Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)

Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)Biểu thức tọa độ của phép dời hình và ứng dụng (LV tốt nghiệp)

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHOA TOAN

HOANG THI HANH

BIEU THUC TOA DO CUA PHÉP DỜI HÌNH

VA UNG DUNG

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Ha Noi — Nam 2017

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUGNG DAI HOC SU PHAM HA NOI 2

KHOA TOAN

HOANG THI HANH

BIEU THUC TOA DO CUA PHEP DOI HiNH

VA UNG DUNG

Chuyén nganh: Hinh hoc

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN

PGS.TS Nguyễn Năng Tâm

Ha Noi — Nam 2017

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG 'THỊ HẠNH

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành với sự giúp đỡ chỉ

bảo của các thầy cô trong tổ Hình học trong Khoa Toán của trường

Đại học Sư Phạm Hà Nội 2

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Nguyễn Năng

Tâm, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian để em hoàn

thành được khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn

đề mà em trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu

sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các

thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện

hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2017

Sinh viên Hoang Thi Hanh

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG “THỊ HẠNH

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên

cứu của em dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo,

đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Năng Tâm Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu đã được nêu ra ở phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, khóa luận tốt nghiệp với đề tài: "Biểu Thức Tọa Độ Của

Phép Dời Hình Và Ứng Dụng" không có sự trùng lặp với các khóa

luận khác

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2017

Sinh viên Hoàng 'Thị Hạnh

ii

Mục lục

Lời mở đầu

1 Kiến thức chuẩn bị

1.1

1.2

1.3

không gian Puclide

Ánh xạ đẳng dự Q.2 121 Dịnhngha

122 Dmhlý so 12.3 Biến đổi đẳngcự

1.2.4 Điểm bất động và vectơ bất động của phép biến đổi đẳng cự co Phép biến hình

1.3.1 Các khái niệm của phép biến hình

1.3.2 Phép biến hình añn

13.3 Phép biến hình đẳngecự

2_ Biểu thức tọa độ của phép dời hình Del 2.2 Phép dời hình co 21.1 Dinhnghia .c 2.1.2 Tínhchất

Biéu thitc toa dé cia phép ddihinh

iii

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

2.2.1

3.3.2

2.2.3

2.2.4

Biểu thứctọa độ

Phân loại phép dờihình

Phép đối xứng qua m_— phẳng

Phép quay quanh (œ—2)— phẳng

2.3 Các phép dời hình trong mặt phẳng

2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 Phép dời hình và phản chiếu trong mặt phẳng

Phép tịnh tiến

Phép đối xứng trục

Phép đối xứng tâm

Phep qiiay 26 ee ee ewe em aw ee 3 Ứng dụng biểu thức tọa độ của phép dời hình 3.1 Xác định các loại phép đời hình trong mặt phẳng 3.2 Xác định các yếu tố của phép dời hình

3.3 Tim diém bất động

KẾT LUẬN

Tài liệu tham khảo

iv

19

20

22

23

26

26

38

42

45

46

Khéa luan tot nghiép Dai hoc HOÀNG THỊ HẠNH

1 Lí do chọn đề tài

Hình học là một môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán

Việc giải các bài tập, tìm ra nhiều cách giải trong đó có nhiều cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo, niềm say mê đối với môn hình học Với mỗi bài tập có thể có nhiều phương pháp: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phép biến hình

Trong chương trình toán phổ thông, học sinh đã biết đến các phép

biến hình và việc vận dụng nó như một công cụ để giải một số lớp bài toán hình học nhanh gọn và hợp lí Tuy nhiên việc giải các bài tập về

phép biến hình không phải dễ dàng

Phép dời hình là một trong các phép biến hình cơ bản mà trong

chương trình phổ thông đề cập đến Dặc biệt biếu thức tọa độ của

phép đời hình có thể giúp chúng ta ứng dụng đại số vào hình học đế tìm được lời giải hay, ngắn gọn của bài toán hình học

Yêu thích hình học, yêu thích phép biến hình đặc biệt là phép dời hình nên em đã chọn đề tài: "Biểu thức tọa độ của phép đời hình và ứng dụng" để thực hiện khóa luận tốt nghiệp đại học này

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép dời hình, biểu thức tọa

độ của phép đời hình và ứng dụng của nó vào giải toán

- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa về ứng dụng biểu thức tọa độ

của phép dời hình

3 Dối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG “THỊ HẠNH

- Dối tượng nghiên cứu: biểu thức tọa độ của phép đời hình

- Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng biểu thức tọa độ của phép dời

hình vào giải toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề, các tài liệu tham

khảo liên quan

5 Cau trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận này gồm 3 chương:

Chương 1: "Một số kiến thúc liên quan"

Chương 2: "Diểu thúc tọa độ của phép dời hành "

Chương 3: "Ứng dụng biểu thúc tọa độ của phép dời hành "

Trong suốt quá trình nghiên cứu em đã nhận được sự giúp đỡ tận

tình của thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, các thầy cô trong tổ Hình học

em đã hoàn thành khóa luận này Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới các thầy, các cô

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy

cô và các bạn sinh viên để đề tài này được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho chương

sau Những kiến thức này chủ yếu lấy từ tài liệu Hình học An và

hình học Ởclit của Văn Như Cương- Tạ Mân, Hình học sơ cấp của Đùi Văn Bình - Nguyễn Văn Vạn

1.1 Không gian Euclide

+ Không gian Euelide là không gian alin liên kết với không gian vectơ

Euclide hitu han chiều

+ Không gian Euclide sé gọi là ø chiều nếu không gian vecto Euclide liên kết với nó có chiều bằng n

+ Không gian Euelide thường được kí hiệu là E, không gian vectơ

Euelide liên kết với nó được kí hiệu là

Ví dụ

+ Không gian Oxy thông thường là không gian Euelide 2 chiều ( I2)

+ Mỗi không gian vectơ Euelide hữu hạn chiều với cấu trúc an chính

tác là một không gian Euelide, chẳng hạn như ïR"

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG 'THỊ HẠNH

-+ Các không gian an thực ø chiều đều có thế trở thành không gian

Euclide w chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian

vectơ liên kết với không gian an đã cho

+ Nếu E là không gian Euelide liên kết với không gian vectơ 8 thì

mỗi phẳng œ của nó cũng là không gian Euclide liên kết với a 1.2 Anh xạ đẳng cự

1.2.1 Dịnh nghĩa

Định nghĩa 1.1 Ánh zạ ƒ: lE —> RE của không gian Euclide RE oà

gọi là ánh xạ đẳng cự nếu ƒ là mét anh za afin ma anh va tuyến tính

liên kết fe # —> E/ là một ánh +ạ tuyến tính trực giao của # vd

E

Nhận xét: Từ định nghĩa đó dễ dàng suy ra được đối với mọi cặp 1, Ý thuộc E và ảnh của chúng M/ = ƒ(Mf),N' = ƒ(N) ta có d(M, N) = d(M, N9)

Nói cách khác phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất

kì

1.2.2 Dinh ly

Dinh ly 1.1 Moi anh xa f: E — E’ gitta céc không gian Euclide bảo

tồn khoảng cách giữa hai điểm bất là là một ánh xa đẳng cụ

Tức là với mọi Ä⁄, V € BE ta có d(M, N) = d(M, N)

Chiing minh Lay Ie Eval’ e ƒ(1)

Xét ánh xạ ¿: E —> J xác định như sau:

4

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG “THỊ HẠNH

Giả sử ?” € F ta lay diém M € E sao cho TN = t và đặt

—

y(t) = I'M’ véi M’ = f(M)

Ta chứng mình F;/ không thay đổi tích vô hướng của hai vectơ bất

Suy ra INIM = NIM! tức là + = g().¿()

Vì ¿ bảo tồn tích vô hướng của hai vectơ Tờ, "ở bất kì nên y là ánh

xạ tuyến tính trực giao và rõ ràng ¿ là liên kết của /

Hệ quả 1.1 Ánh zạ đẳng cự bảo tồn số chiều của các phẳng, tính trực giao của các phẳng, khoảng cách giữa các phẳng, thể tích của hộp của đơn hành uùà góc giữa các phẳng

Ví dụ: Xét ánh xạ

ƒ:R.->R (z,)—> (œ+1,+2)

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Nếu ƒ : E —> E là ánh xạ đẳng cự từ không gian Puelide vào

chính nó thì ƒ là đơn ánh nên nó là song ánh (do E hữu hạn chiều)

Khi đó ta gọi nó là một biến đổi đẳng cự của không gian Euelide E

Ánh xạ 7 liên kết với nó là một biến đổi tuyến tính trực giao của T

1.2.4 Diém bất động và vectơ bất động của phép biến đổi

đẳng cự

Dinh nghia 1.2 Cho f : E” —> E” Diém M gọi là điểm bất động

của ƒ nếu ƒ(M) = M Vectơ # gọi là vectơ bất động của Ỷ nếu

Khéa luan tot nghiép Dai hoc HOÀNG 'THỊ HẠNH

1.3 Phép biến hình

1.3.1 Các khái niệm của phép biến hình

Dịnh nghĩa 1.3 Giả sử đã cho tập hợp bất kì 7' # Ú Một song ánh

từ 7' vào chính nó được gọi là một phép biến hình của tập T

Định nghĩa 1.7 Cho phép biến hình ƒ của tập T Hinh H bo phan

của 7' được gọi là hình kép đối với phép biến hình ƒ nếu ta có

ƒ(H) =H Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình

ƒ nếu ta có mọi điểm của ! bất động đối với ƒ

Dịnh nghĩa 1.8 Cho ƒ và ø là hai phép biến hình của tập 7 phép

biến hình h = ø.ƒ.ø "1 gọi là phép biến đổi của phép biến hình ƒ bởi phép biến hình ø.

Khéa luan tot nghiép Dai hoc HOÀNG 'THỊ HẠNH

1.3.2 Phép biến hình añn

Định nghĩa 1.9 Phép biến hình của không gian Euelide *(w = 2,3)

biến đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình añn gọi tat IA phép afin

Dinh lý 1.2 Pháp biến hành của không gian E"{n = 2,3) là phép aJin khi uà chỉ khi nó biến ba điểm thằng hàng thành ba điểm thẳng hàng

va ba diém không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hồng

Chúng minh Thật vậy nếu phép biến hình f cia E”(n = 2,3) là phép aln thì ƒ biến đường thẳng thành đường thẳng do vậy nó biến ba

và f la song ánh

Diéu nay vo ly nén ta két luan A’, B’, C’ khong thẳng hang

Ngược lai, néu f bién ba diém thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng

là phép an được chứng minh dễ dàng gần như hiển nhiên L] Tính chất

+Tinh chat 1: Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng

+ Tính chất 2: Phép afin bao tồn tính song song của hai đường

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Dinh nghĩa 1.10 Phép biến hình của không gian IÊ” (n = 2,3) bảo

tồn khoảng cách giữa hai điểm gọi là phép đẳng cự

Kết luận: Chương này đã trình bày một số kiến thức về không gian

Euelide, ánh xạ đẳng cự, các phép biến hình Dây là một số kiến thức làm cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương tiếp theo

2.1 Phép dời hình

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Ánh xạ đẳng cự ƒ : E —> E được gọi là một phép

dời hình của không gian Euelide E

Ánh xạ ¿ (nền của ƒ) là một biến đổi tuyến tính trực giao của không gian vecto E

10

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

+ Phép dời hình bảo tồn tính song song

+ Phép dời hình bảo tồn tính thẳng hàng và tỷ số đơn

+ Phép dời hình bảo tồn khoảng cách, phép dời hình bảo tồn độ dài

đoạn thẳng nên biến một tam giác thành một tam giác bằng nó + Phép đời hình bảo tồn góc

2.2_ Biểu thức tọa độ của phép dời hình

2.2.1 Biểu thức tọa độ

Biểu thức tọa độ của phép dời hình trong IE" đối với mục tiêu trực

chuẩn cho trước có dạng:

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

2.2.2 Phân loại phép dời hình

Cho phép biến đổi añn ƒ : E” —> IE“ biểu thức tọa độ đối với mục

tiêu trực chuẩn {0,@, Oyo, er} có dang:

[2’] = Ala] + [0]

Khi đó A cũng là ma trân của phép đẳng cấu tuyến tính Ỷ đối với

cơ sở trực chuẩn {O,£}, £}, , 62 }

Bởi vậy phép biến đổi añn ƒ là biến đổi đẳng cự khi và chỉ khi 4

là ma trân trực giao, tức là 4! = lạ

Vi A la ma tran trực giao nên detA = +1

Néu A 1& ma trn truc giao va detA = 1 thì ƒ gọi là một phép dời

B thi f (7) = — # nên do tính trực giao của 7 ta CÓ:

.ở = /(0)f(0)=_—W =t.0=0=> L2

Vay B ở

Phép biến đổi đẳng cự như thế gọi là phép đối xứng qua phẳng a

Mọi phép biến đổi đẳng cự đối hợp của E" nếu không phải một

phép đồng nhất thì là phép đối xứng qua m — phẳng

12

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Phép đối xứng qua me— phẳng (0 < mm < n— 1) của E" là phép dời hình nếu ø — m chan

Phép đối xứng qua m— phẳng (0< m < nœ — 1) của ” là phép phản

Định lý 2.1 Cho ƒ : E" —> E" là một biến đổi đẳng cự của không

gian Euclide E" Khi đó

(i) Néu Inv(f) 4 thi né la cdi phaing c6 phuong la Inv(f)

(ii) Néu mu? ={0} thì Ƒ có điểm bắt động duy nhất

(ii) Nếu Inv(f) có số chiều bằng q thà Ƒ là phép dời hình hay phản chiếu tùy theo n — q

13

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Khi va chi khi M thuéc a

Vay Inv(f) =a

(ii) Gia sit déi vdi muc tiéu truc chuadn nao dé, bién ddi dang cu

ƒ:E—> E cé biéu thie toa do x! = Ax + b Tim diém bat dong cia

ƒ là giải phương trình ma trận

(A— T„ạ)*=b

Ta chỉ cần chứng minh det (A — [,,)2 4 0 That vay we Ino(f) nếu 7(® = tt hay (f — 1d3)(È) = Nếu Fool) = {0 thì det (7 — Idx) 4 0 tite det(A — I,,) A0

Vi Ỷ là biến đổi trực giao nên có thể tìm được một mục tiêu trực

chuẩn sao cho ma trận của ƒ ( tức là 7) có dạng:

14

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Khi do det A = (—1)"-9-?* = (—1)"-4 Tw do suy ra:

+ Néu n—q la chan thi det A = 1, suy ra f 1A phép dời

+ Néu n—q 1a lé thi det A= —1 , f 1A phép phần chiếu Oo

Dinh ly 2.2 Moi phép dời hình của E? hoặc là một phép tịnh tiến

hoặc là một phép quay

Chứng mình Giả sử ƒ : RE? —> RE? là một phép dời hình, khi đó số

chiều của 7 nu(ƒ) phải bằng 2 hoặc bằng 0 Ta có

Ƒƒ =tg

Nếu Inv( Tf) có số chiều bằng 2 thi g = Idg Vay ƒ là một phép tịnh tiến

Nếu 1 HH có số chiều bắng 0 thì ø có điểm bất động duy nhất 7 và

Tử =0 Suy ra ƒ là một phép quay quanh 7 L]

15

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Dinh ly 2.3 Moi phép phản chiếu của R2 đều là pháp đỗi xứng trượt

(hoặc đặc biệt là phép đối xứng)

Chứng mình Nếu ƒ : R2 —>y E2 là phép phản chiếu thì số chiều của

Inv( f) phải bằng 1, nên trong cách phân tích f = t+.g thi g phải là

phép đẳng cự mà điểm bất động nằm trên đường thẳng ơ

Vậy ø là phép đối xứng qua ơ

Dinh ly 2.4 Mọi phép dời trong ” là một phép xoắn ốc (hoặc đặc biệt phép tịnh tiến hoặc phép quay quanh đường thẳng)

Chứng mình Gọi f : E? —> E3 là một phép đời khi đó mu ƒ7 có số chiều bằng 3 hoặc bằng 1 Ta có ƒ =f>.g

a) Nếu Inv(f) có số chiều bằng 3 tức là 7? = Tản Khi đó ƒ là một phép tịnh tiến

b) Nếu Inv( 7 có số chiều bằng 1, thì ø là phép phản dời hình có điểm

bất động nằm trên đường thẳng đ đi qua 7 và có phương a = Inv( f) Vậy ø là phép quay quanh đường thẳng và do đó ƒ là phép xoắn ốc L]

Hình 2.1: Phép xoắn ốc

16

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

duy nhất I Goi đà không gian riêng của 7? ứng với giá trị riêng

À=-I

Nếu dim đ = 1, ta gọi đ là đường thẳng đi qua Ï có phương # =a thì ƒ|¿ là phép đối xứng qua J Gọi đ là mặt phẳng đi qua J va vuéng góc với d thì ƒ[s là phép quay quanh J

Vậy ƒ là phép đối xứng quay

Nếu điểm @ = 3 thì ƒ hiển nhiên là phép đối xứng qua J, nhu ta

biết có thể xem như là phép đối xứng quay Oo

2.3 Các phép dời hình trong mặt phẳng

2.3.1 Phép dời hình và phản chiếu trong mặt phẳng

Giả sử ƒ là một phép đẳng cự trong mặt phẳng và biểu thức tọa độ

đối với mục tiêu trực chuẩn (Ó, £?, €3) 1a [a’] = Ala] + [0]

Trong đó 4 = (a¡;) là ma trận chuyển cơ sở trực chuẩn ( a, @)

ae ke

sang cơ sở ảnh (e‡, e¿), ta có A la ma tran truc giao

17

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Do I2) = |eš| và eÌ.eŸ = 0 nên :

dân + a, =1 (1)

441-412 + 21.d22 = 0 (3)

Tw (1) suy ra tén tai g6c y sao cho ay, = cosy; ay, = siny

Tw (2) suy ra tén tai g6c 0 sao cho ay = sind; ag = cos0

Tw (3) suy ra cosy.sin@ + siny.cosb = 0

nén sin(y +0) =0

Suy ra p +0 = kz(k € Z)

Tương đương với Ø = — + k7

Néu k chan thi ay = —sing, dạa = cos0

cosp —siny Suy ra A=

Nhóa luận tốt nghiệp Dại học HOÀNG THỊ HẠNH

Khi đó trong mặt phẳng định hướng (quy ước hướng dương là hướng ngược chiều kim đông hồ, hướng ngược lại gọi là hướng âm)

Các góc định hướng hợp bởi (£, #Ÿ) và hợp bởi ( xi ef) là giống nhau

(ta nói hai cơ sở có cùng hướng) Như vậy có thể nói, trong trường

hợp này phép dời hình bảo toàn khoảng cách và bảo toàn hướng của

bảo toàn hướng của mặt phẳng