SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LẦN 1TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 Môn thi: TOÁN Đề thi gồm 01 trang Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề.. Khảo sát sự biến
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LẦN 1
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2 Môn thi: TOÁN
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề.
Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y x 3 3x21 có đồ thị C
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.
2 Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị C sao cho tiếp tuyến của C tại A và B song song với nhau và có độ dài đoạn AB 4 2.
Câu II (4,0 điểm).
1 Giải phương trình cos cos cos3 sin sin sin3 1
2
2
17
2 9 12 34 2 13 3 17 6
x
y
Câu III (4,0 điểm).
1 Giải hệ bất phương trình
2
3
2 3 log 5 4
2
2 Cho ,x y thỏa mãn 0 x y xy2 2 x y 3 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
xy
P x y
xy
Câu IV (4,0 điểm).
1 Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển 345124
2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 9 3; ,
2 2
I
có phương trình đường thẳng
BC là x3y 4 0. Gọi ,E F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC
thỏa mãn EF 2 2, biết điểm K6;1 thuộc đường thẳng AC diện tích , AEIF bằng 5 và tung
độ điểm C âm Tìm tọa độ các đỉnh , , A B C
Câu V (4,0 điểm).
1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, A Ba C,B a 3 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm Hthuộc đoạn BD sao cho 4BH BD
Góc giữa SD và mặt phẳng đáy ABCD bằng 60 Tính thể tích khối chóp0 S ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC
2 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm M1; 2;1 và mặt phẳng
P : 2x 2y z 20 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng P
b) Viết phương trình mặt cầu S có tâm nằm trên , d bán kính bằng 5 và cắt P theo
một đường tròn có chu vi bằng 6
-Hết -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
(Gồm 05 trang)
I.
1.
Cho hàm số y x 3 3x21 có đồ thị C
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số. 2đ
lim ; lim
' 3 6 ; ' 0
2;
x
y x x y
x
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 2; Hàm số nghịch biến trên khoảng 0; 2 ;
Hàm số nhận giá trị cực đại y CD1 tại x CD 0 Hàm số nhận giá trị cực tiểu y CT 3 x CT 2
Đồ thị:
Đồ thị hàm số nhận U1; 1 làm điểm uốn
0.50
0.50
0.50
0.50
2 Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị C sao cho tiếp tuyến của C tại A và
B song song với nhau và có độ dài đoạn AB 4 2. 2đ
Giả sử A a a ; 3 3a21 ; B b b; 3 3b21 thuộc C với a b
Theo bài ra ta có: y a' y b' a b a b 2 0 b 2 a a; 1
Ta có AB b a 2b3 3b2 1 a33a212
b a2 b a3 3ab b a 3b a b a 2
0.50
Trang 3b a2 b a 2 b a2 3ab 3.22
b a2 b a 2 b a2 ab 62 b a2 b a 2 2 ab2
2
2
Suy ra: 3; 1
1; 3
0.50
0.50
0.50
II.
1.
Giải phương trình cos cos cos3 sin sin sin3 1 *
* 1cos cos 2 cos 1sin cos 2 cos 1
cos 2 cosx x sinx 1 cos x sin cosx x
2 cos 2 cos sin sin sin cos cos sin cos 2 sin 0
1 sin
2
x x x
1.00
1.00
2 Giải hệ phương trình
2
2
17
x
y
2đ
ĐKXĐ: 0 17; x 0;63 14 x 18 y 0
6
y
2 x32x2 9x17 6 y 17 6 y2 17 6 y9 17 6 y
2 17 6
17 6
0
x
Từ đó
2
2 2
6
y
y
Đặt u 2 x v; x
3 3u v 2 3u2 2v2
1
3
3
3
x
u v
u v
u v
u v
VN
0.50
0.50
Trang 4Vậy hệ có nghiệm duy nhất
1 8 3
x y
0.50
0.50
III.
1.
Giải hệ bất phương trình
2
3
2 3 log 5 4
2
Từ 1 ta có:
2
2 3 log 5
Từ đó 2 4y y 1 y32 8 y23y 0 3 y 0
Kết hợp với * suy ra: 2
1 3 3
3
x y y
y
1.00
1.00
2.
Cho ,x y thỏa mãn 0 x y xy2 2 x y 3 xy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
xy
P x y
xy
Ta có
x y xy x y xy xy x y x y xy x y
y x
Lại có x y 1 1 3 4 3 x y2 3x y 4 0
4 *
x y
xy x y x y xy
xy x y x y xy
Nên P x y2 2 1 x y2 1 3
t
4 71
4
Pf t f
4
P khi x y
0.50
0.50
0.50
0.50
IV 1 Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển
Số hạng tổng quát thứ k 1 là
124
2 4
1 124.3 5 ; 0 124;
k k
124
2 4
1 124.3 5
k k
là số hữu tỉ khi
0.50
Trang 5C
A
B
E F
I
S
H E K
4 4
0 124 0; 4;8 ;124
k
k k
k
k k
Đây là CSC có u10;d 4;u n 124 u n u1n1d n32
Vậy có 32 số hạng là số hữu tỉ trong khai triển 345124
0.50
1.00
2.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 9 3; ,
2 2
I
có phương trình đường thẳng BC là x3y 4 0. Gọi ,E F lần lượt là chân đường cao kẻ
từ B và C của tam giác ABC thỏa mãn EF 2 2, biết điểm K6;1
thuộc đường thẳng AC diện tích , AEIF bằng 5 và tung độ điểm C âm
Tìm tọa độ các đỉnh , , A B C
2đ
Cần chứng minh cho AI EF
Xét tứ giác AEIF có AI EF
Nên
AEIF
S AI EF IA R
hệ
x y
Hay C7; 1 B1;1
Phương trình đường thẳng AC: 2x y 13 0
Suy ra A4;5
0.50
0.50
0.50
0.50
V 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
A Ba Ca Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là
điểm Hthuộc đoạn BD sao cho BH 4BD. Góc giữa SD và mặt phẳng
đáy ABCD bằng 60 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD và khoảng cách
từ A đến mặt phẳng SBC
2đ
Tính thể tích khối chóp
Ta có
BD AB AD a
a
DH BD
600
SDH
0 3 3 tan 60
2
a
h SH HD
3
Tính khoảng cách
Ta có dA;SBC 4d H SBC ; 4.HK
0.50
0.50 0.50
Trang 62 2 2 2 2 2
HK SH HE a a a
a
0.50
2.
Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm M1; 2;1 và mặt phẳng
P : 2x 2y z 20 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với
mặt phẳng P
b) Viết phương trình mặt cầu S có tâm nằm trên , d bán kính
bằng 5 và cắt P theo một đường tròn có chu vi bằng 6
2đ
a) Phương trình tham số của đường thẳng d là:
1 2
1
b) Gọi I1 2 ; 2 2 ;1 t t td là tâm của mặt cầu cần tìm
Chu vi của đường tròn giao tuyến 2 r6 r3
Ta có d I P ; R2 r2 52 32 4
Hay
2
4
25 9
59 68 34
9
9 13 12
11 20 10
t I t
t
I
Vậy có hai mặt cầu:
1
2
0.50
0.50
0.50
0.50
Mọi cách giải đúng khác đáp án vẫn cho điểm tương ứng như hướng dẫn chấm