Chương 10: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH pdf

Một hệ phơng trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm đợc gọi là hệ tơngthích, có duy nhất nghiệm đợc gọi là hệ xác định, có vô số nhiệm đợc gọi là hệ vô định.. Các phép biến đổi sau đây t

Nhận xét 10.1.

(i) Từ hệ (I) ta thành lập đợc các ma trận sau:

X = (x1, x2, , xn)T là ma trận cấp n1 đợc gọi là vectơ ẩn số của hệ (I)

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

a a

.

.

a

a a

a

a a

đợc gọi là ma trận các hệ số của ẩn của hệ (I)

B = (b1, b2, , bm)T là ma trận cấp m1 đợc gọi là vectơ hệ số tự do của hệ(I) Thì hệ (I) còn đợc viết dới dạng ma trận nh sau: AX = B.

(ii) Nếu gọi A1, A2, , An lần lợt là các cột của ma trận A Thì hệ (I) còn

đ-ợc viết dới dạng vectơ nh sau: A1 x1 A2 x2  An xn = B.

(iii) Thành lập ma trận A  A B và đợc gọi là ma trận bổ sung của hệ

(I) Thì việc cho hệ (I) hay cho ma trận bổ sung là nh nhau.

, X =

x y z

Hệ trên đợc cho dới dạng ma trận nh sau: AX = B.

Hệ trên đợc cho dới dạng vectơ nh sau: A1x  A12y  A3z = B.

10.1.2 Nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính.

Cho hệ phơng trình tuyến tính (I) Vectơ X0 =(1,2, ,n)T đợc gọi là

nghiệm của hệ (I) nếu: AX0 = B hay A1 1 A2 2, , An n = B.

Một hệ phơng trình tuyến tính có ít nhất một nghiệm đợc gọi là hệ tơngthích, có duy nhất nghiệm đợc gọi là hệ xác định, có vô số nhiệm đợc gọi là

hệ vô định

Một hệ phơng trình tuyến tính không có nghiệm nào cả đợc gọi là hệkhông tơng thích hay hệ vô nghiệm

Hai hệ phơng trình tuyến tính đợc gọi là tơng đơng nếu mọi nghiệm của

hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngợc lại hoặc cả hai hệ phơng trìnhtuyến tính đó đều vô nghiệm

10.1.3 Phép biến đổi sơ cấp.

Các phép biến đổi sau đây thực hiện vào một hệ phơng trình tuyến tính

đợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

 Đổi chỗ hai phổi chỗ hai phơng trình cho nhau.

 Nhân hai vế của một phơng trình với một hằng số tuỳ ý khác không.

 Nhân hai vế của một phơng trình với một hằng số tuỳ ý rồi cộng vào

một phơng trình khác.

Ví dụ 10.3 Cho hệ phơng trình tuyến tính:

Định lý 10.1 Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ phơng trình tuyến tính biến đổi hệ đã cho về một hệ mới tơng đơng với nó.

Chứng minh Đối với các phép biến đổi thứ nhất và thứ hai thì kết quả trênhiển nhiên đúng, ta chỉ cần chứng minh cho phép biến đổi thứ ba

Cho hệ phơng trình tuyến tính (I)

Giả sử trong hệ (I) ta nhân phơng trình 1 với số k và cộng vào phơngtrình 2 (các trờng hợp khác chứng minh tơng tự) Thì hệ (I) và hệ mới lần lợtlà:

ai11 ai22  ainn  bi.

Chứng tỏ X =(1, 2, , n)T không phải là nghiệm của phơng trình thứ icủa hệ (II) Do đó hệ (II) vô nghiệm

(ii) Nếu hệ (II) vô nghiệm  mỗi X =(1, 2, , n)T Rn đều tồn tại i 

1,3,4, ,m sao cho:

ai11 ai22  ainn  bi,

hoặc (ka11 a21)1 (ka12 a22)2  (ka1n a2n)n  k b1  b2.

 a211 a222  a2nn  b2.

Chứng tỏ X =(1, 2, , n)T không phải là nghiệm của phơng trình thứ i(hoặc phơng trình thứ 2) của hệ (I) Do đó hệ (I) vô nghiệm

(iii) Nếu hệ (I) có nghiệm X 0 =(1, 2, , n)T thì

ai11 ai22  ainn = bi (i =1,2, ,m)

 a111 a122  a1nn = b1  ka111 ka122  ka1nn = kb1.

 (ka11 a21)1 (ka12 a22)2  (ka1n a2n)n = k b1  b2.

Chứng tỏ X =(1, 2, , n)T là nghiệm của hệ(II) Vậy mọi nghiệm của hệ(I) cũng là nghiệm của hệ (II).

(iiii) Nếu hệ (II) có nghiệm X 0 =(1, 2, , n)T thì

ai11 ai22  ainn = bi (i =1,3,4, ,m)

và (ka11 a21)1 (ka12 a22)2  (ka1n a2n)n = k b1  b2.

Vì a111 a122  a1nn = b1  ka111 ka122  ka1nn = kb1.

 a211 a222  a2nn = b2.

Chứng tỏ X =(1, 2, , n)T là nghiệm của hệ(I) Vậy mọi nghiệm của hệ

(II) cũng là nghiệm của hệ (I).(đpcm)

10.2 hệ phơng trình tuyến tính Crame

10.2.1 Định nghĩa hệ phơng trình tuyến tính Crame.

Định nghĩa 10.2. Cho hệ phơng trình tuyến tính AX = B Hệ AX = B đợc gọi

là hệ phơng trình tuyến tính Crame nếu hệ đó có số phơng trình bằng số ẩn

Rn hay nã lµ mét c¬ së cña Rn  B biÓu thÞ tuyÕn tÝnh duy nhÊt qua c¸c vect¬ cña hÖ A1,A2, ,An:

A1 1 A2 2  An n = B.

Chøng tá hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (1, 2, , n)T MÆt kh¸c, víi mçi k

2,3, ,n1 (k =1, k = n chøng minh t¬ng tù) ta cã:

Ak(B) = Ak(A1 1 A2 2  An n)

= A1, A2, , Ak-1 ,A1 1 A2 2  An n, Ak+1, , An

= 1Ak(A1)  2Ak(A2)  k-1Ak(Ak-1)  kAk(Ak) k+1Ak(Ak+1) 

 nAk(An) = kAk(Ak) =kA

Do đó, hệ đ cho là hệ phã cho là hệ ph ơng trình tuyến tính Crame có duy nhấtnghiệm:

Chú ý 10.1 Nếu hệ AX = B là hệ phơng trình tuyến tính Crame thì A  0

Do đó, ma trận A có duy nhất ma trận nghịch đảo A1 và hệ có nghiệm duynhất X0 Khi đó:

và d = 1

Hệ (I) là hệ phơng trình tuyến tính có số phơng trình bằng số ẩn và bằng 3;có:

Cho hệ phơng trình tuyến tính (I) AX = B với A = (aij)mn, X  Rn, B  Rm

và ma trận bổ sung của nó là A = (AB)

Định lý 10.3 (Định lý Croneker – Capeli) Đổi chỗ hai phiều kiện cần và đủ để hệ

ph-ơng trình tuyến tính (I) có nghiệm là hg(A) = hg( A )

Chứng minh

Đổi chỗ hai phiều kiện cần: Giả sử hệ (I) có nghiệm và X0 = (1,2, ,n)T là mộtnghiệm của hệ, khi đó:

A1 1 A2 2  An n = B, trong đó A1, A2, , An tơng ứng là các cột của ma trận A Chứng tỏ vectơ B biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ A1,A2, ,An.

 hg(A1,A2, ,An,B) = hg(A1,A2, ,An, A1 1 A2 2  An n) = hg(A1,A2, ,An)

B = A1 1 A2 2, , Ar r = A1 1 A2 2  Ar r  Ar+1 0 Ar+2 0   An 0.

Chứng tỏ X1 = (1,2, ,r,0,0, ,0)T là một nghiệm của hệ (I) Hay hệ (I)

có nghiệm (đpcm)

10.3.2 Phơng pháp Gauss giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát Bài toán: Giải hệ phơng trình tuyến tính

với A = (aij)mn, X  Rn, B  Rm và ma trận bổ sung của nó là A = (AB)

Chúng ta đ biết: Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ phã cho là hệ ph ơngtrình tuyến tính, chính là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơdòng của ma trận bổ sung của hệ đó Đồng thời các phép biến đổi sơ cấp thựchiện vào một hệ phơng trình tuyến tính, biến đổi hệ đ cho về một hệ mới tã cho là hệ ph -

ơng đơng với nó Chính vì vậy, Gauss đ đã cho là hệ ph a ra phơng pháp giải hệ phơngtrình tuyến tính tổng quát nh sau:

Thành lập ma trận A , rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào

hệ các vectơ dòng của ma trận A , biến đổi ma trận A về một ma trận mới có dạng hình thang hoặc tam giác (các trờng hợp khác ta xét sau) nh sau:

Trờng hợp 1. Nếu trong các số br+1, br+2, , bm có ít nhất một số khác

0 Thì hg(A) < hg( A ) nên hệ đã cho vô nghiệm.

Trờng hợp 2. Nếu br+1= br+2= = bm = 0 và aii  0 ( i = 1,2, ,r) Thì hg(A) = hg( A ) = r nên hệ đã cho có nghiệm và tơng đơng với hệ mới gồm r phơng trình ứng với r dòng khác không của ma trận C Các ẩn x1, x2, , xr đ-

ợc chọn làm ẩn cơ sở, các ẩn còn lại đợc gọi là các ẩn tự do.

Đổi chỗ hai phể tìm nghiệm tổng quát của hệ đã cho, ngời ta tìm các ẩn cơ sở thông qua các ẩn tự do từ phơng trình thứ r (trong hệ C ) ngợc trở về phơng trình 1 Muốn tìm một nghiệm riêng của hệ đã cho, ta cho các ẩn tự do tơng ứng mỗi ẩn một giá trị cụ thể.

Trờng hợp 3 Nếu br+1= br+2= = bm = 0 mà aii 0 ( i= 1,2, ,r2 > 0), arr  0 và a(r-1)(r-1) = 0 Thì C có dạng (sau khi bỏ các dòng bằng không):

b a

 Nếu a(r-1) r  0 thì biến đổi tiếp ma trận C  sao cho phần tử nằm trên1dòng r1, cột r1 của ma trận nhận đợc tiếp theo bằng 0 Sauđó làm tơng tự trờng hợp 2 với ẩn x1, x2, , xr-2 , xr , xr+1 đợc chọn làm ẩn cơ sở (có thể chọn x1, x2, , xr-3 , xr-1 , xr+1 làm ẩn cơ sở), các ẩn còn lại đợc gọi là các ẩn tự do.

Lặp lại quá trình trên cho đến khi không làm đợc nữa.

Trờng hợp 4 Nếu ma trận mới C có dạng tam giác thì hệ đã cho là hệ phơng trình tuyến tính Crame do đó có duy nhất nghiệm nghiệm của hệ đợc tìm từ phơng trình thứ n (ứng với dòng thứ n của ma trận C ) ngợc trở về ph-

X0 = (8, 0, 0, 0, 0, 3)T.

VÝ dô 10.8 Dïng ph¬ng ph¸p Gauss t×m nghiÖm tæng qu¸t råi chØ ra métnghiÖm riªng cña hÖ sau:

VËy hg(A) = 2 < hg(A ) = 3 nªn hÖ ® cho v« nghiÖm.· cho lµ hÖ ph

VÝ dô 10.9 Dïng ph¬ng ph¸p Gauss t×m nghiÖm tæng qu¸t råi chØ ra métnghiÖm riªng cña hÖ sau:

Nhân dòng 3 với (8) rồi cộng vào dòng 4 sau khi nhân dòng 4 với 5 ta ợc:

với A = (aij)mn, X  Rn, B  Rm và ma trận bổ sung của nó là A = (AB)

Chúng ta đ biết: Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ phã cho là hệ ph ơngtrình tuyến tính, chính là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ các vectơdòng của ma trận bổ sung của hệ đó Đồng thời các phép biến đổi sơ cấp thựchiện vào một hệ phơng trình tuyến tính, biến đổi hệ đ cho về một hệ mới tã cho là hệ ph -

ơng đơng với nó Chính vì vậy, nội dung của phơng pháp khử toàn phần giải

hệ phơng trình tuyến tính tổng quát nh sau:

Thành lập ma trận A , rồi dùng các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào

nhau Các bớc còn lại giống phơng pháp Gauss, r ẩn ứng với r cột vectơ đơn

vị khác nhau đó chọn làm các ẩn cơ sở, các ẩn còn lại là ẩn tự do.

Chú ý 10.3. Nếu trong quá trình biến đổi ma trận A mà xuất hiện trờng hợp bên phía ma trận A có k dòng khác 0 n và k cột vectơ đơn vị nhng có nhiều vectơ đơn vị giống nhau thì cha dừng lại ở đó mà phải biến đổi tiếp cho đến khi số dòng khác 0 n bằng số cột vectơ đơn vị khác nhau mới dừng lại Trong các ẩn ứng với các vectơ cột giống nhau, giữ lại một ẩn làm ẩn cơ sở các ẩn còn lại đa sang ẩn tự do Số ẩn cơ sở bằng số dòng khác 0 n và bằng hạng của ma trận A.

Ví dụ 10.9 Dùng phơng pháp khử toàn phần tìm nghiệm tổng quát rồi chỉ

ra một nghiệm riêng của hệ sau:

X0 = (156, 194, 19, 0, 0, 0)T.

10.4 hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt

10.4.1 §Þnh nghÜa hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt.

Định nghĩa 10.3. Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất là hệ phơng trình tuyến tính có dạng: AX = 0 m , trong đó A = (a ij)mn, X  R n

Nhận xét 10.3 Hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 m luôn có

nghiệm X = 0 n và đợc gọi là nghiệm tầm thờng Một nghiệm X  0 n đợc gọi lànghiệm không tầm thờng

Định lý 10.4 Đổi chỗ hai phiều kiện cần và đủ để hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất

AX = 0 m có nghiệm không tầm thờng là hg(A) < n.

Chứng minh Gọi A1, A2, A3, , An lần lợt là các cột của ma trận A Hệ phơng

trình tuyến tính thuần nhất AX = 0 m có nghiệm không tầm thờng  tồn tại

X0 =(x1, x2, x3, , xn)  0n sao cho: A1x1 A2x2 A3x3  An xn= 0 n hay hệ A1, A2, A3, , An là hệ phụ thuộc tuyến tính.

 hg(A) = hg(A1, A2, A3, , An) < n (đpcm)

Chú ý 10 4 Việc giải hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất giống nh việc giải hệ phơng trình tuyến tính tổng quát với B = 0 m Vì vậy, thay cho việc thành lập và làm việc với ma trận A ta chỉ cần thành lập và làm việc với ma trận A là đủ.

10.4.2 Tính chất của tập hợp các nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất.

Gọi C là của tập hợp các nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính thuần

nhất (III) AX = 0 m (trong đó A = (a ij)mn, X  Rn)

Định lý 10.5 Tập hợp C các nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính thuần

nhất AX = 0 m là một không gian con của R n và có số chiều là n r, trong đó r

là hạng của ma trận A.

Chứng minh a) Vì X0 = 0 n là nghiệm của hệ (III) nên C  

b) Lấy X, Y bất kỳ trong C và k là số thực bất kỳ thì: AX = 0 m , AY = 0 m nên A(X  Y) = AX  AY = 0 m  0 m = 0 m  X  Y  C.A(kX) = k AX =k 0 m = 0 m

 kX  C Từ a) và b) suy ra C là một không gian con của Rn

c) Vì hg(A) = r, nên nếu dùng phơng pháp khử toàn phần tìm nghiệm tổng

quát của hệ AX = 0 m thì trong nghiệm của hệ có r ẩn cơ sở và n r ẩn tự do Không giảm tổng quát, ta giả sử r ẩn x1, x2, , xr là ẩn cơ sở, các ẩn còn lại là

ẩn tự do Thì nghiệm tổng quát của hệ đợc viết nh sau:

X2 = (c1(r+2), c2(r+2), , cr(r+2),0,1,0, ,0)T.

Cho ẩn tự do xn =1, xr+j = 0 ( j = 1,2, ,n r 1) ta đợc nghiệm riêng:

Xn-r = (c1n, c2n, , crn,0,0, ,0,1)T.Khi đó, Nghiệm tổng quát X = X1xr+1 X2xr+2  Xn-r xn Điều này chứng

tỏ mọi nghiệm của hệ đều đợc biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ X1,X2, , Xn-r

Mặt khác, X1k1 X2k2  Xn-r kn-r = 0n

10.4.3 Hệ nghiệm cơ bản của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất.

Cho hệ phơng trình tuyến tính thuần (III) AX = 0 m (trong đó A = (a ij)mn,

X  R n) Gọi C là của tập hợp các nghiệm của hệ

Định nghĩa 10.4. Mỗi cơ sở của không gian con C đợc gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (III).

Nhận xét 10.4 Quá trình chứng minh định lý 10.5 cho ta phơng pháp tìm

hệ nghiệm cơ bản của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (III) nh sau:

 Dùng phơng pháp khử toàn phần tìm nghiệm tổng quat của hệ (III).

 Tìm n r nghiệm riêng X1, X2, , Xn-r của hệ (III) (nh trong chứng minh

Cho x4 =1, x5 = 0 ta có nghiệm riêng X1 = (11, 8, 1, 1, 0)T.

Cho x5 =1, x4 = 0 ta có nghiệm riêng X2 = (2, 2, 1, 0, 1)T

Khi đó ta có: Nghiệm tổng quát của hệ luôn đợc viết dới dạng:

X = X1x4  X2x5

Câu 2. Phát biểu và chứng minh định lý KrôneccơCapeli về điều kiện cần

và đủ để hệ phơng trình tuyến tính có nghiệm Khi nào hệ phơng trình tuyếntính có duy nhất một nghiệm? có vô số nghiệm?

Câu 3. Trình bày nội dung giải hệ phơng trình tuyến tính bằng phơng phápkhử toàn phần Khi nào việc biến đổi ma trận A~ đợc kết thúc

Câu 4. Phát biểu và chứng minh điều kiện cần và đủ để hệ phơng trìnhtuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thờng

Câu 5. Phát biểu và chứng minh định lý về hệ nghiệm cơ bản của hệ phơngtrình tuyến tính thuần nhất

Câu 6. Nêu phơng pháp tìm cơ sở của hệ véc tơ và biểu diễn các véc tơ của hệtheo cơ sở đó bằng cách sử dụng lý thuyết hệ phơng trình tuyến tính

Câu 7. Nêu cơ sở lý luận của phơng pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách

thành lập ma trận (AE) và biến đổi ma trận (AE) về ma trận (E A1) (chỉcần chứng minh cho trờng hợp A là ma trận cấp 3x3)