Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của đồ thị hàm số 1.. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đỉnh C có tung độ dương và diện tích tam giác ABC bằng 2.. Tính thể
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 3
******
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán 12 Thời gian làm bài: 150 phút
******
Câu 1 (4,0 điểm) Cho hàm số: 2 4 1
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của đồ thị hàm số (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A có hoành độ x0 = 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M nằm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1; biết rằng tiếp tuyến cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho: 3 MA 2MB
Câu 2 (4,0 điểm)
1 Giải phương trình: cos 2 3 1 sin 2 cos 2sin 2x 2sin 1
x
2 Giải hệ phương trình:
2 2
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 2a2b2c2 ab bc ca 3
Tìm giá trị lớn
nhất của:
3
S a b c
a b c
2 Tìm a để phương trình sau có 3 nghiệm
x4 6x311 2 a x 2 6 1 a x a 2 3a0
Câu 4 (4,0 điểm).
1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 6 n11 2 160
C A
Tìm hệ số của x7 trong khai triển
1 2 x3 2xn
2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A1; 2
, B3;4
và đỉnh C nằm trên
đường thẳng d: 2x y 4 0 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đỉnh C có tung độ dương và diện tích tam giác ABC bằng 2.
Câu 5 (4,0 điểm)
1 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A1; 2;1
, B 2;1;3
, C2; 1;1 , D0;3;1
Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện Tính thể tich khối tứ diện đó.
2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; SA vuông góc với mặt đáy (ABCD); AB2a ; AD CD a Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 600
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo a.
**************** HẾT *****************
Trang 2Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT THƯỜNG XUÂN 3
********
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIOI LỚP 12
NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
*******
Câ
1 1 Khảo sát sự biến thiên …
* Tập xác định:
* Sự biến thiên của hàm số
- Giới hạn của hàm số tại vô cực và giới hạn vô cực
1
x y
x
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng: y 2
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng: x 1
0.5 điểm
- Bảng biến thiên
2
2
1
x
x 1
y' + +
y
2
2
0.5 điểm
Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1;
Hàm số không có cực trị
0.5 điểm
điểm
Trang 35 4 3 2 1
-1 -2
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị …
- Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình: y = 2x - 4
Gọi
0 0 0
; 1
x
M x
x
với x 0 1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
0 0 2
0 0
2
1 1
x
x x
0.5 điểm
Tiếp tuyến cắt trục hoành Ox tại 2
0 4 0 2;0
A x x
, cắt trục tung Oy tại
2 0 0
0;
1 1
B
x x
0.5 điểm
Ta có:
0
3 2;
1
x
x
0
0
2
;
1
x
x
Nên
2
0
2
0.5 điểm
Từ đó: M3;1
Phương trình tiếp tuyến cần lập:
y x
0.5 điểm
2
Giải phương trình: cos 2 3 1 sin 2cos 2sin 2x 2sin 1
x
Điều kiện: 2cosx 1 0
Phương trình đã cho tương đương với:
2cos 1 2sin 1 cos 2 3 1 sin
2cos 1
x
0.5 điểm
cos 2x 3 1 sinx 2sinx 1
1 sinx 2sinx 3 0
0.5 điểm
Trang 4sin 1
3 sin
2
x
x
2
x x k k Z
2
sin
2 2
2 3
0.5 điểm
Đối chiếu điều kiện, ta có các nghiệm của phương trình đã cho là:
2 2
x k
và
2 2 3
x k
(với k Z )
0.5 điểm 2
Giải hệ phương trình:
2 2
Điều kiện:
3 3
x y
Ta có:
1 x32xy 232y 2 3
0.5 điểm
Xét hàm số: f t t3 2t có f t' 3t2 2 0, t R
Nên hàm số đồng biến trên R
Bởi vậy: 3 f x f y 2 x y 2 y x 2 4
0.5 điểm
Thay (4) vào (2):
2
3 x x1x x2 10x 5 x2 22
2
3 x x 1 2x 11x 16
0.5 điểm
x
x
5 x 2 y 4
x
Vì x nên 7 23 x và 1
1
1
3 x1
x
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất
2 4
x y
0.5 điểm
Trang 5Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn 2a2b2 c2ab bc ca 3
Tìm giá trị lớn nhất
của:
3
S a b c
a b c
Với a, b, c là các số dương ta có:
2
3
a b c
a b c
3
a b c
ab bc ca
Bởi vậy:
2
2
a b c a b c
a b c
Từ đó:
0 a b c 3
0.5 điểm
Ta có:
2
3
a b c
a b c ab bc ca ab bc ca
Nên:
2
a b c
a b c
Bởi vậy:
a b c
0.5 điểm
Xét hàm số 1 2 1 3
f t t
t
với 0 t 3
t
Nên hàm số đồng biến trên 0;3
Bởi vậy:
3 , 0;3
f t f t
Hay 17
6
f t
0.5 điểm
Suy ra:
17 6
S
Dấu “=” xảy ra khi a b c 1
Vậy:
17 max
6
S
khi a b c 1
0.5 điểm
3.2
+ x4 6x311 2 a x 2 6 1 a x a 2 3a0
2
2
4 3 2
x x a
0.5 điểm
Trang 6+ Trong mặt phẳng tọa độ xét đồ thị 2 hàm số y x 2 4x3,y x 2 2x có
một điểm chung
3 3
;
2 4
0.5 điểm
0.5 điểm
Phương trình có 3 nghiệm khi đường thẳng y = a có 3 điểm chunng với 2 đồ thị
hàm số
3 4
a
0.5 điểm
4.1 Tìm hệ số của…
Với n nguyên dương, ta có:
1
10
n
n
Vậy n 8
0.5
Bài toán trở thành: Tìm hệ số của x7 trong khai triển 1 2 x3 2x8
Ta có: 1 2 x3 2x8 2x8 2x32x8
0.5 điểm
*
8
8 1
k
Số hạng chứa x7 là: 2C x87 7 16x7
*
8 8
8 1
k
Số hạng chứa x7 là: 2 2x C3 84 4 4x 2240x7
0.5 điểm
Vậy, hệ số của x7cần tìm là: 16 2240 2224 0.5
điểm
4.2 Tìm tọa độ điểm M trên elip …
Ta có: a3;b 5;c 9 5 2
Tọa độ tiêu điểm: F12;0 ; F22;0
Gọi M x y 0; 0 E nên
9 5
x y
0.5 điểm
điểm
Trang 72 1 1 2 2 1 2.cos 1 2
MF MF F F MF MF MF F
3
4
điểm
Thay 0
3 4
x
vào (*) ta có:
2
2
2 0
3
y
Như vậy:
3 5 5
;
4 4
M
hoặc
3 5 5
;
M
0.5 điểm
5.1 Tính thể tích khối tứ diện…
Ta có: AB 3; 1; 2 ; AC1; 3;0 ; AD 1;1;0
0.5 điểm
điểm
Do AB AC AD; . 4 0
nên AB AC AD; ;
không đồng phẳng Hay 4 điểm A, B, C, D
là 4 đỉnh của tứ diện
0.5 điểm
Thể tích tứ diện ABCD:
V AB AC AD
điểm 5.2 Tính thể tích khối chóp S.CDMN
;
điểm
Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB, cắt các cạnh SA, SD lần
lượt tại M, N, khi đó MN/ /AB và
2 3
SM SN
SA SB
Ta có:
.
.
S CDM
S CDA
V SC SD SA
2
.
S MNC
S ABC
0.5 điểm
Bởi vậy:
V V V V V V
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB2a ; AD CD a nên BC AC
Mặt khác SA mp ABCD nên mp SBC mp ABC ; D SC AC; SCA
Từ đó ta có: SCA 600
0.5 điểm
Trong tam giác SAC vuông tại A, có AC a 2 và
SA AC SCA a a
0.5 điểm
Trang 8
3
V S SA SA a a a a Vậy:
3
3
14 6 7 6
S CDMN
a
N
C
S
D