mở rộng bài toán con bướm sang không gian

Bây gi , tôi s m r ng bài toán trên sang không gian và cách ch ng minh nó nh sau.

!""#$ %&

' ( ) "#*++,#!*-%

Trong hình h c ph ng chúng ta ã bi t m t bài toán kinh i m n i ti ng có tên là bài toán con b m Vi c ch ng minh và m r ng bài toán này c r t nhi u ng i quan tâm c

bi t, ã có r t nhi u ng i ta tìm cách m r ng bài toán theo nhi u cách khác nhau song t t

c các m r ng ó u áp d ng trong hình h c ph ng Vì v y, trong bài báo này tôi nên ra bài toán m r ng hoàn toàn m i ó là, m r ng bài toán con b m sang không gian và

ch ng minh nó

Tr c tiên, tôi xin nêu l i bài toán con b m trong m t ph ng

Bài toán con b m trong m t ph ng:

Cho ng tròn (O) và dây cungAB b t kì I là trung m c a AB Qua I v 2 dây

CD, EF sao cho C thu c cung AE; C,E thu c cung AB nh CF và ED c t AB l n l t t i M,N Ch ng minh r ng : IM=IN

Bài toán con b m trong không gian:

Trong không gian, cho m t c u tâm (O) MM1 là m t dây cung b t kì, I là trung

i m c a MM 1 Gi s r ng AA1 , BB 1 , CC 1 là ba dây cung b t kì i qua I sao cho ba

i m A,B,C n m v cùng phía v i m t ph ng vuông góc v i MM1 t i I Các m t ph ng (ABC),(A1 B 1 C 1) c t ng th ng MM1 l n l t t i N và N 1 Ch ng minh r ng : IN=IN 1

Ch ng minh :

G i ( )α là m t ph ng ch a ng th ng MM1 và vuông góc v i OI t i I, trong ó

là các ng tròn ( ), ( ) và ( ) Gi s E,F là các giao i m c a ( ) v i ( ) và

Vi c ch ng minh bài toán này ã có

r t nhi u tài li u vi t nên tôi không nêu l i

n a Bây gi , tôi s m r ng bài toán trên

sang không gian và cách ch ng minh nó

nh sau

N M

I

O

F

D

Suy ra, các i m E,N,F th ng hàng vì chúng u thu c giao tuy n c a hai m t

ph ng ( )α và (ABC) T ng t! thì, E1 ,N 1 ,F 1 c"ng th ng hàng

t

,

G AC= ∩EF G = AC ∩E F

B i vì, EF ⊂( )α ,E F1 1 ⊂( )α nên G∈( )α v Gà ∈(ACAC1 1),hay G là i m chung c a

( ) (α à ACAC1 1) T ng t!, G1 c"ng là i m chung c a ( ) (α à ACAC1 1).H n n a, d#

th y I c"ng là i m chung ( ) (α à ACAC1 1).Suy ra G,I,G 1 th ng hàng vì cùng thu c giao tuy n d =( ) (α ∩ ACAC1 1)

G i ( ) là ng tròn giao tuy n c a (ACA1 C 1 ) và m t c u (O) và Q Q, 1 là hai giao

i m c a d v i ( ) Khi ó Q Q, thu c ng tròn ( )

Do, ( )α là m t ph ng ch a ng th ng MM1 và vuông góc v i OI t i I ,vì th I là

tâm ng tròn ( ) Suy ra I là trung i m c a QQ1

Xét m t ph ng (ACA1 C 1) ch a ng tròn ( ) ng tròn ( ) này có I là trung

i m c a dây cung QQ1 và AA 1 ,CC 1 là hai dây cung b t kì i qua I Ngoài ra, các

ng th ng AC, AC1 c t QQ 1 l n l t t i G, G1 B i v y, áp d ng bài toán con b m trong m t ph ng (ACA1 C 1) $i v i ng tròn ( ), ta c:

IG IG= 1 (1)

Hoàn toàn t ng t!,

t

,

H BC= ∩EF H =B C ∩E F

Suy ra H,I,H1 th ng hàng vì cùng thu c giao tuy n ∆ =( ) (α ∩ BCB C1 1)

G i ( ) là ng tròn giao tuy n c a (BCB1 C 1 ) và m t c u (O) và P P, 1 là hai giao

i m c a ∆ v i ( ) Khi ó P P, 1 thu c ng tròn ( ) Ch ng minh nh trên ta suy

ra I là trung i m c a PP1 và BB1 ,CC 1 là hai dây cung b t kì i qua I

L i áp d ng bài toán con b m trong m t ph ng (BCB1 C 1) $i v i ng tròn ( ), ta thu c:

IH IH= 1 (2)

M t khác, ta có:

∠GIH = ∠G IH1 1 (3)

T% (1) , (2) và (3) suy ra ∆GIH = ∆G IH1 1 (c g c . ) Do ó,

∠HGI = ∠H G I1 1 (4) D# th y

∠GIN = ∠G IN1 1 (5) T% (1) , (4) và (5) ta có ∆GIN = ∆G IN1 1 (g c g . ) Suy ra, IN IN= 1 .( pcm)