Hệ vô nghiệm.. Hệ có vô số nghiệm.. Hệ có nghiệm duy nhất.. Hệ vô nghiệm.. Hệ có vô số nghiệm.. Hệ vô nghiệm.. Hệ có vô số nghiệm.
Trang 1Bài tập
1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng công thức Cramer
a)
⎪
⎨
⎩
b)
⎪
⎨
⎩
c)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎩
ĐS: a) D 18= ; D1 =18; D2 = 36; D3 = −18; 1
1
D
D
2
D
D
= = ;
3
3
D
D
= = −
b) D = −5; D1 =10; D2 = −15; D3 = −25; 1
1
D
D
2
D
D
= = ; 3 D3
D
= =
c) D = −6; D1 = −36; D2 = 34; D3 = −12; D4 =2; 1
1
D
D
2
x
= = − ;
3
3
D
D
4
x
= = −
2 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Gauss
a)
⎪
⎨
⎩
b)
⎪
⎪
⎪
⎪
Trang 2d)
⎪
⎪
⎪
⎩
e)
⎪
⎪
⎪
⎩
f)
⎪
⎪
⎪
⎩
g)
⎪
⎪
⎪
⎩
h)
⎪
⎪
⎪
⎩
ĐS: a) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 : 2 4 13 : 3 2 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2
0 13 5 2 7
= −
Trang 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 : 2 1
= −
Hệ có nghiệm duy nhất x1 = 2; x2 =3; x3 = 0; x4 = −1
c) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 : 2 1
= −
Hệ có vô số nghiệm Chọn ẩn tự do x3 = m hay x4 = m, với m ∈ , và tính x , x1 2
theo m
d) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 5 7 5
2 : 2 2 1
3 : 3 2
3 : 3 3 1
4 : 4 2 2
0 0
0 0
= −
= −
= −
= +
18 36 54
0 0
Trang 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 : 2 3 1
4 : 4 12 1
3 : 3 2
4 : 4 5 2
= −
= −
= −
= −
= −
∼
Hệ có vô số nghiệm Chọn 2 trong 3 ẩn x , x , x2 3 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại theo các ẩn tự do
f) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
2 : 2 2 1
3 : 3 2
3 : 3 1
5 10
3 3
4 : 4 3 3
5 10
0 0
0 0
= −
= −
= −
= −
⎜
⎟
⎟
Hệ vô nghiệm
g) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 : 2 2 1
3 4
= −
−
∼
⎞
⎟
⎟
Trang 5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 : 2 2 1
= −
Hệ có vô số nghiệm Chọn 2 trong 3 ẩn x , x , x2 3 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại theo các ẩn tự do
3) Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau
a)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎩
b)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎩
c)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎩
d)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎩
⎪
⎪
Trang 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 : 2 1
3 : 3 2
3 : 3 2 1
= −
= −
= −
− −
Chọn 2 trong 3 ẩn x , x , x2 3 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại theo các ẩn tự do
b) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
9
5
7
5
2 : 2 3 1
4 : 4 2 1
3 : 3 2
44
4 : 4 2
5 3 5
0 5 10 14
= −
= −
= −
= −
= −
⎜
−
−
⎝
∼
( ) ( ) ( )4 : 4 5 3
44 5 217 5
0 5 10 14
= +
−
Hệ chỉ có nghiệm tầm thường
c) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 : 2 3 1
= −
Chọn 2 trong 3 ẩn x , x , x2 3 4 làm ẩn tự do và tính hai ẩn còn lại theo các ẩn tự do
d) Biến đổi
Trang 7( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 : 2 1
4 : 4 3
= −
= +
Chọn x5 và 1 trong 2 ẩn x , x2 3 làm các ẩn tự do và tính ba ẩn còn lại theo các ẩn tự do 4) Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau
a)
2
⎨
⎪
⎪⎩
b)
⎪
⎪
⎨
⎪
⎩
c)
⎪
⎨
⎩
ĐS: a) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 : 3 1
2 3
= −
= −
∼
∼
m
Trang 8m = −2 : Rank A 2 Rank A 3= < = Hệ vô nghiệm
m 1= : Rank A 1 Rank A 3= = < (số ẩn) Hệ có vô số nghiệm
m 1, 2≠ − : Rank A Rank A 3= = (số ẩn) Hệ có nghiệm duy nhất b) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 : 2 2 1
3 : 3 3 1
4 : 4 5 1
5 : 5 6 1
3 : 3 2
4 : 4 2 2
5 : 5 2 2
0 0 0 0 m 39
= −
= −
= −
= −
= −
= −
= −
−
⎛
⎜
−
⎜
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜
−
⎜
⎜
⎝
( ) ( )3 5
0 0 0 0 m 39
−
−
∼
m 39≠ : Rank A 3 Rank A 4= < = Hệ vô nghiệm
m 39= : Rank A 3 Rank A 4= = < (số ẩn) Hệ có vô số nghiệm
c) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 : 2 2 1
3 : 3 4 1
3 : 3 2
1 2 1 1
0 0 1 1
0 0 0 m 5
= −
= −
= −
m 5≠ : Rank A 2 Rank A 3= < = Hệ vô nghiệm
m 5= : Rank A 2 Rank A 3= = < (số ẩn) Hệ có vô số nghiệm
5) Cho hệ phương trình
⎪
⎨
⎩
Trang 9( ) ( ) ( ) ( )
3 : 3 1
= −
ta suy ra
k = −3 : Rank A 2 Rank A 3= < = ;
k 2= : Rank A 2 Rank A 3= = < ;
k 2, 3≠ − : Rank A Rank A 3= =
Vậy a) Hệ có một nghiệm duy nhất khi k 2, 3≠ −
b) Hệ không có nghiệm khi k = −3
c) Hệ có vô số nghiệm khi k 2=
6) Cho hệ phương trình
⎪
⎨
⎩
Xác định trị số k sao cho
a) Hệ có một nghiệm duy nhất
b) Hệ không có nghiệm
c) Hệ có vô số nghiệm
ĐS: Biến đổi
( ) ( ) ( )
3 : 3 1
2
0 1 k k 1 0
1 k
0 1 k 1 k
= −
= −
= − +
⎜
⎜
∼
∼