Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng

Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Biểu Thức Tọa Độ Của Phép Dời Hình Và Ứng Dụng" không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.. Đặc biệt biểu thức tọa độ của phép dời hình có th

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Hà Nội – Năm 2017

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành với sự giúp đỡ chỉ

bảo của các thầy cô trong tổ Hình học trong Khoa Toán của trường

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Nguyễn Năng

Tâm, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian để em hoàn

thành được khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn

đề mà em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu

sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các

thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện

hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Hoàng Thị Hạnh

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên

cứu của em dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo,

đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm

Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em đã tham khảo

một số tài liệu đã được nêu ra ở phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Biểu Thức Tọa Độ Của

Phép Dời Hình Và Ứng Dụng" không có sự trùng lặp với các khóa

luận khác

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Hoàng Thị Hạnh

Lời mở đầu 1

1.1 Không gian Euclide 3

1.2 Ánh xạ đẳng cự 4

1.2.1 Định nghĩa 4

1.2.2 Định lý 4

1.2.3 Biến đổi đẳng cự 6

1.2.4 Điểm bất động và vectơ bất động của phép biến đổi đẳng cự 6

1.3 Phép biến hình 7

1.3.1 Các khái niệm của phép biến hình 7

1.3.2 Phép biến hình afin 8

1.3.3 Phép biến hình đẳng cự 9

2 Biểu thức tọa độ của phép dời hình 10 2.1 Phép dời hình 10

2.1.1 Định nghĩa 10

2.1.2 Tính chất 11

2.2 Biểu thức tọa độ của phép dời hình 11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

2.2.1 Biểu thức tọa độ 11

2.2.2 Phân loại phép dời hình 12

2.2.3 Phép đối xứng qua m − phẳng 12

2.2.4 Phép quay quanh (n − 2) − phẳng 13

2.3 Các phép dời hình trong mặt phẳng 17

2.3.1 Phép dời hình và phản chiếu trong mặt phẳng 17 2.3.2 Phép tịnh tiến 19

2.3.3 Phép đối xứng trục 20

2.3.4 Phép đối xứng tâm 22

2.3.5 Phép quay 23

3 Ứng dụng biểu thức tọa độ của phép dời hình 26 3.1 Xác định các loại phép dời hình trong mặt phẳng 26

3.2 Xác định các yếu tố của phép dời hình 38

3.3 Tìm điểm bất động 42

Lời mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Hình học là một môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán

Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải trong đó có nhiều cách

giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn

hình học Với mỗi bài tập có thể có nhiều phương pháp: phương pháp

tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình

Trong chương trình toán phổ thông, học sinh đã biết đến các phép

biến hình và việc vận dụng nó như một công cụ để giải một số lớp bài

toán hình học nhanh gọn và hợp lí Tuy nhiên việc giải các bài tập về

phép biến hình không phải dễ dàng

Phép dời hình là một trong các phép biến hình cơ bản mà trong

chương trình phổ thông đề cập đến Đặc biệt biểu thức tọa độ của

phép dời hình có thể giúp chúng ta ứng dụng đại số vào hình học để

tìm được lời giải hay, ngắn gọn của bài toán hình học

Yêu thích hình học, yêu thích phép biến hình đặc biệt là phép dời

hình nên em đã chọn đề tài: "Biểu thức tọa độ của phép dời hình và

ứng dụng" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học này

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép dời hình, biểu thức tọa

độ của phép dời hình và ứng dụng của nó vào giải toán

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa về ứng dụng biểu thức tọa độ

của phép dời hình

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

- Đối tượng nghiên cứu: biểu thức tọa độ của phép dời hình

- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng biểu thức tọa độ của phép dời

hình vào giải toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề, các tài liệu tham

khảo liên quan

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận này

gồm 3 chương:

Chương 1: "Một số kiến thức liên quan"

Chương 2: "Biểu thức tọa độ của phép dời hình "

Chương 3: "Ứng dụng biểu thức tọa độ của phép dời hình."

Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự giúp đỡ tận

tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, các thầy cô trong tổ Hình học

em đã hoàn thành khóa luận này Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới các thầy, các cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy

cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho chương

sau Những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu Hình học Afin và

hình học Ơclit của Văn Như Cương- Tạ Mân, Hình học sơ cấp của Bùi

Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn

+ Không gian Euclide là không gian afin liên kết với không gian vectơ

Euclide hữu hạn chiều

+ Không gian Euclide sẽ gọi là n chiều nếu không gian vectơ Euclide

liên kết với nó có chiều bằng n

+ Không gian Euclide thường được kí hiệu là E, không gian vectơEuclide liên kết với nó được kí hiệu là −→

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

+ Các không gian afin thực n chiều đều có thể trở thành không gian

Euclide n chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian

vectơ liên kết với không gian afin đã cho

+ Nếu E là không gian Euclide liên kết với không gian vectơ −→E thìmỗi phẳng α của nó cũng là không gian Euclide liên kết với −→α

Nói cách khác phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất

Giả sử −→u ∈ −→

E ta lấy điểm M ∈ E sao cho −IM = −→ →u và đặtϕ(−→u ) = −−→I0M0 với M0 = f (M )

Ta chứng minh −→ϕ không thay đổi tích vô hướng của hai vectơ bất

kì Lấy thêm −→v bất kì thuộc −→

E và lấy điểm N ∈ E sao cho

−→

IN = −→u ,khi đó ϕ(−→v ) = −−→I0N0 với N0 = f (N )

Vì f bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N ) = d(M0, N0)

IN −→

IM = −−→

I0N0−−→

I0M0 tức là −→u −→v = ϕ(−→u ).ϕ(−→v ).

Vì ϕ bảo tồn tích vô hướng của hai vectơ −→u , −→v bất kì nên ϕ là ánh

xạ tuyến tính trực giao và rõ ràng ϕ là liên kết của f

Vậy f là ánh xạ đẳng cự

Hệ quả 1.1 Ánh xạ đẳng cự bảo tồn số chiều của các phẳng, tính

trực giao của các phẳng, khoảng cách giữa các phẳng, thể tích của hộp

của đơn hình và góc giữa các phẳng

Ví dụ: Xét ánh xạ

f : R2 −→ R2(x, y) 7−→ (x + 1, y + 2)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

Khi đó f là ánh xạ đẳng cự vì vơi mọi M (x, y), N (x0, y0) ∈ R2 thì

d(M, N ) = p(x0 − x)2 + (y0 − y)2

d(f (M ), f (N )) =

q[(x0 + 1) − (x + 1)]2 + [(y0 + 2) − (y + 2)]2nên d(M, N ) = d(f (M ), f (N ))

1.2.3 Biến đổi đẳng cự

Nếu f : E −→ E là ánh xạ đẳng cự từ không gian Euclide vàochính nó thì f là đơn ánh nên nó là song ánh (do −→

E hữu hạn chiều).Khi đó ta gọi nó là một biến đổi đẳng cự của không gian Euclide E.Ánh xạ −→

f liên kết với nó là một biến đổi tuyến tính trực giao của −→

1.3 Phép biến hình

1.3.1 Các khái niệm của phép biến hình

Định nghĩa 1.3 Giả sử đã cho tập hợp bất kì T 6= ∅ Một song ánh

từ T vào chính nó được gọi là một phép biến hình của tập T

Ví dụ: Ánh xạ đồng nhất trên tập T là phép biến hình

Định nghĩa 1.4 Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã

cho, dễ thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của T vào

T nên tích đó cũng là phép biến hình của T Ta gọi là phép biến hình

đó là phép biến hình tích của f và g

Định nghĩa 1.5 Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến

hình đối hợp nếu f2 = Id, dễ thấy lúc đó ta có f và phép nghịch đảocủa f là f−1 là trùng nhau

Ví dụ: Phép quay quanh một điểm, phép quay quanh một trục

Định nghĩa 1.6 Cho phép biến hình f của tập T Điểm M của tập

T được gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến

hình f nếu f (M ) = M

Định nghĩa 1.7 Cho phép biến hình f của tập T Hình H bộ phận

của T được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu ta có

f (H) = H Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình

f nếu ta có mọi điểm của H bất động đối với f

Định nghĩa 1.8 Cho f và g là hai phép biến hình của tập T phép

biến hình h = g.f.g−1 gọi là phép biến đổi của phép biến hình f bởiphép biến hình g

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

và ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng

Chứng minh Thật vậy nếu phép biến hình f của En(n = 2, 3) là phépafin thì f biến đường thẳng thành đường thẳng do vậy nó biến ba

điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

Xét bộ ba điểm A, B, C không thẳng hàng của En và gọi A0, B0, C0tương ứng là ảnh của A, B, C qua f Ta phải chứng minh A0, B0, C0thẳng hàng Ta chứng minh phản chứng

Giả sử A0, B0, C0 thẳng hàng ta có f là phép afin nên f biến đườngthẳng AB thành đường thẳng A0B0 Vậy tồn tại D nằm trên AB để

f (D) = C0 Do D, C phân biệt điều này vô lý do f (D) = C0 = f (C)

và f là song ánh

Điều này vô lý nên ta kết luận A0, B0, C0 không thẳng hàng

Ngược lại, nếu f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng

hàng và ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng

là phép afin được chứng minh dễ dàng gần như hiển nhiên

Tính chất

+Tính chất 1: Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.+ Tính chất 2: Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường

Kết luận: Chương này đã trình bày một số kiến thức về không gian

Euclide, ánh xạ đẳng cự, các phép biến hình Đây là một số kiến thức

làm cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương tiếp theo

Chương 2

Biểu thức tọa độ của phép dời

hình

Ở chương này trình bày một số nội dung về phép dời hình, biểu

thức tọa độ của phép dời hình, phân loại phép dời hình Những kiến

thức trong chương này chủ yếu lấy trong tài liệu hình học Afin và hình

học Ơlit của Văn Như Cương - Tạ Mân

+ Phép dời hình bảo tồn tính song song.

+ Phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỷ số đơn

+ Phép dời hình bảo tồn khoảng cách, phép dời hình bảo tồn độ dài

đoạn thẳng nên biến một tam giác thành một tam giác bằng nó

Ngược lại, nếu ánh xạ afin mà phương trình đối với mục tiêu trực

chuẩn có ma trận là ma trận trực giao thì ánh xạ đó biến cơ sở trực

chuẩn thành cơ sở trực chuẩn, do đó nó bảo toàn khoảng cách giữa

hai điểm bất kì, cho nên nó là một phép dời hình

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

2.2.2 Phân loại phép dời hình

Cho phép biến đổi afin f : En −→ En biểu thức tọa độ đối với mụctiêu trực chuẩn {O,−→e

Vì A là ma trận trực giao nên detA = ±1

Nếu A là ma trận trực giao và detA = 1 thì f gọi là một phép dời

hình (hoặc phép dời)

Nếu A là ma trận trực giao và detA = −1 thì f gọi là một phép

phản chiếu ( hoặc phản dời hình)

2.2.3 Phép đối xứng qua m − phẳng

Mọi phép biến đổi afin f : En −→ En nếu có tính chất đối hợp(tức f2 = IdE) là phép biến đổi đẳng cự thì f là biến đổi tuyến tínhtrực giao, do đó nếu lấy −→u ∈ −→ϕ và −→v ∈ −→β thì −→f (−→u ) = −→u , −→v ∈

Phép biến đổi đẳng cự như thế gọi là phép đối xứng qua phẳng α

Mọi phép biến đổi đẳng cự đối hợp của En nếu không phải mộtphép đồng nhất thì là phép đối xứng qua m − phẳng

Phép đối xứng qua m − phẳng (0 6 m 6 n − 1) của En là phép dờihình nếu n − m chẵn.

Phép đối xứng qua m− phẳng (06 m 6 n − 1) của En là phép phảnchiếu nếu n − m lẻ

Ví dụ 1: Mọi biến đổi đẳng cự f của En giữ bất động mọi điểm củasiêu phẳng α phải là biến đổi đồng nhất hay phép đối xứng qua siêu

Mọi phép quay quanh (n − 2) − phẳng β đều có thể xem là tích

của hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng (có thể chọn hai siêu phẳng

đó bằng nhiều cách khác nhau)

Ngươc lại tích của hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng cắt nhau

theo (n − 2) − phẳng β là một phép quay quanh β

Định lý 2.1 Cho f : En −→ En là một biến đổi đẳng cự của khônggian Euclide En Khi đó

(i) Nếu Inv(f ) 6= ∅ thì nó là cái phẳng có phương là Inv(−→

f )

(ii) Nếu Inv(−→

f ) ={−→

0 } thì f có điểm bất động duy nhất

(iii) Nếu Inv(−→

f ) có số chiều bằng q thì f là phép dời hình hay phản

chiếu tùy theo n − q

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

Chứng minh (i) Nếu Inv(f ) 6= ∅ thì I ∈ Ensao cho f (I) = I Gọi α làcái phẳng qua I và có phương −→α = Inv−→f Khi đó với mọi M ∈ Inv(f )

(ii) Giả sử đối với mục tiêu trực chuẩn nào đó, biến đổi đẳng cự

f : E −→ E có biểu thức tọa độ x0 = Ax + b Tìm điểm bất động của

f − Id− →

En) 6= 0 tức det(A − In) 6=0

Vì −→

f là biến đổi trực giao nên có thể tìm được một mục tiêu trực

chuẩn sao cho ma trận của f ( tức là −→

f ) có dạng:

−1cosϕ1 −sinϕ1sinϕ1 cosϕ1

cosϕk −sinϕksinϕk cosϕk

Khi đó det A = (−1)n−q−2k = (−1)n−q Từ đó suy ra:

+ Nếu n − q là chẵn thì det A = 1, suy ra f là phép dời

+ Nếu n − q là lẻ thì det A = −1 , f là phép phản chiếu

Định lý 2.2 Mọi phép dời hình của E2 hoặc là một phép tịnh tiếnhoặc là một phép quay

Chứng minh Giả sử f : E2 −→ E2 là một phép dời hình, khi đó sốchiều của Inv(−→

f ) phải bằng 2 hoặc bằng 0 Ta có

f = t− →v g

Nếu Inv(−→

f ) có số chiều bằng 2 thì g = IdE2 Vậy f là một phép tịnhtiến

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

Định lý 2.3 Mọi phép phản chiếu của E2 đều là phép đỗi xứng trượt(hoặc đặc biệt là phép đối xứng)

Chứng minh Nếu f : E2 −→ E2 là phép phản chiếu thì số chiều củaInv(−→

f ) phải bằng 1, nên trong cách phân tích f = t− →v.g thì g phải làphép đẳng cự mà điểm bất động nằm trên đường thẳng α

Vậy g là phép đối xứng qua α

Khi đó g là phép đối xứng trượt

Định lý 2.4 Mọi phép dời trong E3 là một phép xoắn ốc (hoặc đặcbiệt phép tịnh tiến hoặc phép quay quanh đường thẳng)

Chứng minh Gọi f : E3 −→ E3 là một phép dời khi đó Inv(−→

b) Nếu Inv(−→

f ) có số chiều bằng 1, thì g là phép phản dời hình có điểm

bất động nằm trên đường thẳng d đi qua I và có phương−→

d = Inv(−→

f )

Vậy g là phép quay quanh đường thẳng và do đó f là phép xoắn ốc

Hình 2.1: Phép xoắn ốc

Định lý 2.5 Mọi phép phản chiếu đều hoặc là phép đối xứng trượt

hoặc là phép đối xứng quay

Chứng minh Nếu f : E3 −→ E3 là phép phản chiếu thì Inv(−→

f ) có số chiều bằng 0, khi đó f có một điểm bất động

duy nhất I Gọi −→α là không gian riêng của −→f ứng với giá trị riêng

λ = −1

Nếu dim−→α = 1, ta gọi d là đường thẳng đi qua I có phương−→d = −→αthì f |d là phép đối xứng qua I Gọi β là mặt phẳng đi qua I và vuônggóc với d thì f |β là phép quay quanh I

Vậy f là phép đối xứng quay

Nếu điểm −→α = 3 thì f hiển nhiên là phép đối xứng qua I, như tabiết có thể xem như là phép đối xứng quay

2.3.1 Phép dời hình và phản chiếu trong mặt phẳng

Giả sử f là một phép đẳng cự trong mặt phẳng và biểu thức tọa độ

đối với mục tiêu trực chuẩn (O, −→e

e01,−→

e02), ta có A là ma trận trực giao

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

Từ (1) suy ra tồn tại góc ϕ sao cho a11 = cosϕ; a21 = sinϕ

Từ (2) suy ra tồn tại góc θ sao cho a12 = sinθ; a22 = cosθ

Từ (3) suy ra cosϕ.sinθ + sinϕ.cosθ = 0

nên sin(ϕ + θ) = 0

Suy ra ϕ + θ = kπ(k ∈ Z)

Tương đương với θ = −ϕ + kπ

Nếu k chẵn thì a12 = −sinϕ, a22 = cosϕ

Suy ra A =



cosϕ −sinϕ

Khi đó trong mặt phẳng định hướng (quy ước hướng dương là

hướng ngược chiều kim đông hồ, hướng ngược lại gọi là hướng âm)

hợp này phép dời hình bảo toàn khoảng cách và bảo toàn hướng của

trong trường hợp này phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách nhưng không

bảo toàn hướng của mặt phẳng

2.3.2 Phép tịnh tiến

Hình 2.2:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Thị Hạnh

Định nghĩa 2.2 Trong mặt phẳng K cho vectơ −→v Phép biến mỗiđiểm M thành M0 sao cho −−−→

M M0 = −→v được gọi là phép tịnh tiến theovectơ −→v

M M0| = |−→v | Thay tọa độ vectơ vào đẳng thức ta có:

Định nghĩa 2.3 Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm

M thuộc đường thẳng d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc