(p) ≥ p ∀p ∈ (0, 1)
Giải
F F−1(p) = P X ≤ F−1(p)
= P (X ≤ inf{x : F (x) ≥ p})
Đặt A = {x : F (x) ≥ p}, x0 = inf A
F F−1(p) = P (X ≤ x0) = F (x0)
Vì x0 ∈ A nên
F (x0) ≥ p ⇒ F F−1(p) ≥ p (đpcm)
Trang 3c) F (x) ≥ t ⇔ x ≥ F−1(t)
F (x) ≥ t ⇒ x ≥ F−1(t) Giải
Đặt A = {x : F (x) ≥ t}, ta có
F (x) ≥ t ⇔ x ∈ A ⇒ x ≥ inf A ⇔ x ≥ F−1(t) (đpcm)
x ≥ F−1(t) ⇒ F (x) ≥ t Giải
x ≥ F−1(t) ⇔ F (x) ≥ F F−1(t)
Vì F là hàm tăng liên tục phải nên không làm đổi dấu bất đẳng thức
F (x) ≥ F F−1(t) ≥ t ⇒ F (x) ≥ t (đpcm) d) F (x) ≥ G(x) ∀x ∈ R ⇔ G−1(p) ≥ F−1(p) ∀p ∈ (0, 1)
F (x) ≥ G(x) ⇒ G−1(p) ≥ F−1(p) Giải
Chọn x = G−1(p), ta có
Áp dụng câu 7b
F G−1(p) ≥ G G−1(p) ≥ p
Áp dụng câu 7c
F G−1(p) ≥ p ⇔ G−1
(p) ≥ F−1(p) (đpcm)
G−1(p) ≥ F−1(p) ⇒ F (x) ≥ G(x) Giải
Chọn p = G(x)
G−1(G(x)) ≥ F−1(G(x))
Vì F là hàm tăng liên tục phải nên không làm đổi dấu bất đẳng thức
F G−1(G(x)) ≥ F F−1
Trang 4Áp dụng câu 7a ta có
x ≥ G−1(G(x)) ⇔ F (x) ≥ F G−1(G(x)) (2)
Áp dụng câu 7b ta có
từ 1,2,3 ta có
F (x) ≥ F G−1(G(x)) ≥ F F−1(G(x)) ≥ G(x)
Hãy suy ra điều kiện tương đương cho FSD (First order Stochastic Domi-nance) viết dưới dạng hàm quantile
Giải
ta đã có
X 1 Y ⇔ G ≥ F
Áp dụng câu 7d ta có
G ≥ F ⇔ F−1 ≥ G−1
Vậy điều kiện tương đương cho FSD viết dưới dạng hàm quantile là
X 1 Y ⇔ F−1 ≥ G−1 Bài 2.1 Provide an example to show that the MV rule might not be consistent with
expected utility criterion for risk averse decision makers Specifically, find two random variables with distribution function F, G respectively, with EX ≥ EY and σ2(X) ≤ σ2(Y ), and a utility function u (nondecreasing and concave) such that Eu (X) < Eu (Y )
Giải
Cho 2 biến ngẫu nhiên X,Y có phân phối thỏa điều kiện sau
P(X) 0.2 0.8
P(Y ) 0.8 0.2
Xét quy luật MV
X ≥M V Y ⇔
(
EX ≥ EY VarX ≤ VarY
Trang 5ta có
EX = 0.2 × 2 + 0.8 × 12 = 10 EY = 0.8 × 8 + 0.2 × 18 = 10 VarX = E X2 − (E(X))2
= 16 VarY = E Y2 − (E(Y ))2
= 16
Vậy EX = EY và VarX = VarY
Xét tiêu chuẩn SSD
X 2 Y ⇔ Eu(X) ≥ Eu(Y ) ∀u ∈ U2
Xét hàm không giảm và lõm u(x) = log x, ta có
Eu(X) = log 2 × 0.2 + log 12 × 0.8 ≈ 0.924 Eu(Y ) = log 8 × 0.8 + log 18 × 0.2 ≈ 0.973
Nên Eu(X) < Eu(Y ) trái với tiêu chuẩn SSD
Bài 2.3 Let X, Y be two random variables taking values in an interval [a, b] Show that
(a) If X 1 Y then X 2 Y
Giải
X 1 Y ⇔ F (x) ≤ G(x) ⇔ G(x) − F (x) ≥ 0
⇔ Z
R
G(x) − F (x)dx ≥ 0 ⇔
Z x
−∞
G(x) − F (x)dx ∀x ∈ R ⇔ X 2 Y (đpcm) (b) If X 2 Y then EX ≥ EY
Giải
X 2 Y ⇔ Eu (X) ≥ Eu (Y ) ∀u ∈ U2
Chọn u0(X) = X, u0(Y ) = Y Ta có u0 ∈ U2 Nên
Eu0(X) ≥ Eu0(Y ) ⇔ EX ≥ EY (đpcm) (d) If X 2 Y and EX = EY , then Var (X) ≤ Var (Y )
Giải
X 2 Y ⇔ Eu(X) ≥ Eu(Y ) ∀u ∈ U2
Chọn u0(X) = −X2, vì u000(X) = −2 < 0 nên u0 là hàm lõm, giả định b < 0 nên u0 luôn tăng trong đoạn [a, b], vậy u0 ∈ U2
Áp dụng 2.3c ta có
Eu0(X) ≥ Eu0(Y ) ⇔ E −X2 ≥ E −Y2 ⇔ E X2 ≤ E Y2
vì E(X) = E(Y ), nên
E X2 − (E(X))2
≤ E Y2 − (E(Y ))2
Trang 6Bài 3.9 Let h : [0, 1] → [0, 1] such that h(0) = 0, h(1) = 1 and nondecreasing Let µ = h◦P
(a) Let
Cµ(X) =
Z ∞ 0
µ (X > t) dt −
Z 0
−∞
[1 − µ (X > t)] dt Show that
Cµ(X) =
Z 1 0
FX−1(1 − α)dh(α) Giải
(b) For α ∈ (0, 1), let hα = I(1−α,1](x) Verify that
V aRα(X) = FX−1(α) =
Z 1 0
FX−1(1 − t)dhα(t)
Giải ta có
F−1(α) =
Z F−1 0
dt =
Z 0 {t:t<F −1 (α)}
dt
=
Z 0 {t:F (t)<α}
dt =
Z 0 {t:1−F (t)>1−α}
dt
=
Z ∞ 0
I(1−α,1)(1 − F (t)) dt
hα[0, 1] → [0, 1] và h(0) = 0, h(1) = 1 nên
F−1(α) =
Z ∞ 0
hα(1 − F (t))dt =
Z ∞ 0
hα P(X > t)dt
=
Z ∞ 0
h0P(X > t)dt =
Z ∞ 0
µ(X > t)dt
(1)
Theo câu a ta có
Z 1 0
FX−1(1 − t)dhα(t) =
Z ∞ 0
µ(X > t)dt −
Z 0
−∞
[1 − µ(X > t)]dt
=
Z ∞ 0
µ(X > t)dt +
Z 0
−∞
[µ(X > t) − 1]dt
Xét
Z 0
−∞
[µ(X > t) − 1]dt =
Z 0
−∞h (P(X > t)) − 1dt
=
Z 0
−∞
h (1 − F (t)) − h(1)dt
=
Z 0
−∞
h (1 − F (t) − 1) dt
=
Z 0
−∞
h (−F (t)) dt
=
Z 0
−∞
−h (F (t)) dt =
Z 0
−∞
−h (P(X < t)) dt
(*)
Trang 7Ta thấy t ∈ (−∞, 0), vậy P(0) = 0 ⇒ h(0) = 0
Vậy (∗) = 0 ⇒
Z 0
−∞
[µ(X > t) − 1]dt = 0 Vậy
Z 1 0
FX−1(1 − t)dhα(t) =
Z ∞ 0
[µ(X > t) − 1]dt (2)
Từ 1,2 ta có
FX−1(α) =
Z 1 0
FX−1(1 − t)dhα(t)
(c) For α ∈ (0, 1), let hα = min{1, x
1 − α} Verify that
Z 1 0
FX−1(1 − t)dhα(t) = 1
1 − α
Z 1 α
FX−1(t)dt Giải