Biểu thức tọa độ của phép biến hình

lời nói đầu Chủ đề về các phép biến hình trong mặt phẳng là một chủ đề rộng của hình học, bao gồm: đại cơng về các phép biến hình, các phép dời hình Phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứn

Mục lục Trang

Mục lục……… 1

A Đặt vấn đề ……….2

I Lời nói đầu……… 2

II.Thực trạng của vấn đề……… 2

1 Thực trạng……… 2

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên……… 2

B Giải quyết vấn đề………4

I Các giải pháp thực hiện……….4

Chơng 1: Đại cơng về phép biến hình……….4

1 Đại cơng về phép biến hình……… 4

2 Phép chiếu theo phơng  v lên đờng thẳng ……….5

3 Phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng……… 7

Chơng 2: Các phép dời hình………11

1.Khái niệm phép dời hình………11

2.Một số phép dời hình thờng gặp……… 11

2.1.Phép đối xứng trục……….11

2.2.phép quay………16

Phụ lục……… 20

C kết luận……… 21

1 Kết quả nghiên cứu……….21

2 Kiến nghị, đề xuất……… 24

Tài liệu tham khảo………25

A đặt vấn đề

I lời nói đầu

Chủ đề về các phép biến hình trong mặt phẳng là một chủ đề rộng của hình học, bao gồm: đại cơng về các phép biến hình, các phép dời hình (Phép tịnh tiến, đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, phép dời hình), các phép

đồng dạng(Phép vị tự, phép đồng dạng) Trong đề tài này tác giả chỉ giới hạn nghiên cứu sâu hơn về một số phép dời hình trong mặt phẳng (Không đề cập các phép đồng dạng) dới góc độ của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độ trong mặt phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dới góc độ của hình học cao cấp hay toán học hiện

đại

Nội dung tài này đợc chia thành hai chơng:

đóng góp ý kiến, giúp đỡ và động viên tác giả để đề tài hoàn thiện hơn Mặc

dù tác giả đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và trình bày, songkhông tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của độcgiả!

II thực trạng của vấn đề

1 Thực trạng:

Trong chơng trình Hình Học 10 (SGK chỉnh lí và hợp nhất năm NXBGD) đã trình bày đại cơng về các phép biến hình (Chơng III), sau nàytrong chơng trình Hình Học 11( Chơng trình chuẩn và nâng cao- NXBGD năm2007) trong đó có trình bày về biểu thức tọa độ của các phép: tịnh tiến, đốixứng trục (Với trục đối xứng là Ox hoặc Oy), không trình bày biểu thức tọa độcủa phép quay, trong SGV Hình Học nâng cao có nói đến biểu thức tọa độ củaphép đối xứng trục đi qua gốc tọa độ, nhng cha nói rõ cách xác định hay giátrị của cos và sin Ngoài ra trong giáo trình Toán tập 7 của tác giả JeanMarie Monier (NXBGD-2000) có trình bày biểu thức tọa độ đầy đủ của phép

2000-đối xứng trục, nhng việc áp dụng nó vào trong chơng trình THPT không đơngiản Cha đề cập đến biểu thức tọa độ của phép quay

2 Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:

Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên cha đáp ứng đợc nhu cầu tìm tòisáng tạo của học sinh và giáo viên, cha tiếp cận đợc với Hình Học cao cấp vàToán học hiện đại, một số chỗ còn cha nói lên rõ đợc bản chất (cốt lõi) củavấn đề (Định lí thì không đợc nêu, còn hệ quả của nó thì đợc phát biểu thành

định lí), đặc biệt là cha tiếp cận đợc với xu hớng thi trắc nghiệm môn Toán.Chẳng hạn ta xét một tình huống ''Tìm ảnh d' của đờng thẳng d: 2x + y - 2 = 0qua phép tịnh tiến theo véc tơ 

3 1 '

y

x

 M'(4;-1)+Vì d' // d (hoặc trùng d) và d' đi qua M' nên phơng trình d' là:

2.(x- 4) +1.(y+1) = 0  d': 2x + y - 7 = 0

Qua đó đòi hỏi học sinh phải nắm đợc biểu thức tọa độ của phép tịnhtiến và tính chất ''Phép tịnh tiến biến đờng thẳng thành đờng thẳng song songhoặc trùng với nó'' ở đây tác giả đã giải quyết tình huống trên nh sau:

Về phép đối xứng tâm ta có định lí 2

Từ thực trạng trên tôi mạnh dạn tìm tòi, nghiên cứu và đa ra sáng kiếnvới mục tiêu nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình trong mặt phẳng dớigóc độ của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độtrong mặt phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, chúng ta không tiếpcận dới góc độ của hình học cao cấp hay toán học hiện đại Trong đề tài nàychúng ta cung cấp một số kiến thức mới bổ xung về các phép biến hình trongmặt phẳng, đa ra một số phơng pháp giải toán, rèn luyện t duy lôgic, t duytrừu tợng, tiếp cận với phơng pháp nghiên cứu khoa học, tìm tòi sáng tạo tronghọc tập, nghiên cứu của giáo viên và học sinh trong đó có các ví dụ, các bàitập vận dụng nhằm minh họa hay rèn luyện những kĩ năng nhất định Đặc biệt

có thể đáp ứng với nhu cầu đổi mới phơng pháp dạy và học trong xu hớng tiếpcận với hình thức thi trắc nghiệm môn Toán, đòi hỏi phải giải nhanh, đúng

đắn và chính xác các bài toán với thời gian mỗi câu rất ngắn

b Giải quyết vấn đề

có các bài tập tự giải theo các phơng pháp đã nêu trong đề tài (có thể giải theo phơng pháp cũ để kiểm chứng)

chơng 1: đại cơng về phép biến hình

1.đại cơng về phép biến hình

1.1.Ví dụ mở đầu

Trong mặt phẳng cho một đờng thẳng  cố định và

một véc tơ v 0 sao cho v không là véc tơ chỉ phơng của

 Với mỗi điểm M , ta xác định M’ nh sau: vẽ d đi qua M

nhận v làm véc tơ chỉ phơng và M’ = d  

Nh vậy theo cách trên với bất kì điểm M đều xác định

đợc M’ duy nhất

1.2.Định nghĩa 1

Phép biến hình trong mặt phẳng là qui tắc cho tơng ứng mỗi điểm M xác

định điểm M duy nhất thuộc mặt phẳng đó’

Điểm M trong định nghĩa gọi là điểm tạo ảnh (Gọi tắt là: tạo ảnh)

Điểm M’ trong định nghĩa gọi là điểm ảnh (Gọi tắt là: ảnh) của M

Ta còn nói phép biến hình biến M thành M’ Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết: F(M) = M’ hoặc M’ = F(M) hoặc F: M  M’

Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu 

v là véc tơ pháp tuyến của  thì tagọi phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng  ( Còn gọi

là phép chiếu trực giao) Kí hiệu là: F 

M



M'

* Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.

1.3.ảnh của một hình qua một phép biến hình

Cho một hình H Tập hợp các điểm {M’=F(M) với MH} gọi là ảnh

của hình H qua phép biến hình F Kí hiệu F(H) = H’.

1.4.Tích của hai phép biến hình

Cho hai phép biến hình f và g, g(M) = M’ và f(M’) = M’’ Khi đó

phép biến hình biến M thàmh M’’ là kết quả của việc thực hiện liên tiếp hai

phép biến hình g và f đợc gọi là tích (hay: hợp thành) của f và g.Ký hiệu là

fg

*Định nghĩa 2

Tích (hay: hợp thành) của hai phép biến hình f và g là phép biến hình

h có đợc bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép biến hình g và f.Ký hiệu là:H = fg

Nh vậy, theo định nghĩa:H(M) = fg (M) = F(G(M)) (Có thể mở rộng

cho tích của một số phép biến hình)

Sau đây chúng ta nghiên cứu kĩ hơn về phép chiếu theo phơng 

v lên ờng thẳng  và phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng 

đ-2.phép chiếu theo phơng 

v lên đờng thẳng

Trong ví dụ mở đầu ta mô tả về phép chiếu theo phơng 

v 0 lên đờng thẳng  Sau đây ta định nghĩa chính xác về phép biến hình này

2.1.Định nghĩa 3

Trong mặt phẳng cho đờng thẳng và véc tơ 

v 0

không là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng  Phép biến hình

biến mỗi điểm M thành M sao cho:’

'

M

v k MM

-Nếu M0(x0;y0) thì  0 = Ax0 + By0 + C;

-Nếu M(x; y) bất kì thì (): =(M): = Ax + By + C

Bài toán 1

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng d: x = x 0 + at , y = y 0 + bt và

đ-ờng thẳng  : Ax + By +C = 0 Hãy xác định tọa độ giao điểm d và  biết

 (aa +Bb)t0 + (Ax0 + By0 + C) = 0 t0 = -

bB aA

C By Ax

0



.Thay giá trị t0 vào phơng trình d ta xác định đợc tọa độ giao điểm:

v .

n = aa +Bb 0 Khi đó F v có biểu thức véc tơ là: MM ' k v (Ia)

trong đó k = -  

n v.

2x y 

2.3.Biểu thức tọa độ của phép chiếu theo phơng 

v

Từ biểu thức véc tơ ta suy ra biểu thức tọa độ sau

*hệ quả : Nếu F vbiến M(x;y) thành M (x ;y ) thì :’ ’ ’

ka x x

0



= -

2 1

1 1

'

2

1 1 2

1 0

Ưu điểm của phép chiếu theo phơng 

v là: Ta có thể chọn điểm M0(x0;y0)bất kì d sao cho việc tính toán  0 = Ax0 + By0 + C là thuận tiện và dễ dàngnhất: Nếu 

Ngoài ra phần sau ta sẽ có một ứng dụng quan trọng của phép chiếu theophơng 

7 1 '

2

23 3 2

7 1 '

'

M

n k MM

(II)

gọi là phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng  Kí hiệu là: F  .

*Lu ý : ta thờng vẫn sử dụng H thay cho M’

3.2.Biểu thức véc tơ

*Định lí 4

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By +C = 0 Khi đó F  

biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi: MH  k n (IIa)

n = - () (3) Nhân vô hớng hai vế của (IIa) với n

và so sánh với (3) ta có : MH n = - ()  A(xH- x) +B(yH- y) = - ( Ax + By

Nếu F  biến M(x;y) thành H(x H ;y H ) thì :

kA x x

1 2 4 1 3

2 2

5

1 3 5

2 1

Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9) Hãy xác định tọa độ chân

đờng cao AH của tam giác

Giải

Phơng trình đờng thẳng BC:

5 9

5 2

19 3

13

16 1

13

32 2

13

16 0

C By Ax

ơng trình ba cạnh của tam giác, ta dựa vào véc tơ pháp tuyến để viết đợc

ph-ơng trình đờng phân giác trong của một góc trong tam giác mà không cần giảitìm tọa độ ba đỉnh để xét dấu

2 1

b b

a a

2

n

D n

D



 ;

n

D n

D





Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:

Cho D1: 3x + 4y – 6 = 0 ; D2: 4x +3y – 1 = 0 ; D3: y = 0 Gọi A = D1  D2 ;

B = D2 D3 ; C = D3 D1 Hãy viết phơng trình đờng phân giác trong của

Ta sẽ giải ví dụ 3 trớc và chứng minh định lí 5 sau:

Giải : Do A đối diện với D3 nên ta xét T3 =

= 12 >

0 Do đó phơng trình đờng phân giác trong của góc A là

4 3

6 4 3 3

4

1 3

(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phơng trình d3 theo phơng pháp cũ)

Bây giờ ta chứng minh định lí 5

Gọi A, B, C lần lợt là các đỉnh của tam giác đối diện

với các cạnh D 1 , D 2 , D 3 và d1 là đờng phân giác trong của

) (

) (

3 2 3 2

3 2 3 2

A n u

B D

y

y

B n u

B D x

n u

B A B

A 

.

2 3 2

3

1 D B u

n

u n

2

1 D C u

n

u n

(b)

- Với chú ý rằng n2 u3  n3 u2 thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có:

(D1(A))2 = - ( ) ( )

) (

) ).(

(

3 2

2 3 2

2 1 3

u n

u n u n

(

0 ) ( ).

M

D

B D

(

0 ) ( ).

(

3 3

2 2

C D M D

B D M D

 D2(M)D3(M)D2(B)D3(C) > 0(e)

- Nhân hai vế của (c) và (e) suy ra T1.(D2(M).D3(M)) < 0 (f)Cuối cùng tùy theo dấu của T1 mà từ (f) và (d)  khẳng định của định lí 5 (Dựa vào định thức cấp ba và việc tìm tọa độ giao điểm của các đờng thẳng ,

ta cũng có thể chứng minh đợc định lí 5)(Xem[6])

Chúng ta sẽ mở rộng nghiên cứu về phép chiếu theo phơng 

v lên mặtphẳng ( Còn gọi là phép chiếu song song), phép chiếu vuông góc lên đờngthẳng, mặt phẳng ( Còn gọi là phép chiếu trực giao) trong không gian trong

đề tài khác

Kết quả là: hình đó chỉ thay đổi vị trí còn tất cả các yếu tố khác của hình đều

không thay đổi.Tính chất này có đợc là do “khoảng cách giữa hai điểm bất kì không thay đổi” khi di chuyển ở vị trí (1) ta di chuyển đến vị trí (2) ta đã thực

Giả sử phép dời hình F biến ba điểm thẳng hàng A, B, C với B giữa A

và C lần lợt thành A’, B’, C’(1) Ta phải chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng vớiB’ giữa A’ và C’(2).Thật vậy: (2)  A’B’ +B’C’ = A’C’  AB + BC = AC

 (1)(Vì theo định nghĩa và (1) ta có: A’B’ = AB, B’C’ = BC, A’C’ = AC)(đpcm)

Trong mặt phẳng cho đờng thẳng Phép biến

hình biến mỗi điểm M thuộc thành M, mỗi điểmM

không thuộc thành M’ sao cho  là trung trực của

MM’ gọi là phép đối xứng qua đờng thẳng  (gọi tắt

phép đối xứng trục) Kí hiệu là: Đ.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax +

By +C = 0 Khi đó Đ biến M(x;y) thành M(x ;’

y ) có biểu thức véc tơ xác định bởi:’

n k

MM'  2 (IIIa)

n = -() (3) Nhân vô hớng hai vế của (IIIa) với n và

so sánh với (3) ta có : MM'.n = -2()  A(x’-x) +B(y’-y) = -2( Ax + By

kA x x

2 '

2 '

-Nếu   Oy có phơng trình : x = 0 thì A = 1, B = 0 và k = - x nên từ (IIIb)  x’ = - x, y’ = y Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng ĐOy

-Nếu là  đờng phân giác thứ nhất: x – y = 0 thì A = 1, B = - 1, 2k = y – x nên (IIIb)  x’ = y, y’ = x Ta có M(x; y) và M’(y; x) đốixứng nhau qua đờng thẳng y = x quen thuộc

1 2 4 1 3

4 2 '

5

7 3 5

4 1 '

Cho điểm M(1; 5) và d: x – 2y + 4 = 0 Hãy tìm ảnh của M qua Đd

(Xem ví dụ 2 trang 12-SBT HH 11 NXBGD 2007)

2 ( 5 '

3 1 ).

2 ( 1 '

y

x

 M’(3; 1) *định lí 7

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  : Ax + By +C = 0 Khi đó Đ

Chứng minh

Chú ý rằng khái niệm hai véc tơ bằng nhau không phụ thuộc vị trí của

chúng, nên ta chứng minh hai điều: (u' + u )  n (1), và u' = u (2).Thật vậy:

-Cộng cả hai vế của (IVa) với u rồi nhân vô hớng của biểu thức nhận đợc với

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

(Phép đối xứng trục là một phép dời hình).

Từ nhận xét 1 và hệ quả 1 ta có nhận xét 3 sau đây

A k x x

' 2 '

' 2 '

0 = A1x + B1y + C1 =1(M’) + 2k’(n 1 n) = 1(M’)- 2 1.(M’)

Ta có định lí 8

*định lí 8

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng  : Ax + By +C = 0 và

đờng thẳng 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 Khi đó Đ biến 1 thành ’1 có

phơng trình : ’1 : 2 1() - (1 ) = 0 (IVb)

trong đó  1 = 1 2

n

n n

=

3 Vậy theo định lí 8 phơng trình d’ = ĐOy(d) là:

2.3(x) – (3x – y + 2) = 0  d’: 3x + y – 2 = 0

Ví dụ 5

Hãy tìm các đờng thẳng d’1 đối xứng với d1 : 5x + y – 14 = 0, và d’2

đối xứng với d2: 5x + 3y + 10 = 0 qua đờng thẳng  có phơng trình :

: 5x + 3y – 4 = 0

(Có thể kiểm tra lại rằng  song song và cách đều d2 và d’2 ;  là một

đờng phân giác của góc tạo bởi d1 và d’1)

Ví dụ 6

Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC , biết B(2; - 1), đờng cao

và phân giác trong đi qua hai đỉnh A và C lần lợt có phơng trình:

Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

và không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng giữa chúng.

Phép đối xứng trục biến tia thành tia, góc, đa giác, đờng tròn thành

Gọi a là trung trực của AB thì a cố định ABCD là hình thang cân có AB

là cạnh đáy (Khi đó CD cũng là cạnh đáy)  Đa(A) = B, Đa(D) = C Bởi vậy:

-Viết đợc biểu thức tọa độ

-Biểu diễn tọa độ x; y theo x’; y’

-Thay tọa độ x, y vào phơng trình đờng (C) ta có tập hợp x’, y’ chính là

ảnh (C’) của (C) (ở đây (C) có thể là đờng thẳng , đờng tròn, parabol…)

Giả sử đợc xác định và  là trung trực của MM’ Khi đó:

M thuộc (H)  M’ thuộc (H’) =Đ (H)

2.1.6.Các bài tập

2.1.1 Cho I(1;-1) và : 3x + 4y +1 =0.Viết phơng trình I’ = Đ (I).

2.1.2 Cho I(3;-2) và : 3x - 2y +1 =0 Viết phơng trình I’ = Đ (I).

2.1.3 Cho đờng tròn(C) có phơng trình: x2 + y2 – 4x + 6y – 2 = 0,

và : 3x - 2y +1 =0 Viết phơng trình (C’) = Đ ((C)).

2.1.4 Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 0) và đờng thẳng

: x - y +2 =0

a Tìm điểm đối xứng của O qua  ;

b Tìm M   để đờng gấp khúc OMA ngắn nhất

2.1.5 Hãy tìm các đờng thẳng d’1 đối xứng với d1 : 2x - y + 4 = 0, vàd’2 đối xứng với d2: 3x + 4y - 1 = 0 qua đờng thẳng  có phơng trình :

: 2x - y + 1 = 0

2.1.6.Viết phơng trình đờng thẳng d1 đi qua A(0; 4) và d2 đi qua B(5; 0)sao cho d1 và d2 tạo với nhau một góc nhận : 2x -2y + 1 = 0 làm đờng phângiác

2.1.7 Viết phơng trình d đi qua P(3;0) và cắt hai đờng thẳng D1: 2x –

y – 2 = 0; D2: x+ y + 3 = 0 tại A và B sao cho PA = PB

***************************

2.2.phép quay

2.2.1.Định nghĩa 6

Trong mặt phẳng cho điểm I và góc lợng giác  Phép biến hình biến I

thành I, biến mỗi điểm M thành M’ sao cho IM = IM và (IM , IM)’ ’ =  gọi

là phép quay tâm I, góc quay  Kí hiệu là: Q ( I , ) .

*Chú ý

Ta gọi I là tâm quay,  là góc quay và IM là bán kính quay

*Nhận xét 1:

a.Các phép quay tâm I với các góc quay  và  + k2

cùng biến M thành M’ Bởi vậy ta chỉ cần xét -   

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q ( I , ) Khi đó Q ( I , ) biến véc tơ

u =(A; B) thành u'=(A ; B ) xác định bởi: ’ ’

'

sin cos

'

B A

B

B A

A

(IVa)

Chứng minh

Ta chứng minh ba điều: Q ( I , ) biến I thành I (1), u' = u (2) và

u' u = u 2 cos (3) Thật vậy: với mỗi véc tơ u =(A; B) cho trớc, tồn tại

M sao cho IM = u =(A; B) và gọi IM' = u' = (A’; B’).

-Với u =(A; B) =0(M I) thì từ (IVa) ta có u'= IM' = 0 (M’ I) (1)

đúng;

-Bình phơng các vế của mỗi hệ thức trong (IVa) rồi cộng lại ta có

A’2 + B’2 = (A2 + B2 )(cos2 + sin2 ) = A2 + B2  (2) đúng;

-Nhân lần lợt các vế của (IVa) với A và B rồi cộng lại ta có

B