Chuyen de: Tinh chat chia het

Chuyên đề: Tính chất chia hết trong tập N I... 3 DÊu hiÖu chia hÕt cña c¸c sè tù nhiªn a... Một số tính chất 3.. Một số dấu hiệu chia hết II.. Một số dạng toán 1.Dạng toán1: Chứng minh

Chuyên đề: Tính chất chia hết trong tập N

I Lý thuyết:

1) Định nghĩa:

Với 2 số tự nhiên a,b (b khác 0), luôn tồn tại 2 số tự nhiên q

v r sao cho a=b.q+r v ià r sao cho a=b.q+r với ới ( 0 r  b)

Nếu r=0 thì a=b.q => (a là bội của b và b là ớc của a) Nếu thì a b và r là số d của phép chia a cho b

Với a,b,c là các số tự nhiên ta có:

2) Một số tính chất

a

a



b

c b

a  

0



c c

a

c

b

a

0



r

với

2.1

2.3 Nếu và thì với

Suy ra: NÕu a  b  c vµ a c th× b c víi c  0

2.5NÕu a c th× k  a c víi c  0 , k  N

Suy ra: NÕu a c vµ b c th×  m  a n b   c víi c  0

vµ m  , n N

NÕu a c th× a n cn víi c  0 , n  N

2.6NÕu a m vµ b n th× a  b m n víi m  n N *

2.7NÕu a b a c

c b

a  b ,  c 0

vµ mµ b vµ c nguyªn tè cïng nhau th×

víi

2.8NÕu a  b c mµ b vµ c nguyªn tè cïng nhau th× a c

víi c  0

2.9NÕu an  p mµ p lµ sè nguyªn tè th× a p

2.10 NÕu a bvµ a c th× a BCNN ( c b , ) víi b ,  c 0

c a b c

3) DÊu hiÖu chia hÕt cña c¸c sè tù nhiªn

a DÊu hiÖu chia hÕt cho 2 (hoÆc 5)

2



Aa (hoÆc 5)  a  2(hoÆc 5)

b DÊu hiÖu chia hÕt cho 3 (hoÆc 9)

3

1 0

2

1a a a 

a

  an  an1  a n 2   a1  a0   3

(hoÆc 9)

(hoÆc 9)

c DÊu hiÖu chia hÕt cho 4 (hoÆc 25)

4



Aab (hoÆc 25)  ab  4(hoÆc 25)

d DÊu hiÖu chia hÕt cho 8 (hoÆc 125)

8



Aabc (hoÆc 125)  ab c8 (hoÆc 125)

e DÊu hiÖu chia hÕt cho 11

11



A  Tæng c¸c ch÷ sè ë hµng ch½n trõ ®i tæng c¸c ch÷ sè ë hµng lÎ cña sè A lµ mét sè chia hÕt cho 11 (víi

tæng c¸c ch÷ sè ë hµng ch½n lín h¬n tæng c¸c ch÷ sè ë hµng lÎ)

5

Chuyên đề:

Tính chất chia hết trong tập N

I Lý thuyết:

1 Định nghĩa

2 Một số tính chất

3 Một số dấu hiệu chia hết

II Một số dạng toán

1.Dạng toán1: Chứng minh tính chất chia hết

b a

II Mét sè d¹ng to¸n

1 D¹ng to¸n 1: Chøng minh tÝnh chÊt chia hÕt

VÝ dô 4: Chøng minh tÝnh chÊt: NÕu a c b c a  b  c

víi a , b , c  N ; c  0

Gi¶i: V× a c => a=k.c víi k  N

V× b c => b=q.c víi q  N

=> a+b=k.c+q.c= (k+q).c  c k  q  N

v×

=> a+b  c

* Víi phÐp trõ vµ mét sè tÝnh chÊt kh¸c ta còng chøng

minh t ¬ng tù nh vËy

VÝ dô 5: Chøng minh dÊu hiÖu chia hÕt cho 25

25

Aab 

Gi¶i: Ta cã: Aab 100.A  ab  25 4 A  ab

NÕu Aab 25  ( 25 4 A  ab)  25 mµ 25 4 A 25  ab25

NÕu ab 25 mµ 25 4 A 25  (25.4.A  ab)25 => Aab 25

VËy Aab  25  ab  25

*Víi c¸c dÊu hiÖu chia hÕt cho 4; 8; vµ 125 ta còng cm t ¬ng tù cßn dÊu hiÖu chia hÕt cho 11 th× cm t ¬ng tù nh dÊu hiÖu chia hÕt cho 3 vµ 9

2 D¹ng to¸n 2: Chøng minh biÓu thøc chia hÕt cho mét sè

VÝ dô 6: Chøng tá r»ng:

a) TÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2

b) TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3 Gi¶i:

a) Gäi 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã d¹ng a, a+1 (a  N)

V× a  N nªn a cã thÓ ch½n hoÆc lÎ

C¸ch 1:

NÕu a ch½n => a2 => a.(a  1 )  2

NÕu a lÎ => a+1 ch½n => a 12 => a.(a  1 )  2

VËy tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2

C¸ch 2:

V× a  N nªn a chia 2 cã thÓ d 0 hoÆc 1, tøc lµ a cã d¹ng

2k hoÆc 2k+1 (k  N)

NÕu a=2k mµ 2 k 2  a  2 => a.(a  1 )  2

NÕu a=2k+1 => a+1=2k+2 = 2.(k+1)  2 => a.(a  1 )  2

VËy tÝch cña 2 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2

b) TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3

Gäi 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ a, a+1, a+2 (a  N)

V× a  nªn a cã thÓ nhËn 1 trong c¸c d¹ng 3k, 3k+1, 3k+2 N

víi (k  N)

NÕu a=3k mµ 3 k 3 => a3 => a.(a 1).(a  2)3

NÕu a=3k+1 => a+2= 3k+1+2=3k+3 =3.(k+1) 3

3 2



 a => a.(a 1).(a  2)3

NÕu a=3k+2 => a+1= 3k+2+1=3k+3 =3.(k+1) 3

3 1



a

=> => a.(a 1).(a  2)3

Suy ra tÝch a.(a 1).(a  2)3 víi a  N

VËy tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 3

? TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 2 kh«ng?

Suy ra tÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp cßn chia hÕt cho sè nµo? V× sao?

* NhËn xÐt: TÝch cña 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho 6

TÝch cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp chia hÕt cho n víi n kh¸c 0

*Dự đoán Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho mấy ? Giải: Tích của 2 số chẵn liên tiếp có dạng 2k.(2k+2), (k  N)

Ta có 2k.(2k+2) = 2k.2.(k+1) = 4.k.(k+1)

mà k.(k+1) 2=> 4.k.(k+1) 8

Vậy tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

* Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

? Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho số nào?

Giải: Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp có dạng

A = a.(a+1).(a+2).(a+3).(a+4), (a  N)

Theo ví dụ 6 suy ra A 3 và A  5

mà trong 5 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất 2 số chẵn liên tiếp nên tích của 2 số chẵn đó chia hết cho 8  A8

Vì A 3; 5 và 8 mà 3; 5 và 8 là các số nguyên tố cùng nhau

) 8 5 3 (



A

*Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

VÝ dô 7: Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3

Chøng minh (p-1).(p+1) chia hÕt cho 24

Gi¶i:

V× p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3  p  N vµ p >3 nªn p-1, p, p+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp

=> TÝch (p-1).p.(p+1) 3 (theo VD6)

mµ p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 => p lµ sè lÎ vµ p  3

=> ( p  1).( p 1)3 (1)

V× p lµ sè lÎ nªn p-1 vµ p+1 lµ 2 sè ch½n liªn tiÕp

=> ( p  1 ).( p  1 )  8 (2)

Tõ (1) vµ (2) => (p-1).(p+1) 24(v× 3 vµ 8 lµ 2 sè nguyªn

tè cïng nhau) VËy víi p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× (p-1).(p+1) chia hÕt cho 24

Ví dụ 8: Chứng minh rằng 10 n 2 chia hết cho 3 nh ng

không chia hết cho 9 với n  N *

*Chứng minh: 10n  23

-Cách 1: Ta có 10n  2 10n  1  3  999 9  3 

9  



cso n

) 1 3

33 (

3

3









cso n





 3 333 3 3 1

3  



cso n

3



3 2

-Cách 2: Ta có 10  2 100 0  2 

0  



cso n

0 ) 1 (   

cso n

Vì số 100 02

0 ) 1 (







cso n

có tổng các chữ số là 1+2=3 3

nên số 100 02

0 ) 1 (







cso n

3



-Cách 3: Vì 10 chia 3 d 1 nên 10n chia 3 d 1 n 1

2

10 n

=> chia 3 d 1+2=3 mà 3 chia 3 d 0

=> 10 n 2 chia 3 d 0  10n  23 (đpcm)

Trong 3 cách làm bên, theo

em cách làm nào

dễ nhất?

Có thể làm

ý 2 theo cách đó đ

ợc không?

Em hãy thực hiện?

*Chứng minh: 10n  29

Ta có 10  2 100 0  2 

0  



cso n

0 ) 1 (  

cso n

có tổng các chữ số là 3

mà 3 không chia hết cho 9 => 10n  29

Vậy 10 n 2 chia hết cho 3 nh ng không chia hết cho 9 ,n  N *

? Em hãy đặt yêu cầu khác cho bài toán mà không làm

thay đổi lời giải của bài toán?

*Nhận xét: Bài toán trên có thể đặt yêu cầu khác là: Tìm số d của phép chia số 10 n 2 cho 3, cho 9 ,n  N *

*Vận dụng: Tìm số d của phép chia số 10100  8 cho 3, cho 9

*Vậy để chứng minh một biểu thức M chia hết cho một số tự nhiên a khác 0 ta làm nh thế nào?

*Nhận xét:

*Nhận xét: Để chứng minh một biểu thức M chia hết cho một

số tự nhiên a khác 0 ta làm nh sau:

N

K 

- Cách 2: Chứng tỏ rằng M chia a d 0

- Cách 1: Đ a biểu thức M về dạng M=a.K với

- Cách 3: Dựa vào dấu hiệu chia hết (trực tiếp hoặc gián tiếp) (gián tiếp: Tức là chứng tỏ M chia hết cho tất cả các số tự nhiên x,y,… khác 0 mà x,y,… là các số nguyên tố cùng khác 0 mà x,y,… khác 0 mà x,y,… là các số nguyên tố cùng là các số nguyên tố cùng nhau và tích x.y… khác 0 mà x,y,… là các số nguyên tố cùng = a)

Ngoài ra còn có rất nhiều cách chứmg minh khác nữa, các em

sẽ đ ợc tìm hiểu dần trong hoc kì II và ở lớp 7,8,9

§Ó cñng cè nhËn xÐt trªn, ta lµm bµi tËp sau:

Gi¶i:

- C¸ch 1: Ta cã 10.(a+4b)=10a+40b=(10a+b)+39b

NÕu a+4b  13=>10.(a+4b) 13=>(10a+b)+39b  13

mµ 39b =>10a+b  13

NÕu 10a+b  13mµ 39b  13=>(10a+b)+39b  13

=>10a+40b 13=>10.(a+4b) mµ 10 vµ 13 lµ 2 sè nguyªn tè cïng nhau => a+4b  13

(1)

(2)

Tõ (1) vµ (2) => a+4b  13<=> 10a+b 13 , (a ,b N) (®pcm)

13



- C¸ch 2: Ta cã 4.(10a+b)= 40a+4b=39a+(a+4b)

NÕu a+4b  13mµ 39a  13=> 4.(10a+b)  13

mµ 4 vµ 13 nguyªn tè cïng nhau => 10a+b  13 (1)

NÕu 10a+b  13=> 4.(10a+b)  13=> 39a+(a+4b)  13

mµ 39a  13=> a+4b  13 (2)

Tõ (1) vµ (2) => a+4b  13<=> 10a+b 13 , (a ,b N) (®pcm)

Chuyên đề này còn một số dạng toán nữa, nh ng do khuôn khổ thời gian có hạn, nên buổi học này các em tìm hiểu tập trung vào dạng toán: “Chứng minh biểu thức chia hết cho một số”“Chứng minh biểu thức chia hết cho một số”Chứng minh biểu thức chia hết cho một số Chứng minh biểu thức chia hết cho một số””

H ớng dẫn về nhà:

+ Nắm vững kiến thức lí thuyết

+ Biết chứng minh một số tính chất và dấu hiệu chia hết

+ Ôn lại dạng toán: Chứng minh biểu thức chia hết cho một

số tự nhiên khác 0

+ Làm bài tập vận dụng

Nội dung các buổi học tiếp theo:

Dạng toán3: Tìm một số thoả mãn điều kiện cho tr ớc

Dạng toán4: áp dụng vào giải bài toán

Dạng toán5: Một số dạng toán khác

Ngườiưtrìnhưbàyư:

Trường:ưưTHCSưHànưThuyên