khi học phần vectơ trong không gian thì đa số học sinh còn lúng túng trong việc chọn và thực hiện các phép biến đổi về vectơ, các em có xu thế chon phơng pháp thông thờng đòi hỏi phải c
Trang 1Mục lục
Nội dung : trang phần I: ĐặT VấN Đề 2-3
Phần II: nội dung
A ) quy trình giải bài toán bằng phơng pháp véc tơ 4-5
b) các bài tập minh hoạ 6-12
i) dành cho học sinh trung bình khá 6-8
ii) dành cho học sinh khá giỏi 9-11
C) BàI TậP THAM KHảO 12
D) KếT LUậN 12
PHầN I đặt vấn đề
I ) Lý do chọn đề tài
1) Từ thực tế giảng dạy :
- ở sách giáo khoa chơng trình mới hiện nay đã giảm tải nhiều , phần vectơ trong không gian đợc trình bày kỹ càng hơn, khuyến khích đợc học sinh sử dụng hơn so với chơng trình cũ Song ở sách giáo khoa, kể cả sách bài tập và các tài liệu tham khảo cũng cha đa ra phơng pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ
đa ra các ví dụ rồi giải mà thời lợng chơng trình nga không có thời gian để giáo viên hớng dẫn cụ thể cho học sinh
Trang 2- Chất lợng học sinh trờng thpt dtnt thấp hơn so với các trờng thpt ở miền xuôi, học lực lại phân hoá không đồng đều khi học phần vectơ trong không gian thì đa số học sinh còn lúng túng trong việc chọn và thực hiện các phép biến đổi về vectơ, các em có xu thế chon phơng pháp thông thờng ( đòi hỏi phải có t duy, trí tởng tợng cao và phải vẽ hình phức tạp ), điều này là khó đối với đa số học sinh nên nhiều bài toán dẫn đến phức tạp và dẫn đến các em ngại học môn hình Trong khi Nhiều bài toán hình học không gian, nếu giải bằng phơng pháp vectơ thì lời giải sẽ ngắn gọn và đặc biệt tránh đợc việc phải
vẽ hình phức tạp
-2) Từ thực tế khách quan :
- Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp với xu thế học và thi hiện nay
- Trong các đề thi đại học những năm gần đây thì các bài toán hình học không gian, đáp án không đa ra phơng pháp giải bằng vectơ Điều này đã làm cho học sinh và giáo viên ít chú trọng vào phơng pháp vectơ, do đó học sinh cha thấy đợc những u việt của phơng pháp này
- Việc sử dụng thành thạo phơng pháp vectơ sẽ giúp học sinh có thể làm nhanh một số bài tập trắc nghiệm, điều này là phù hợp với xu thế học và thi hiện nay
- Học sinh học tốt phơng pháp vectơ ở hình học lớp 11 là tiền đề để học tốt
ph-ơng pháp vectơ và tọa độ trong không gian ở hình học giải tích lớp 12
II) tính khoa học:
- Đề tài đợc xây dựng dựa trên các khái niệm và các phép toán của vectơ, mỗi phần đều có phơng pháp giải cụ thể,
- các ví dụ đa từ dễ đến khó học sinh có thể đọc và tự nghiên cứu
- đè tài đợc trình bày theo một trình tự khoa học Từ đó giúp học sinh tiếp cận
dễ dàng và sử dụng thành thạo phơng pháp này
III) tính khả thi và phạm vi áp dụng:
- Đề tài có tính khả thi cao bởi vì: các khái niệm và các phép toán về vectơ trong
không gian là tơng tự nh trong mặt phẳng mà học sinh đã đợc học ở lớp 10, lớp
11 do đó nó không xa lạ với học sinh
- Các bài toán ở phần dành cho học sinh trung bình đợc lấy từ bài tập sgk và sbt
có thêm phần giải thích đẻ học sinh dễ đọc dễ hiểu
- Có nhiều bài toán ở phần dành cho học sinh khá giỏi đợc trích từ các đề thi đại học những năm gần đây và đợc trình bày lời giải bằng phơng pháp vectơ nên
sẽ khuyến khích đợc học sinh vận dụng phơng pháp này
- Đề tài đợc áp dụng cho học sinh lớp 11 và 12
Trang 3
Phần 2 - Nội dung
A quy trình giải bài toán bằng ph ơng pháp véc tơ
1) quy trình
B
ớc 1 : lựa chọn một bộ ba véc tơ không đồng phẳng làm hệ véc tơ gốc Nên
- chọn bộ ba véc tơ xuất phát từ một đỉnh
- u tiên chọn các véc tơ dã biết độ dài và góc của của hai vecf tơ tơng ứng(đặc biệt là góc vuông)
B
ớc 2: chuyển các giả thiết ,kết luận hình học của bài toán sang “ ngôn ngữ véc tơ“
và biểu diễn các véc tơ liên quan theo hệ véc tơ gốc
2) các dạng hình học chuyển đổi cơ bản:
Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng
AB
OM
MB MA
AB AM
+
=
= +
=
2 1
0 2
1
G là trọng tâm tam giác ABC
OM
GC GB GA
+ +
=
= + +
3 1
0
G là trọng tâm tứ diện ABCD
+ + +
=
= + + +
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
OD OC OB OA OG
GD GC GB GA
4 1
0
3)các dạng bài tập cơ bản
Trang 4Bài toán 1: Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng:
Để chứng minh AB //(MNP), ta chứng minh: → → →
+
=x MN y MP AB
Bài toán 2: Chứng minh hai mặt phẳng song song ta chứng minh trong mặt phẳng này
chứa hai đờng thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.( sử dụng bài toán 1 hai lần)
Bài toán 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc :
Để chứng minh a⊥b ta chứng minh . 0
2
1 → =
→
u
u , trong đó → →
2
1,u
u lần lợt là chỉ phơng của
a và b.
Bài toán 4: Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng :
Để chứng minh MN ⊥(ABC) ta chứng minh
=
=
→
→
→
→
0
0
AC MN
AB MN
Bài toán 5 : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh trong mặt này chứa
một vectơ vuông góc với hai vectơ không cùng phơng nằm trong mặt kia
Bài toán 6: Các bài toán về góc
*) Gọi α là góc giữa hai đờng thẳng a và b → →
2
1,u
u lần lợt là chỉ phơng của a và b Khi
→
→
→
→
=
=
2 1
2 1 2 1
.
) , cos(
cos
u u
u u u u
α
*) Gọi α là góc giữa đờng thẳng a và mặt phẳng(P)
Cách1: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng a’ là hình chiếu
của a lên (P) sau đó thực hiện nh bài toán xác định góc của hai đờng thẳng
Cách2: Ta đa về bài toán xác định góc của đờng thẳng a và đờng thẳng b là hình chiếu
→
→
→
→
=
=
2 1
2 1 2
1
)
, cos(
sin
u u
u u u
u
2
1,u
u lần lợt là chỉ
ph-ơng của a và b)
*): Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) → →
2
1,u
u lần lợt là véc tơ chỉ phơng lần lợt nằm trên hai đờng thẳng vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q)
→
→
→
→
=
=
2 1
2 1 2 1
.
) , cos(
cos
u u
u u u u
α
Bài toán7: Xác định khoảng cách(từ điểm tới mặt phẳng , giữa hai đờng thẳng chéo
nhau ): ta đa về bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm, do đó ta có phơng pháp sau:
Để tính khoảng cách giữa hai điểm M và N ta biến đổi → → → →
+ +
= x a y b z c
→
→
→
c
b
a ,, là bộ ba vectơ đôi một không cùng phơng, đợc xuất phát từ một điểm và
Trang 5→
→
c b
a, , , các tích vô hớng → →
b
a , → →
c
b
, , → →
a
c là tính đợc và
MN c
z b y a x
MN→ = →+ →+ → ⇒
2
)
(
B)Các bài tập minh hoạ:
I )dành cho học sinh trung bình khá
Ví dụ1
Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác ABD M là điểm nằm trên đoạn CD sao cho
2
1
=
MD
MC Chứng minh : MG //( ABC)
Giải:
Đặt : → → → → → →
=
=
Vì
2
1
=
MD
MC nên CM→ = CD→
3
1
Gọi I là trung điểm của BD, khi đó :
→
→
→
→
+ +
−
GM
3
2
3
1 )
.(
2
1
.
3
− + + +
−
= − →a+ →b
3
2 3
1
=− AB→+ AC→
3
2 3
1 ⇒ MG //( ABC)
ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng
điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thuyết,kết luận hình học sang ngôn ngữ vectơ :
Vì
2
1
=
MD
MC nên CM→ = CD→
3 1
GM→ =− AB→+ AC→
3
2 3
Vídụ2 (Bài tập 4 SGK trang 91
Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ Gọi M , N lần lợt là trung điểm của CD và DD/ Gọi 2
1,G
G lần lợt là trọng tâm của các tứ diện A/D/MN và BCC/D/
2
1G ABB A
Giải:
Đặt : → → → → → →
=
=
1
G là trọng tâm của tứ diện A/D/MN nên
) (
4
1
→
→
→
→
→
+ + +
AG
2
G là trọng tâm của tứ diện BCC/D/ nên
) (
4
2
→
→
→
→
→
+ + +
AG
4
1 2 2
1
→
→
→
→
→
→
→
+ + +
=
−
G
G
M I
G
D
c
b a
C B
A
c
b a
N M
D /
C /
B /
A /
D C B
A
Trang 6= →−→+→−→+ →+→+ → = →−→ = →− →/
8
1 8
5 ) 5 ( 8
1 ) 2
1 2
1 (
4
1
AA AB
c a c
c a c a c a
2
1G ABB A
G
N hận xét: Nếu không sử dụng phơng pháp vectơ thì bài toán này sẽ rất khó vẽ hình
vì xác định đợc trọng tâm cuả hai tứ diện ta phải vẽ rất nhiều đờng và đơng nhiên việc chứng minh củng nh vậy.
ở ví dụ này ta đã chon hệ véc tơ gốc cùng điểm đầu là A
Ta đã chuyển đổi các giả thuyết hình học sang ngôn ngữ vectơ
1
G là trọng tâm của tứ diện A/D/MN nên ( )
4
1
→
→
→
→
→
+ + +
AG
2
G là trọng tâm của tứ diện BCC/D/ nên ( )
4
2
→
→
→
→
→
+ + +
AG
Vídụ3
Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của AB,CC/ ,A/D/ Chứng minh: (MNP) //(A/BC/ )
Giải:
Đặt : → → → → → →
=
=
Ta co → → →
−
=a c
B
A/ , → → →
+
=a b C
A/ /
→
→
→
→
+ +
2
1 2
1 2
1→ → → →/ →/ /
+
=
− +
= b a c A B A C ⇒ PN//(A/BC/ ) (1)
→
→
→
−
= c a
BA/ , → → →
+
=b c
BC/
→
→
→
→
+ +
2
1 2
1 2
1→ → → →/ →/
+
= + +
−
Từ (1) và (2) ta suy ra (MNP) //(A/BC/ )
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A/B/C/ có tất cả các cạnh đều bằng a M
là trung điểm của BB/ Chứng minh AM ⊥BC/
Giải:
Đặt : → → → → → →
=
=
Vì ABC.A/B/C/ là lăng trụ tam giác đều nên
ta có:
2
2
1 , 0
,
0
a →= → →= → →=
→
→
→
→
−
AM
2
1 , → → →
+
=b c
BC/
0 2
1 2
1 2
1
⇒ AM→ BC→ →c →a →b a a
⇒ AM ⊥BC/
Ví dụ 5:
P
b
a
N M
D /
C /
A /
D
C B
A
M
a
C /
B /
A /
C B
A
Trang 7Cho hình chóp S ABC có SA⊥(ABC) Gọi H , K lần lợt là trực tâm tam giác ABC và
SBC Chứng minh HK ⊥(SBC)
Giải:
→
→
→
→
⊥
⇒
⊥
⊥
SC BH SA
BH
AC BH
Khi đó:
0 ).
(
.
0 ).
(
.
= +
+
=
= +
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
BC SK AS HA
BC
HK
SC BK HB
SC
HK
)
(SBC
HK ⊥
⇒
Ví dụ 6:
Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 4 2 SA= 2 và
)
(ABC
SA⊥ Gọi M , N lần lợt là trung điểm của AB, BC Tính góc giữa hai đờng thẳng
Giải:
Đặt : → → → → → →
=
=
=a AC b AS c
Ta có : →.→=0,→.→=0,→.→=16
b a c b c
a
3 2 ) 2
1 ( 2
+
−
= +
→
a c SM
a c AM
SA
SM
) (
2
1 → →
→
+
AN và AN =2 6
12 4
1 4
1 ) ( 2
1 ).
2
1 (
.
2
= +
= + +
−
→
→
b a a b a a c AN
SM
Gọi α là góc giữa hai đờng thẳng SM và AN, thì
0
45 2
1 6 2 3 2
12
)
, cos(
→
→
→
→
→
→
α α
AN SM
AN SM AN
SM
II) dành cho học sinh khá giỏi
Vídụ1
Cho hình chóp tứ giác đều S ABCDcó đáy ABCD là hình vuông cạnh a E là điểm
đối xứng của D qua trung điểm của SA M , N lần lợt là trung điểm của AE và BC Chứng minh MN ⊥BD
( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )
Giải:
K
H
C
B A
S
c
b
a M
N S
B
C
A
Trang 8Gọi O= AC∩BD Khi đó SO⊥(ABCD)
Đặt : → → → → → →
=
=
=a OB b OS c
Ta có : →a.→c =0,→b.→c =0,→a.→b =0
→
→
→
→
+ +
MN
→
→
→
+ +
2
1 2
1
) (
2
1 )
(
2
1 → → → → →
+ +
+ +
→
→
−
−
2
1
2
3
→
→
−
BD 2
BD MN b
c a BD
⇒ → → → →).( 2→) 0
2
1 2
3 (
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD Chứng minh: AM ⊥BP
( trích đề thi ĐH khối A năm 2007 )Giải:
Gọi H là trung điểm của AD
)
(ABCD
SH ⊥
⇒
Đặt: → → → → → →
=
=
=a HN b HS c
Ta có: →a.→c =0,→b.→c =0,→a.→b =0
) (
2
1 ) (
2
1 → → → → →
→
− +
= +
AM
→
→
→
→
→
−
−
= +
BP
2
1 2
0 4
1 4
1
⇒ AM→ BP→ →a →b HA AB
BP
⇒
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật , AB=a, AD = a 2
)
(ABCD
SA⊥ , M là trung điểm của AD Chứng minh : (SAC) ⊥ (SMB) ( trích đề thi ĐH khối B năm 2006 )
Giải:
Đặt : → → → → → →
=
=
=a AD b AS c
Ta có : →.→=0,→.→=0,→.→=0
b a c b c
⊥ SA
BM (1)
→
→
→
→
→
→
+
= +
−
2
1
0 2
1 2
1 = − 2+ 2 = − 2 + 2 =
⇒ BM→ AC→ →a →b AB AD
8
c
b a P
N
M E
O
S
D
C B
A
c
b a
P
N
M
H S
D
B
C A
b c
a
D
M A
S
Trang 9
→
⊥
⇒ BM AC (2)
Từ (1) và (2) ⇒BM ⊥(SAC) ⇒ (SAC) ⊥ (SMB)
Ví dụ 4
Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang ABC∧ =BAD∧ =900,BA= BC=a, AD 2= a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A
trên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
( Đề thi đại học khối D năm 2007)
Giải
Đặt → → → → → →
=
=
=a AD b AS c
Ta có: →a.→c =0,→b.→c =0,→a.→b =0
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
−
=
− +
=
−
2
1 ,
Gọi I là chân đờng vuông góc hạ từ H
lên mặt phẳng (SCD) ⇒d(H; (SCD)) =HI
Khi đó : → → →
+
= HS SI HI
→
→
→
+ +
−
3 2
→
→
→
−
− + + +
−
3
2 ( ) 2 (
)
3
2
(
−
=
=
⇒
=
−
−
− +
=
−
−
− +
+
−
⇒
=
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
3 1 6 5
0 ) 3
2 ( ) 2 (
0 ) 3
2 ( ) 2
( 2
1 ) 3
2 ( 0
.
0
.
2 2
2 2
2
y
x
c y x b
y x
c y x b
y
x a
x
SD
HI
SC
HI
3
) 2
1 ( 6
1 6
1 12
1
6
c b a HI
c b a
HI→= →+ →+ →⇒ = →+ →+→ =
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA M , N lần lợt là trung điểm của AE và
BC Tính khoảng cách giữa MN và AC ( trích đề thi ĐH khối B năm 2007 )
Giải:
Đặt : → → → → → →
=
=
=a OB b OS c
Ta có : →.→=0,→.→=0,→.→=0
b a c b c
a
= + +
= → → →
→
CN AC
MA
MN
→
→
→
+
SD
2
1 2
1
2
1 )
(
2
1 → → → → →
+ +
+ +
2
1 2 3
→
→
−
AC 2
Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của MN và AC , ta có:
H
D
A S
c
b a P
N
M E
O
S
D
C B
A
Trang 10
→
→
→
→
→
→
+ +
= + +
PQ
2 1
→
→
→
→
→
−
−
− +
−
−
2
1 ) 2
1
2
3
(
→
→
→
− +
− +
−
2
1 ) 1 ( 2
1 )
2
3
(
=
−
=
⇒
= +
= +
+
+
⇒
=
=
→
→
→
→
→
→
→
2 3 1 0
) 2
3 ( 2
0 ) 1 ( 4
1 ) 2
3 ( 2 3
0
.
0
.
2
2 2
y
x
a x y
c x a
x y
AC
PQ
MN
PQ
4
2 8
4
1 2
2
PQ
a OB PQ
b
C) Bài tập tham khảo :
Bài 1: cho tứ diện ABCD Gọi G1,G2,G3 lần lợt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh rằng (G1G2G3) // (BCD)
Bài 2:Cho hình chóp S ABCDcó đáy là hình thoi cạnh a tâm O SO⊥(ABCD), cạnh bên SB=a E, F lần lợt là trung điểm của SA, SC Chứng minh (BED) ⊥ (BFD)
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D
) ,
(AB<CD BD⊥BC , AB= AD=a,SD⊥(ABCD), SD=a 2
a) Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
b) Gọi I là trung điểm của CD Tính côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng(SAB)và
)
(SBI
Bài4: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A/B/C/ Gọi M, N lần lợt là trung điểm của
/
/,CC
AA và G là trọng tâm ∆A/B/C/.
a) Chứng minh MG//(AB/N)
Chứng minh (MGC/ ) //(AB/N)
Bài 5:Cho tứ diện S ABC, có SC =CA= AB =a 2, SC ⊥(ABC) Tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM =CN =t ( 0 <t < 2a)
Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a và t
Bài 6:hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều abc cạnh 7a , có cạnh SC vuông góc
với mặt phẳng đáy (ABC) và SC= 7a
a) tính góc giữa SA và BC
Trang 11b) Tính khỏang cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau SA và BC.
Bài 7: Cho lập phơng ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng A/B và B/D
D) Kết luận
“ Phơng pháp vectơ giải toán hình học không gian ” giúp học sinh có thể chuyển bài
toán phức tạp thành bài toán đơn giản và sử dụnh các phép biển đổi vectơ để thực hiện Tuy nhiên, đây không phải phơng pháp tối u cho tất cả các bài toán Vì vậy khi giải toán hình học không gian học sinh cần lu ý lựa chọn ,kết hợp các phơng pháp khác nhau để giải toán một cách đơn giản nhất
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song đề tài vẫn còn nhiều chỗ cần phải bổ sung Vì vậy tôi rất mong có sự góp ý của bạn đọc, đồng nghiệp và học sinh
Thanh hoá ngày 20 tháng 3năm 2010
Giáo viên