Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số với m 2.. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 4.. Viết phương trình đường tròn C.. M,N lần lượt là trung điểm của AB v
Trang 1SỞ GD & ĐT THANH HÓA ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG 12
TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN Năm học 2016 - 2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút
Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số 4 2 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m 2
2 Tìm các giá trị của tham số m để hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) trên khoảng (0; ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 8
Câu II (4,0 điểm)
2.Giải bất phương trình
1
x
x
Câu III (4,0 điểm)
1 Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm với mọi b
1
2 ) 1 ( ) 1 (
2 2 2
y x bxy a
b
2 Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn xyz x z y Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 2 2 2
x y z
Câu IV (4,0 điểm)
1 Cho X là tập hợp gồm tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn 10 2016 Chọn 1 số từ tập
X Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 4
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABCD là hình thang vuông tại A và D
(với CD > AB) có AB 3
AD4, BC = 5 Đường tròn (C) đường kính BC cắt CD tại E,
AE cắt (C) tại F, biết phương trình CF: 7x 24y 35 0 , điểm B có hoành độ bằng
2 và tung độ dương Viết phương trình đường tròn (C)
Câu V (4,0 điểm)
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại B và C với
2a 4CD
2BC
AB M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC Hai mặt phẳng (SMN) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SB hợp với (ABCD) một góc 600 Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa 2 đường thẳng
SN và BC
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 3
x y z
phẳng (P): 2x y 2z 3 0 Viết phương trình mặt cầu bán kính bằng 5, có tâm thuộc đường thẳng và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 3
……… HẾT……….
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM HSG 12 (2016 – 2017).MAT
Trang 2I Nội dung Điểm
Tập xác định:D = R
Sự biến thiên:
3 2
y' = 4x - 8x = 4x(x - 2)
………
Đồ thị:
f(x)=x^4-4x^2+3
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
x y
- Hệ số góc của tiếp tuyến là: y' 4 x3 4mx
Xét hàm số f x( ) 4 x3 4mx trên khoảng (0; )
f x x m x m
- Nếu m 0 f x'( ) 0 thì f x( ) không có GTNN trên khoảng (0; )
- Nếu m 0; f x'( ) 0 x m/ 3
x 0 m/ 3 +
f’(x) - 0 +
f(x)
8
m m
- GTNN của f(x) trên khoảng (0; ) là 8 8 3
m m
m
(t/m) Vậy m 3 thỏa mãn đkbt
1
- Với sin cos 0 t an 1
4
- Với
2
3
x k
Vậy pt có nghiệm x k 2 ;
4
3
x k với k
2 x
Trang 3Bpt tương đương 2 1 2 2 12
x
x
2
x
x
2
f x
Suy ra f(x) là hàm nghịch biến với 1
2
x
7
2
x f x f
Suy ra x 5 0 x 5; bpt có nghiệm 1 x 5
-TH2: 1 1
x
x
2
x
2 x f f x f 2 2 f x 6
Suy ra x 5 0 x 5 (loại)
Vậy bpt có nghiệm 1 x 5
1 *Đkc: do hệ có nghiệm với mọi b, nên hệ phải có nghiệm khi b=0
Suy ra a=0 hoặc a=1
*Đkđ:
+> a=0 hệ không thể có nghiệm với mọi b
+> a=1 hệ có nghiệm x=y=0 với mọi b
Vậy a=1 thỏa mãn ycbt
IV
1 Số các số tự nhiên nhỏ hơn 10 2016 là 10 2016 số , suy ra không gian mẫu là
=10 2016
Các số này có nhiều nhất 2016 chữ số và có được bằng cách viết các chữ
số 0 , 1,2,3,4,5,6,7,8,9 vào dãy 2016 ô trống theo 1 hàng ngang
Gọi A là biến cố : Số được chọn có tổng các chữ số bàng 4
Tìm A tức là tìm số các số được viết từ các bộ (0;4) hoặc (0,1,3) hoặc
(0,2,2) Hoặc (0,1,1,1,1) hoặc (0;1;1;2) vào dãy 2016 ô trống
+ Đối với bộ (0,4) chọn một ô viết chữ số 4;còn lại là các chữ số 0 nên
có 1
2016
C số
+ Đối với bộ (0,1,3) chọn một ô viết chữ số 1 và một ô viết chữ số 3 nên
có 1
2016
2015
C số + Đối với bộ (0,2,2) chọn hai ô viết hai chữ số 2 và nên có 2
2016
C số + Đối với bộ (0,1,1,2) chọn hai ô viết hai chữ số 1 và một ô viết chữ số 2
nên có 2
2016
2014
C số + Đối với bộ (0,1,1,1,1) có 4
2016
C số Vậy A = 1
2016
C + 1
2016
2015
C + 2
2016
C + 2
2016
2014
C + 4
2016
C
A
2.00
Trang 42 A B - Ta có EBA đồng dạng CFB
3
4
Mà BF2 CF2 BC2 25 suy ra
BF 3,CF 4
F - Gọi B(2;y) ta có
D E C
, 2 2
3
B CF
y
B(2;4)
- Tọa độ điểm C là nghiệm của hpt
67 / 25; 56 / 25
- Vậy pt đường tròn (C): 7 2 2
2
x y
V
1 Do hai mặt phẳng (SMN) và (SBD)
cùng vuông góc với (ABCD)
SH (ABCD)
Dễ thấy ,BH là hình chiếu vuông góc của SB mặt phẳng đáy,suy ra SBH 60 0
Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB và BC,mà
AB=4CD nên MN BDtại H AB=4CD nên
Xét tam giác BMN ta có
2
1
1
1
5
Xét tam giác SHB lại có : tan( SHM ) HB SH SH=BH.tan600=
5
5
a
Ta có S ABCD (CDAB).BC
2
1
4
5 ).
2 2
( 2
a a
a
ABCD ABCD
3
1
12
15 4
5 5
a
+) Tính khoảng cách giữa SN và BD
Do BD (SMN)
MN
BD
SH
BD
Dựng KH vuông góc với SN suy ra HK là đoạn vuông góc chung của SN và BD suy ra d(BD,SN)=HK
Xét tam giác BHN có :HN BN2 BH2 =
5 4
2
a
=
10
5
a
Xét tam giác SHN ta có: 2
1
1
1
5 20
a
65
a
65
3
a
HK
Vậy d(BD,SN)
65
3
a
HK
2 - Gọi tâm mặt cầu là I( ;1 2 ;3 2 )t t t
S
B
C N
K
M A
D
H
Trang 5Suy ra 2 2
,( )
3
I P
t
- Với 1 ( ;0; )1 7
x y z
- Với 5 ( 5;6; )1
x y z