HH12 : Chương III : Bài 1 : Hệ tọa độ

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Chương trình thay sách giáo khoa 2008 Click Bài 1 :... vuông góc với nhau từng đôi một... Biểu thức tọa độ c

Chương III : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG

KHÔNG GIAN

Chương trình thay sách giáo khoa 2008

Click

Bài 1 :

I Tọa độ của điểm và của vectơ

1) Hệ tọa độ :

Trong không gian cho 3 trục x’Ox ; y’Oy ; z’Oz

vuông góc với nhau từng đôi một Gọi r r ri j k; ;

là các véc tơ đơn vị trên các trục đã cho

z’

Hệ trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề

các vuông góc Oxyz trong không gian

Đơn giản gọi : Hệ tọa độ Oxyz

Điểm O gọi là gốc tọa độ

Các mặt phẳng (Oxy) ; (Oyz) ; (Ozx) ;

Đôi một vuông góc được gọi là các mặt

phẳng tọa độ

Không gian với hệ trục Oxyz còn được gọi

là không gian Oxyz

Vì r r ri j k; ;

là các véc tơ đơn vị và đôi một vuông góc nên

2 2

i = j = k =

và r r r r r ri j k j k i = = = 0

O

x’

x

z

i

r j

r

kr

Trong không gian Oxyz , cho một điểm M Hãy phân tích véc tơ OMuuuur

theo 3 véc tơ không đồng phẳng r r ri j k; ;

đã cho trên các trục Ox ; Oy : Oz

2 Tọa độ của một điểm :

O

x

y

z

i

r

j

r

kr

M

Trong không gian Oxyz , cho 1 điểm M tùy ý

Vì không đồng phẳng nên có 1 bộ

ba số ( x ; y ; z) duy nhất sao cho

x

y z

OMuuuur = x i + y jr + z kr

Ngược lại với bộ ba số ( x ; y ; z) ta có một

điểm M duy nhất trong không gian thỏa :

OMuuuur = x i. + y j.r + z k.r

Ta gọi bộ 3 số ( x ; y ; z) đó là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho và viết :

M = ( x ; y ; z ) hay M(x ; y ; z)

3 Tọa độ của một véctơ :

Trong không gian Oxyz , cho 1 vectơ ar

Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a 1 ;a 2 ;a 3 )

sao cho :

ar = a i + a jr + a kr Vậy : tọa độ của véctơ ar = ( a a a1; 2; 3)

; ;

i j k

Ví dụ minh họa : Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có điểm A trùng với gốc O , có uuuABr uuur uuur; AD ; AA'

theo thứ tự cùng hướng với

; ;

i j k

r r r

và có AB = a ; AD = b ; AA’ = c Hãy tính tọa độ các véc tơ : uuuABr uuur uuuu; AC ; ACr uuuu' ; AMr

trong đó M là trung điểm của C’D’

z

i

r

j

r

B

D A’

C

B’

D’

a

b c

( ; 0; 0)

AB = a

uuur

( ; ; 0)

AC = a b

uuur

' ( ; ; )

AC = a b c

(?;?;?)

AM =

uuuur

( ; ; ) 2

a

uuuur

Thầy trò cùng đi tìm ….?

x

II Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Định lí :

Trong không gian cho 2 vectơ ar =( a a a1; ;2 3) & br =(b b b1; ;2 3)

Trong đó k là một số thực

( 1 1 2 2 3 3)

a ar + =br a +b a +b a +b

( 1 1 2 2 3 3)

b ar − =br a −b a −b a −b

( 1 2 3) ( 1 2 3)

c k a k a a ar = = ka ka ka

Chứng minh :

Theo giả thiết : ar = a i1r+a j2 r + a k3 r br = b i b j1r+ 2r +b k3 r

( 1 1) ( 2 2) ( 3 3)

Vậy : ar + br = ( a1 +b a1; 2 +b a2; 3 +b3)

Chứng minh tương tự cho b) và c)

Click

Hệ quả :

a) Cho 2 vectơ ar =( a a a1; ;2 3) & br =(b b b1; ;2 3) Ta có :

a b

a b a b

a b

=





 =



r r

b) Vectơ 0r =(0;0;0)

c) Vectơ br r≠ 0 thì hai vectơ a br r&

cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho : a 1 = kb 1 ; a 2 = kb 2 ; a 3 = kb 3

d) Trong không gian Oxyz , nếu cho 2 điểm A(x A ; y A ; z A ) và B(x B ; y B ; z B ) Thì : ∗ uuur uuur uuurAB OB OA= − =( x B −x y A; B − y z A; B −z A)

∗ Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là :

A B A B A B

x x y y z z

Bài tập thêm :

Trong kg Oxyz cho 3 điểm A(x A ; y A ; z A ) ; B(x B ; y B ; z B ) ; C(x C ; y C ;z C )

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là :

A B C A B C A B C

III Tích vô hướng

1 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí : Trong không gian Oxyz , tích vô hướng của 2 vectơ

( 1; ;2 3) & ( 1; ;2 3)

ar = a a a br = b b b được xác định bởi :

a b = a b + a b + a br r

Chứng minh :

a br r = a ir+ a jr + a kr b i b jr+ r +b kr

2

1 1 ???

a b i

Áp dụng : ri 2 = rj2 = kr2 =1 và r r r r r ri j k j k i. = . = . = 0 Có đpcm

2 Ứng dụng

a) Độ dài của một vectơ ar = ( a a a2; ;2 3) ⇒ 2 2 2

a =r a + a + a

b) Khoảng cách giữa 2 điểm : Cho 2 điểm A(x A ; y A ; z A ) và B(x B ; y B ; z B )

( ) (2 ) (2 )2

AB = uuurAB = x −x + y − y + z − z

Click

c) Góc giữa 2 vectơ : Cho 2 vectơ ar =( a a a1; ;2 3) & br =(b b b1; ;2 3)

và góc ϕ giữa 2 vectơ

là :

cos

ab

a b

ϕ =

r r

r r

a b + a b + a b cos = cos a;b =

a + a + a b + b + b

r r

Qua đó suy ra ar ⊥br ⇔ a b1 1 + a b2 2 +a b3 3

Bài tập cùng làm tại lớp :

Vơi hệ Oxyz cho ar =(3;0;1 ;) br = − −(1; 1; 2 ;) cr =( 2;1; 1− )

Hãy tính : a b + cr r r( ) & a + br r

( )

a b cr r r+ =

( )b cr r+ = (3;0; 3− )

( ) 3.3 0.0 1 3+ + − = 6

a br r+ =

( )b ar r+ =( 4; 1; 1− − )

( ) ( )2 2

2

4 + −1 + −1 = 18

( 1 1; 2 2; 3 3)

a br r+ = a +b a +b a +b

1 1 2 2 3 3

ab a brr = +a b +a b

ar = a + +a a

IV Phương trình mặt cầu

Định lí : Trong không gian Oxyz , mặt cầu (S) có tâm I (a ; b ; c) ,

bán kính r có phương trình : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r 2

Chứng minh :

Giả sử điểm M thuộc mặt cầu (S) tâm I bán kính r

I(a ; b ; c)

M(x ; y ; z)

r

Nên có M ∈ (S) ⇔ uuurIM = r

( ) (2 ) (2 )2

( ) (2 ) (2 )2 2

Bài tập cùng làm tại lớp :

Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) có bán kính r = 5

( ) (2 ) (2 )2 2

Chú ý :

Phương trình mặt cầu có thể viết : (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 trong đó d = a 2 + b 2 + c 2 – r 2

Cũng chứng minh được pt mặt cầu : x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0

Trong đó r 2 = A 2 + B 2 + C 2 - D > 0 ; tâm I(-A;-B;-C) Click

Ví dụ :

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình :

x 2 + y 2 + z 2 + 4x – 2y + 6z + 5 = 0

Giải :

Ta có :

a b c

− =



− = −



− =



(S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0

2 1 3

a b c

= −





⇔  =

 = −



Vậy tâm I ( -2 ; 1 ; -3)

d = a 2 + b 2 + c 2 – r 2 Nên r2 = (-2)2 +12 +(-3)2 – 5 = 9 ⇒ r = 3

Bài tập trắc nghiệm :

I - Trong kg Oxyz cho 3 véc tơ : ar = −( 1;1;0 ;) br =(1;1;0 ;) cr =(1;1;1)

Hãy trả lời các câu hỏi sau :

1 Trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào sai ?

A : a = 2r

B : c = 3r

C : a br ⊥ r

D : b cr ⊥ r

2) Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?

a.c = 1 r r

& cung phuong

a c r r

( ) 2

cos

6

b.c = r r

0

b

+ +

a r r r r c =

3) Cho hình bình hành OADB có

A

;

OA auuur r= OB buuur r=

(O là gốc tọa độ ) > Tọa độ của tâm hình bình hành OADB là :

Click

II - Trong kg Oxyz cho 4 điểm : A(1;0;0) B(0;1;0) C(0;0;1) và D(1;1;1)

1 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tọa độ điểm G là trung điểm

của MN là :

A G1 1 13 3 3; ; 

1 1 1

; ;

4 4 4

C G2 2 23 3 3; ; 

1 1 1

; ;

2 2 2

2 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là :

3

V Bài tập :

Bài tập về nhà 1;2;3;4;5;6 trang 68 sgk hh12 - 2008