mở rộng đường thẳng và đường tròn ơle

Bài toán ng th ng Euler và ng tròn Euler.. Ch ng minh... Bây gi ta nêu ra m t d oán là bài toán khái quát nh t cho các bài toán trên là nh sau.. Bài toán 4.Bài toán t ng ng th ng và ng

!" #%

& '(!)))*++,

Bài toán v ng th ng Euler và ng tròn Euler trong tam giác là m t bài toán n i ti ng kinh i n Bài toán do nhà toán h c Euler nêu ra và ch ng minh ,vì

v y nó c mang tên ông

Bài toán ã c bi t trong ch ng trình hình h c THCS và c ch ng minh

v i nhi u cách khác nhau ,song h u h t m i ng i ch quan tâm n vi c tìm các cách khác nhau ch ng minh nó mà không quan tâm n v n m r ng bài toán.V i tôi ,sau khi nghiên c u k các cách gi i khác nhau ,tôi ã t ra câu h i ,li u r ng bài toán trên có m r ng c hay không ,n u c thì m r ng theo

h ng nào và m r ng n âu.Sau nh ng ngày tháng kiên trì không bi t m t nh c ,tôi ã tìm ra các h ng m r ng m i c a bài toán và ã ch ng minh chúng

Sau ây tôi xin c trình bày hai h ng m r ng chính mà tôi ã thu c k t

qu h t s c b t ng , thú v Và nêu ra m t s h ng m r ng m i ang trong quá trình tìm tòi ,ch ng minh

Tr c h t,chúng ta hãy nêu và ch ng minh l i bài toán ng th ng Euler

, ng tròn Euler

Bài toán ( ng th ng Euler và ng tròn Euler)

Bài toán 1 Cho tam giác ∆ABC.G iA B C1, ,1 1 l n l t là trung i m các c ch BC, ,

CA AB và A B C2, ,2 2 l n l t là các chân ng cao h t các nh tam giác xu ng

c ch BC CA AB G i ,, , G O và H l n l t là tr ng tâm ,tâm ng tròn ngo i ti p

và tr c tâm tam giác ó

a) Ch ng minh r ng các i m ,G O , H cùng n m trên m t ng th ng (! ng

th ng Euler)

b) G i A B C l n l t là trung i m các o n 3, ,3 3 AH BH CH Ch ng minh , ,

r ng chín i m A B C ,1, ,1 1 A B C ,2, ,2 2 A B C cùng thu c m t 3, ,3 3 ng tròn ( ng tròn Euler)

Ch ng minh

a) D" th y,

B C1 1/ /BC OA1 ⊥B C1 1 ,A C1 1/ /AC OB1 ⊥ A C1 1

A B1 1/ /AB OC1⊥ A B1 1

Suy ra ,O là tr c tâm tam giác ∆A B C1 1 1

Vì G là tr ng tâm tam giác

ABC

∆ nên:

1 1

2

GA = − GA

Do ó, phép v t 1

, 2

G

V

−

tâm G t s 1

2

− bi n các

i m , ,A B C t ng ng

thànhA B C 1, ,1 1

Vì phép v t b o t#n góc

nên nó bi n tr c tâm ABC∆

thành tr c tâm tam giác

1 1 1

A B C

Ngh$a là:

1 ( )

, 2

G

Hay ,G O , H cùng n m trên m t ng th ng (h.1) (!pcm)

Chú ý ! ng th ng i qua ba i m , G O , H c xác nh nh trên c g i là

ng th ng Euler

b) G i ,D E và F l n l t là i m i x ng c a H qua BC , AC và AB.Suy ra

2 1 , 2 1 ,

HA = HD HB = HE và 2 1 ,

2

HC = HF

Ta s% ch ng minh ,D E và F thu c ng tròn ngo i ti p tam giác ABC∆ Th c v y ,ta có:

∠BDC = ∠BHC= ∠B HC2 2 Mà ∠B HC2 2 + ∠BAC =180o,do ó; ∠BDC+ ∠BAC=180o,

Suy ra ABCD là t giác n i ti p , i u ó ch ng t D thu c ng tròn ngo i ti p

tam giác ABC∆ (h.1)

T ng t ,các i m ,E F c&ng thu c ng tròn ngo i ti p tam giác ABC∆

Gi s' A B C′ ′ ′ là các i m i x ng c a , ,, , A B C qua tâm O ,suy ra , A B ′ ′ ,C′

thu c ng tròn ngo i ti p tam giác ABC∆

D" th y r ng : HBA C′ là hình bình hành ,do ó 1 1

2

T ng t , 1 1

2

2

HC = HC′

Do ó,phép v t 1

, 2

H

V tâm H t s 1

2 bi n các i m ,A B ′ ′ ,C′ t ng ng

,

3

3 2

3

2

E

F

A

B

A

C

D

C

B

C

A

G

B

A

H

O A

Hình 1

thành các i m A B C1, ,1 1.Bi n các i m , , , ,A B C D E và F t ng ng thành các

i m A B C3, ,3 3,A B2, 2và C2

Và

1 ( )

, 2

H

V O =O′

Vì các i m ,A B′ ′ ,C′ , , , , ,A B C D E , F thu c ng tròn ( )O nên các i m t ng

ng A B1, 1 ,C1,A B C3, ,3 3,A B2, 2,C2thu c ng tròn ( )O′ là nh c a ( )O qua phép v t 1

, 2

H

V tâm H t s 1

2 (h.1)

V y chín i m A B1, 1,C1,A B2, 2,C2,A B C3, ,3 3,A B2, 2,C2 cùng thu c m t ng tròn ( ng tròn Euler) ( pcm)

Chú ý ! ng tròn i qua chín i m c xác nh nh trên c g i là ng tròn chín i m ,hay ng tròn Euler.! ng tròn này có bán kính b ng n'a bán kính

ng tròn ngo i ti p tam giác ∆ABC

Trong trong ch ng bài toán trên ,ta có : 1 ( )

, 2

H

V O =O′,suy ra O H O O′ = ′

Ngoài ra, ∆GOA1 #ng d ng v i∆GHAnên , 1 1

GH = AH = =

Và,

, ,

HBC DBC HAB FAB HAC EAC

HC DC EC HB DB FB HA FA EA

!ó là các k t qu quan tr ng ta dùng ch ng minh nh ng bài toán m r ng Sau khi ch ng minh xong bài toán trên,tôi b(n kho(n t ra câu h i bài toán trên

có m r ng u c không,n u c m r ng theo h ng nào các d ki n c a bài toán

có thay i gì không?.S kiên trì c a tôi ã thành công ,tôi ã tìm ra hai h ng m

r ng c a bài toán ó là:M r ng bài toán trong m t ph ng và m r ng bài toán sang hình không gian

H ng m r ng th nh t.( M r ng bài toán trong m t ph ng)

Bài toán m r ng u tiên mà tôi ngh$ n ó là ,m r ng bài toán cho t giác

Lúc u g p v n ch) ,t giác thì không có khái ni m tr c tâm ,nh ng tôi

không u hàng và tôi ã tìm cách xây d ng cho t giác m t khái ni m m i ó là khái ni m tr c tâm Tr c tâm c a t giác ch t#n t i khi t giác ó là t giác n i

ti p ng tròn

V i m t t giác n i ti p b t kì ,giao c a các ng n i nh th ( 1,4)i i= v i

tr c tâm c a tam giác g#m các nh còn l i s% #ng quy t i m t i m.!i m #ng quy ó c g i là tr c tâm c a t giác ó.Không nh ng a ra khái ni m tr c tâm

c a t giác n i ti p mà tôi còn a ra khái ni m tr c tâm c a m t a giác n i ti p

ng tròn b t kì v i cách xác nh t ng t nh trên

V i m t a giác n− nh n i ti p b t kì,Giao c a các ng n i nh th

( 1, )

i i= n v i tr c tâm c a (n− giác g#m các nh còn l i s% #ng quy t i m t 1)

i m.!i m #ng quy ó c g i là tr c tâm c a a giác ó

Khái ni n tr ng tâm c a m t a giác b t kì thì tôi ã xác nh và a ra trong bài

"T duy khái quát t hình ph ng n hình không gian"

V i khái ni n tr c tâm c a a giác n i ti p ng tròn nh trên và tr ng tâm c a

a giác b t kì s% cho phép chúng ta m r ng bài toán h n n a.Sau ây là bài toán

ng th ng Euler, ng tròn Euler m r ng cho tr ng h p t giác

Bài toán 2.Cho t giác ABCD n i ti p ng tròn tâm O Gi s' A B C D l n 1, , ,1 1 1

l t là tr c tâm các tam giác ∆BCD CDA DAB ABC,∆ ,∆ ,∆ A B C D l n l t là 2, , ,2 2 2

tr ng tâm các tam giác ∆BCD CDA DAB ABC,∆ ,∆ ,∆ .G là tr ng tâm t giác ABCD

a) Ch ng minh r ng các ng th ng AA BB CC DD #ng quy t i m t i m 1, 1, 1, 1

H (H c g i là tr c tâm t giác ABCD ) và A B C D thu c m t 1, , ,1 1 1 ng tròn b) Ch ng minh r ng , ,O G H cùng n m trên m t ng th ng ( ng th ng Euler trong t giác )

c) G i H H H H l n l t là các i m thu c các o n1, 2, 3, 4 HA HB HC HD sao , , ,

3

HH

HA = HB = HC = HD = Ch ng minh r ng các i m A B C D và 2, , ,2 2 2

1, 2, 3, 4

H H H H cùng thu c m t ng tròn (! ng tròn Euler cho t giác)

d) Ch ng minh r ng các ng tròn Euler c a các tam giác ∆BCD CDA,∆

, DAB∆ , ABC∆ có cùng bán kính và #ng quy t i H

e) G i O O O O l n l t là các tâm 1, , ,2 3 4 ng tròn Euler c a các tam giác

,

BCD CDA

∆ ∆ , DAB∆ , ABC∆ Ch ng minh O O O O cùng thu c m t 1, , ,2 3 4 ng tròn có bán kính b ng bán kính ng tròn ( )O 1

Ch ng minh:

a) G i A B1′ ′ là i m i x ng c a , 1 A B qua DC Khi ó theo bài toán 1 thì 1, 1

1 , 1

A B′ ′ thu c ng tròn ngo i ti p t giác ABCD ,và A B B A1 1 1 1′ ′ là hình thang cân nên : ∠A A B1 1 1′ ′= ∠A A B1 1 1′ (2.1)

Ngoài ra,ta có :ABA B1 1′ ′là t giác n i ti p,do ó

∠B AB1 + ∠A A B1 1 1′ ′=180o (2.2)

T (2.1) và (2.2) ,suy ra ∠B AB1 + ∠A A B1 1 1′ =180o,vì th ∠B AB1 = ∠B A B1 1 vì cùng bù v i góc ∠A A B1 1 1′ .M t khác,AB1/ /BA vì cùng vuông góc v i CD , i u 1 này ch ng t ABA B là hình bình hành,b i v y các o n th ng 1 1 AA BB c*t nhau 1, 1

t i trung i m m)i o n (h.2)

L p lu n t ng t ,ta có:

1 1, 1 1, 1 1

BCB C CDC D DAD A là nh ng hình bình hành

Suy ra ,các o n th ngAA BB1, 1,CC DD ôi m t c*t nhau t i trung i m m)i 1, 1

o n ,ngh$a là các ng th ng AA BB CC DD #ng quy t i m t i m 1, 1, 1, 1 H (h.2) Bây gi ,g i
H là phép i x ng tâm H ,khi ó
Hbi n các i m , , ,A B C D

t ng ng thành các i m A B C D và1, , ,1 1 1
H( ) = là tâm ′ ng tròn ngo i ti p

t giác A B C D ,hay1 1 1 1 A B C D cùng thu c m t 1, , ,1 1 1 ng tròn (h.2) pcm

b) Theo bài toán 1,ta có :A A B B ,1 2, 1 2 C C D D t ng ng là các 1 2, 1 2 ng th ng

Euler c a các tam giác BCD∆ ,∆CDA DAB ABC,∆ ,∆ và chúng #ng quy t i O và

2 2 2 2

1 3

OA = OB = OC = OD = (2.3)

2 2

2 2

,

1

,

1

1 1

G

B

C

F

A B

H

B

D

A E

A

O

B

C D

A

Hình 2

M t khác,trong bài "T duy khái quát t hình ph ng n hình không gian" ta ã có

k t qu :

GA2 GB2 GC2 GD2

GA = GB = GC = GD (2.4)

T (2.3) và (2.4) ,ta có:

2 1

1 2

1 1 3 1

3 1 1

GA HA OA

GA HA OA⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Mà ba i m , ,O G H l n l t thu c ba c nh A A AA AA c a 1 2, 1, 2 ∆AA A1 2,nên theo

nh lý Menelauyt thì , ,O G H th ng hàng.V y , , O G H thu c m t ng th ng ( ng th ng Euler cho tr ng h p t giác n i ti p) (h.2) pcm

c) G i A B C D l n l t là i m i x ng c a , , ,4, , ,4 4 4 A B C D qua tâm O ,khi ó

ta có:

4 2 1

1 1 2 1

2 1 1

A O HA A A

A A HA A O⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Vì A A H l n l t thu c ba c nh4, ,2 AO AA A O c a tam giác , 1, 1 ∆OAA1,nên theo

nh lý Menelauyt thì A A H th ng hàng.(h.3) 4, ,2

L i áp d+ng nh lý Menelauyt cho tam giác ∆AHA4 v i ba i m th ng hàngA A 1, ,2

O t ng ng thu c ba c nh c a tam giác ó ta c :

1 2 4 2 2

A H A A⋅ ⋅ OA = ⇔ ⋅ A A ⋅ = A A = = Nên

2 1 4

3

HA = HA

Ch ng minh t ng t ,ta c :

2 1 4, 2 1 4, 2 1 4

HB = HB HC = HC HD = HD

Do ó, phép v t 1

, 3

H

V tâm H t s 1

3 s% bi n các i m , , ,A B C D t ng ng thành các i m H H H H và 1, 2, 3, 4 1

, 3

H

V bi n các i n A B C D t ng ng 4, , ,4 4 4

thành các i m A B C D ,! t: 2, , ,2 2 2

1 ( )

, 3

H

V O = I

Vì các i m , , ,A B C D , A B C D thu c 4, , ,4 4 4 ng tròn ngo i ti p t giác ABCD

,nên các i m H H H H ,1, 2, 3, 4 A B C D t ng ng thu c 2, , ,2 2 2 ng tròn tâm I là

nh c a O qua phép v t 1

, 3

H

V tâm H t s 1

3

V y ,các i m H H H H ,1, 2, 3, 4 A B C D cùng thu c m t 2, , ,2 2 2 ng tròn

(! ng tròn Euler cho t giác) (h.3) ( pcm)

Chú ý ! ng tròn Euler c xác nh nh trên có bán kính b ng 1

3R ( R bán kính ng tròn ngo i ti p t giác ABCD ).! ng tròn này ch i qua tám i m ,vì

O

4 3

2

1 4

4

4

4

2 2

2 2

1 1

O

B

C

D

A

H4 H3

H2

H1

G

B

C

F

H

B

D

A

E

A

O

B

C D

A

Hình 3

nó không i qua b n tr c tâm c a b n tam giác mà b n tr c tâm này l i thu c m t

ng tròn khác

Nh v y,ta có th xem ng tròn Euler i qua chín i m cho tam giác là m t

tr ng h p c bi t là g#m hai ng tròn cùng tâm cùng bán kính , ó là ng tròn i qua ba chân ng cao và ng tròn i qua sáu i m còn l i

d) G i O O O O l n l t là các tâm 1, , ,2 3 4 ng tròn Euler c a các tam giác

,

BCD CDA

∆ ∆ , DAB∆ , ABC∆ ,khi ó theo bài toán 1 thì O O O O l n l t là 1, , ,2 3 4 trung i m các o n OA OB OC OD và các 1, 1, 1, 1 ng tròn này t ng ng có bán kính b ng 1

2 bán kính các ng tròn ngo i ti p các tam giác ∆BCD CDA,∆

, DAB∆ , ABC∆ và cùng b ng 1

2R ( Rbán kính các ng tròn ngo i ti p t giác

ABCD )

H n n a,ta có:

O H là 1 ng trung bình c a tam giác ∆A OA1 ,suy ra 1 1 1

O H = OA= R

T ng t

2

O H O H O H= = = R

V y ,các ng tròn Euler c a các tam giác ∆BCD CDA,∆ , DAB∆ , ABC∆ có cùng bán kính và #ng quy t i H ( pcm)

e) Theo câu d, ta có:

1 1 1, 2 1 1, 3 1 1, 4 1 1

OO = OA OO = OB OO = OC OO = OD

Vì th ,phép v t 1

, 2

O

V tâm O t s 1

2 s% bi n các i m A B C D t ng ng 1, , ,1 1 1 thành các i m O O O O 1, , ,2 3 4

Vì các i m A B C D thu c 1, , ,1 1 1 ng tròn ngo i ti p t giác A B C D ,nên các 1 1 1 1

i m O O O O , t ng ng thu c 1, , ,2 3 4 ng tròn tâm 1 ( )

, 2

O

O′′=V O′ và bán kính

b ng 1

2R ( pcm)

Nh n xét: Qua bài toán trên không nh ng ta thu c k t qu v ng th ng và

ng tròn Euler mà còn thu c các k t liên quan khác c&ng không kém ph n

h p d,n

M i ch t c a bài toán là ph i tìm c m i liên h v i bài toán tr c ó và s' d+ng tri t ,linh ho t các k t qu ã có bài toán ó

Bài toán 3.Cho ng& giác ABCDE n i ti p ng tròn tâm O Gi s' A B C D , 1, , ,1 1 1 1

E l n l t là tr c tâm các t giác BCDE CDEA DEAB EABC ABCD , , , ,

.A B C D E l n l t là tr ng tâm các t giác 2, , ,2 2 2, 2 BCDE CDEA DEAB EABC , , ,

, ABCD (Tr c tâm và tr ng tâm các t giác xác nh nh bài toán 2).G là tr ng tâm ng& giác ABCDE (Tr ng tâm ng& giác xác nh nh trong bài "T duy khái

quát t hình ph ng n hình không gian" )

a) Ch ng minh r ng các ng th ng AA BB CC DD EE #ng quy t i m t 1, 1, 1, 1, 1

i m H (H c g i là tr c tâm ng& giác ABCDE ) và A B C D E thu c m t 1, , , ,1 1 1 1

ng tròn

b) Ch ng minh r ng , ,O G H cùng n m trên m t ng th ng ( ng th ng Euler trong ng& giác )

c) G i H H H H H l n l t là các i m thu c các o n1, 2, 3, 4, 5 HA HB HC HD , , ,

4

HA = HB = HC = HD = HE = Ch ng minh r ng các i m

2, , ,2 2 2, 2

A B C D E và H H H H H cùng thu c m t 1, 2, 3, 4, 5 ng tròn (! ng tròn Euler cho ng& giác)

d) Ch ng minh r ng các ng tròn Euler c a các t giác BCDE CDEA , ,

DEAB EABC ABCD có cùng bán kính và #ng quy t i H

e) G i O O O O O l n l t là các tâm 1, , , ,2 3 4 5 ng tròn Euler c a các t giác

BCDE CDEA DEAB EABC ABCD Ch ng minh , , O O O O O cùng thu c 1, , , ,2 3 4 5

m t ng tròn có bán kính b ng bán kính ng tròn ( )O 1

Ch ng minh Bài toán này c ch ng minh t ng t nh bài toán 2

Bây gi ta nêu ra m t d oán là bài toán khái quát nh t cho các bài toán trên là

nh sau

Bài toán 4.(Bài toán t ng ng th ng và ng tròn Euler t ng quát )

Cho a giác A A A n i ti p 1 2 n ng tròn tâm O Gi s' H i i( =1,n),l n l t là

tr c tâm các (n− giác g#m các nh tr nh 1) A i G i i( =1,n)l n l t là tr ng tâm các (n− giác g#m các nh tr nh 1) A (Quy trình xác nh tr c tâm và tr ng i

tâm các(n − giác nh trong các bài toán 2,3).G là tr ng tâm a giác 1) A A A 1 2 n

(Tr ng a giác xác nh nh trong bài "T duy khái quát t hình ph ng n hình

không gian" )

a) Ch ng minh r ng các ng th ng AH i1,( =1,n) #ng quy t i m t i m H

(H c g i là tr c a giác A A A ) và các i m 1 2 n H i i( =1,n) thu c m t ng tròn

b) Ch ng minh r ng , ,O G H cùng n m trên m t ng th ng ( ng th ng Euler trong a giác )

c) G i K i i( =1,n) l n l t là các i m thu c các o nHA sao cho : i

1 2

1 1

n n

HK

HK HK

HA = HA = ⋅⋅⋅ = HA =n

−

Ch ng minh r ng các i m G i i( =1,n) và K i i( =1,n) cùng thu c m t ng tròn (! ng tròn Euler cho a giác giác)

d) Ch ng minh r ng các ng tròn Euler c a các (n− giác g#m các nh tr 1)

nh A có cùng bán kính và #ng quy t i i H

e) G i O i i( =1,n) l n l t là các tâm ng tròn Euler c a các (n− giác g#m 1)

các nh tr nh A Ch ng minh i O i i( =1,n) cùng thu c m t ng tròn có bán kính b ng bán kính ng tròn ( )O i i ( =1,n)

Cách ch ng minh bài toán t ng quát trên là theo ph ng pháp quy n p.Vì vi c

ch ng minh khá ph c t p nên tôi không trình bày ây

H ng m r ng th hai.( M r ng bài toán trong không gian)

_