CHUONG 2 HE PHUONG TRINH TUYEN TINH

Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m phương trình bậc nhất theo n ẩn số có dạng tổng quát như sau .... Do đó bằng cách xét ma trận các hệ số mở rộng, mỗi phép bi

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1 KHÁI NIỆM CHUNG

1.1 Định nghĩa

Hệ phương trình tuyến tính là một hệ thống gồm m phương trình bậc nhất

theo n ẩn số có dạng tổng quát như sau

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

(1.1)

trong đó x , x , , x1 2 … n là các ẩn cần tìm, a ∈ (gọi là các hệ số) và i j b ∈i (gọi là

các hệ số tự do), i 1, m= , j 1,n= Đặt

A

,

1 2

n

x x X x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ,

1 2

m

b b B b

= ⎜ ⎟

,

( )

,

trong đó ta gọi A là ma trận các hệ số, A là ma trận bổ sung (ma trận các hệ số

mở rộng), X là ma trận ẩn và B là ma trận các hệ số tự do Khi đó, hệ phương

trình tuyến tính (1.1) được viết lại dưới dạng phương trình ma trận là

AX B=

1.2 Định nghĩa

i) Ta gọi bộ n thứ tự ( ) n

c ,c , ,c ∈… là một nghiệm của hệ (1.1) nếu ta thay

x =c , x2 =c2, , xn =cn vào (1.1) thì tất cả các đẳng thức trong (1.1) đều được

thỏa

ii) Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương khi chúng có chung

tất cả các nghiệm : nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại

Chú ý Nếu ta đổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế của một phương trình

với một số khác 0, hay thay một phương trình bằng phương trình đó cộng với một

hằng số nhân với phương trình khác, ta nhận được một hệ phương trình mới tương

đương với hệ ban đầu Do đó bằng cách xét ma trận các hệ số mở rộng, mỗi phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận này cho ta một ma trận các hệ số mở rộng

của một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ ban đầu

2 HỆ CRAMER

2.1 Định nghĩa

Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số và

định thức của ma trận các hệ số khác 0

Ví dụ 1 Hệ phương trình

⎪

⎨

⎩ là hệ có số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận các hệ số là

1 2 0

−

= − ≠

nên là hệ Cramer

Viết hệ Cramer dưới dạng ma trận AX B= Vì ma trận các hệ số A có định thức khác 0 nên khả nghịch và do đó hệ Cramer luôn luôn có đúng một nghiệm và có thể giải bằng một trong các phương pháp sau đây

2.2 Các phương pháp giải hệ Cramer AX B=

i) Phương pháp 1. Dùng ma trận nghịch đảo A− 1 để giải phương trình ma trận,

1

AX B= ⇔ X A B= −

ii) Phương pháp 2. Phương pháp Gauss : dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng biến ma trận bổ sung A =( )A B thành ma trận A′= (A B′ ′),

( ) Các phép biến đổi sơ cấp ( )

A = A B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→A′ = A B′ ′ , sao cho A′ là ma trận tam giác trên (có các phần tử trên đường chéo khác 0) Ma trận A′ là ma trận bổ sung của hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ ban đầu và hệ này dễ dàng giải được bằng cách giải từng phương trình từ dưới lên

trên

iii) Phương pháp 3 Dùng định thức (công thức Cramer)

Xét A , i 1,ni = là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bằng cột các hệ số tự do Khi đó, hệ Cramer có nghiệm duy nhất i

i

det A x

det A

= , i 1,n=

Ví dụ 2 Xét hệ phương trình tuyến tính

⎪

⎨

⎩

i) Dùng ma trận nghịch đảo A− 1 : Ma trận các hệ số

1 3 7

7 1 4

có định thức A ≠0 nên khả nghịch,

1

−

và nghiệm duy nhất của hệ được xác định bởi

1

−

⎪

ii) Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng Biến đổi

22 5

(3): (3) (2) (2): (2) 2(1)

(3): (3) 7(1)

= +

= −

= +

ta nhận được hệ phương trình tương đương

3 3

x

⎩

iii) Dùng định thức

1 3 7

7 1 4

−

1 3 7

1 1 4

2

1 1 7

7 1 4

−

1 3 1

7 1 1

−

Nghiệm của hệ là

1 1

det A

det A

2

det A

det A

3

det A

det A

3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát khi số phương trình khác số ẩn hay số phương trình bằng số ẩn mà định thức của ma trận các hệ số bằng 0 người

ta có thể giải bằng phương pháp Gauss Phương pháp Gauss là phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để chuyển ma trận các hệ số mở rộng ( )

A = A B thành ma trận A′ =(A B′ ′) sao cho A′ là ma trận bậc thang theo dòng Bấy giờ ma trận A′ là ma trận các hệ số mở rộng của hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ ban đầu và ta có các khả năng sau

Khả năng 1 Ma trận A′ có một dòng 0 với hệ số tự do tương ứng khác 0, nghĩa là trong ma trận A′ có dòng dạng (0 0 0 b , b 0) ≠ Dòng này tương ứng với phương trình

0x + 0x + + 0x = b Phương trình này vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

Khả năng 2 Mọi dòng 0 của A′ đều có hệ số tự do tương ứng bằng 0 Mỗi

dòng tương ứng với một phương trình theo n ẩn, nhận bất cứ giá trị nào của các ẩn làm nghiệm nên ta có thể bỏ đi mà không làm mất nghiệm của hệ Khi đó, trên mỗi bậc thang của A′ , ta chọn một ẩn (với hệ số tương ứng khác 0) mà ta gọi là ẩn

cơ sở, các ẩn còn lại trở thành ẩn tự do Cho ẩn tự do các giá trị tùy ý và chuyển về

vế phải, ta được hệ Cramer theo các ẩn cơ sở (chính xác hơn, ma trận các hệ số của các ẩn cơ sở là một ma trận tam giác trên với các phần tử trên đường chéo khác 0) và ta dễ dàng giải được hệ này, nghĩa là tính được giá trị của các ẩn cơ sở theo ẩn tự do Chú ý rằng nếu hệ không có ẩn tự do thì hệ có đúng một nghiệm, nếu hệ có

ít nhất một ẩn tự do thì hệ có vô số nghiệm Từ đó, ta được kết quả sau

3.1 Định lý Kronecker – Capelli

Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số, AX B= Với A =( )A B , ta có

(i) Nếu rank A rank A< thì hệ vô nghiệm

(ii) Nếu rank A rank A n= = thì hệ có duy nhất một nghiệm

(iii) Nếu rank A rank A n= < thì hệ có vô số nghiệm

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình tuyến tính sau

⎪

⎨

⎩ Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận các hệ số mở rộng của hệ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 2 4 13 : 3 2 1

= −

= −

( ) ( ) ( )3 : 3 2 1 3 2 1 2

= −

,

ta nhận được hệ phương trình tương đương, trong đó dòng (0 0 0 0 2 cho ta ) phương trình

0x +0x +0x +0x = 2 Phương trình này vô nghiệm, nên hệ đã cho vô nghiệm

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình tuyến tính

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩ Biến đổi ma trận các hệ số mở rộng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 : 2 2 1

3 : 3 1

4 : 4 3 1

5 : 5 2 1

= −

= −

= −

= −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 : 3 2

4 : 4 2 2

5 : 5 3 2

= −

= −

= −

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 : 45 : 5 33

= +

= +

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

−

( ) ( ) ( )5 : 5 4

= −

−

,

ta nhận được hệ phương trình tương đương, với phương trình cuối có dạng

0x +0x +0x +0x =0 Phương trình này thỏa với mọi giá trị x , x , x , x1 2 3 4 nên có thể bỏ đi mà không làm thay đổi tập nghiệm của hệ và ta nhận được ma trận bổ sung của hệ phương trình tương đương

A

Với ma trận này, ta được hệ phương trình

4

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩ Giải từng phương trình của hệ này từ dưới lên, ta nhận được nghiệm

(29 17 4)

3 ; −2; 3 ; − 3

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình tuyến tính sau :

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩ Biến đổi

( ) ( )2 : 1

A

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 : 2 3 1

3 : 3 1

4 : 4 12 1

= −

= −

= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 : 34 : 4 5 22

= −

= −

Bỏ hai dòng cuối, ta được ma trận bổ sung của hệ phương trình tương đương

Chọn x , x1 2 làm các ẩn cơ sở, x , x3 4 trở thành ẩn tự do Cho x3 = m, x4 = n; m,n ∈ Ta được

2

⎪

⎪⎩

5

⎪

⇔ ⎨

⎪⎩

Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát

2m n 2 ; 2m 5n 7 ; m ; n

Sau đây ta xét một trường hợp đặc biệt của hệ phương trình tuyến tính tổng quát Đó là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

4.1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất khi tất cả các

hệ số tự do bằng 0, nghĩa là hệ có dạng

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

…

…

…

4.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ít nhất một nghiệm gồm toàn các số 0 Do đó, đối với hệ phương trình thuần nhất, ta chỉ có hai khả năng :

• Hệ có duy nhất một nghiệm (nghiệm gồm toàn số 0) mà ta gọi là nghiệm tầm thường

• Hệ có ít nhất một nghiệm không tầm thường Khi đó hệ có vô số nghiệm Để giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bằng phương pháp Gauss, ta chỉ cần thực hiện các phép biến đổi trên ma trận các hệ số (cột tự do luôn luôn ngầm hiểu gồm toàn số 0)

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩ Biến đổi sơ cấp trên dòng ma trận các hệ số

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 : 2 3 1

3 : 3 4 1

4 : 4 3 1

A

= −

= −

= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 : 3 3 2

4 : 4 2 2

2 : 2

0 0 0 0

= −

= +

=−

−

Chọn x , x1 2 làm các ẩn cơ sở, x , x3 4 trở thành các ẩn tự do và ta được hệ phương trình tương đương

⎪

⎨

⎪⎩

Cho x3 = a, x4 = b tùy ý, ta được

1 2

⎪

⎨

⎪⎩

Vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất đã cho có vô số nghiệm và nghiệm tổng quát của hệ đã cho là (8a 7b ; 6a 5b ;a ; b− − + ) với a, b ∈

Bài tập

1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng công thức Cramer

a)

⎪

⎨

⎩

b)

⎪

⎨

⎩

c)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

2 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss

a)

⎪

⎨

⎩

b)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

c)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

d)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

e)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

f)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

g)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

h)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

3 Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau

a)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

b)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

c)

⎪

⎪

⎪

⎩

d)

⎪

⎪

⎪

⎩

e)

⎪

⎪

⎪

⎩

4 Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau

a)

2

⎨

⎪

⎪⎩

b)

⎪

⎪

⎨

⎪

⎩

c)

⎪

⎨

⎩

5 Cho hệ phương trình

⎪

⎨

⎩

Xác định trị số k sao cho :

a) Hệ có một nghiệm duy nhất

b) Hệ không có nghiệm

c) Hệ có vô số nghiệm

6 Cho hệ phương trình

⎪

⎨

⎩

Xác định trị số k sao cho :

a) Hệ có một nghiệm duy nhất

b) Hệ không có nghiệm

c) Hệ có vô số nghiệm