Sáng tác bài toán tọa độ trong không gian có mức độ vận dụng cao từ một số mô hình không gian

Việcsáng tác các bài toán vận dụng cao không đơn giản khi phải đảm bảo các yêu cầuvề: giới hạn kiến thức trong SGK, phân loại được học sinh đồng thời lời giải khôngquá dài, tính toán khô

11 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong kỳ thi THPT Quốc gia, các câu hỏi trong bài thi môn Toán được phânthành 4 mức độ, đó là: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp và vận dụng cao Việcsáng tác các bài toán vận dụng cao không đơn giản khi phải đảm bảo các yêu cầuvề: giới hạn kiến thức trong SGK, phân loại được học sinh đồng thời lời giải khôngquá dài, tính toán không quá phức tạp để học sinh có thể giải trong một khoảng thờigian ngắn Có rất nhiều cách để sáng tác các bài toán vận dụng cao, có thể từ cácbài toán thực tế, từ một bài toán gốc tự luận hay từ sự đặc biệt hóa, tổng quát hóa

Để đưa ra một trong những cách sáng tác bài toán vận dụng cao như vậy, tôi chọn đề tài: “SÁNG TÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÓ MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO TỪ MỘT SỐ MÔ HÌNH KHÔNG GIAN”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Để sáng tác các bài toán mức độ vận dụng cao chúng ta thường xuất phát từmột bài toán gốc, từ đó đề xuất ra các bài toán liên quan Để định hướng cách giảicho các bài toán vận dụng cao, chúng ta thường gợi ý cho học sinh tìm cách tư duyngược, tìm bài toán gốc từ các bài toán đã cho, giúp học sinh có được phương pháp

tư duy để giải được nhiều bài toán khác nhau

Từ một giả thiết, tôi xây dựng các mô hình không gian với các điều kiện giảiđược, đề xuất một cách tạo lập các bài toán vận dụng cao, giúp giáo viên dần hìnhthành được kỹ năng ra đề thi trắc nghiệm môn Toán, đặc biệt là các bài toán vậndụng cao và giúp học sinh hình thành được một trong những cách tư duy để giảinhanh các bài toán vận dụng cao

Từ một giả thiết về đường thẳng và hai mặt cầu, hình thành các tình huống,

mô hình về sự tồn tại tiếp tuyến, tiếp diện chung của hai mặt cầu, đặt các câu hỏi vàđưa ra hướng giải quyết từ đó tọa độ hóa bài toán để được bài toán trắc nghiệmmức độ vận dụng cao

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Đề xuất các câu hỏi và đưa ra hướng giải quyết dựa trên mối liên hệ, tínhchất của các yếu tố trong giả thiết

Thực nghiệm sư phạm: Cho học sinh khá, giỏi làm các câu hỏi trắc nghiệm để kiểm tra tính khoa học, hợp lý của câu hỏi vận dụng cao

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .

Với các kiến thức cơ bản về hình học không gian, đặc biệt là các tính chất vềtiếp tuyến, tiếp diện của một mặt cầu

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Phần lớn giáo viên thường gặp khó khăn khi sáng tác các bài toán vận dụngcao, giáo viên thường copy bài có sẵn trên mạng biến đổi chút ít rồi thay số hoặchoặc lấy một bài toán tự luận quen thuộc rồi chuyển thể sang hình hình thức trắcnghiệm, hầu như không có nhiều sự sáng tạo Sáng kiến kinh nghiệm này đề xuấtmột hướng để sáng tạo các bài toán vận dụng cao

2.3 Giải quyết vấn đề.

Thông qua cách khai thác một số mô hình từ giả thiết về đường thẳng và hai mặt cầu, về sự tồn tại tiếp tuyến, tiếp diện chung của hai mặt cầu, chúng ta có thể sáng tác được một lớp các bài toán vận dụng cao về tọa độ trong không gian

Chúng ta xuất phát từ giả thiết sau:

Trong không gian, cho thẳng d và hai mặt cầu: mặt cầu  S1 có tâm I1, bán

kính R1, mặt cầu  S2 có tâm I2, bán kính R2

Mô hình 1: Đường thẳng  đồng phẳng với I I1 2 , vuông góc với đường thẳng d

đồng thời tiếp xúc với cả    S1 , S2 .

Hướng giải:

Nhận xét: Khi giải các bài toán trắc nghiệm, đặc biệt là các bài toán mức độ vận

dụng cao chúng ta thường xem xét các yêu tố, mối liên hệ đặc biệt của giả thiết để đưa ra hướng giải nhanh nhất có thể

TH1: Nếu R1 R2 R và    S1 , S2

không có điểm chung thì tiếp tuyến

chung của    S1 , S2 đồng phẳng

với I I1 2 sẽ song song với I I1 2 hoặc

đi qua trung điểm M của I I1 2

+ Nếu d I I1 2 thì có vô số tiếp

tuyến thỏa mãn

+ Nếu d không vuông góc I I1 2, xét mặt phẳng   qua M và vuông góc với d ,

suy ra tiếp tuyến chung vuông góc với d( nếu có ) của    S1 , S2 sẽ nằm trên  

<*> Nếu d I 1,   R thì sẽ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,   R thì sẽ không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,   R thì sẽ có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

Các bài toán trắc nghiệm:

Bài toán 1.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

I ��  ��

12

,  S2 có tâm I20;1; 2 , 2

12

.

R R I I   3 R R    S , S

và uuurAB2; 1; 2   vuông góc với nhau nên có vô số đường

thẳng vuông góc với AB , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và

và hai điểm A1; 2;1 ,  B 1; 2;3  Số đường thẳng vuông góc với AB , đồng

phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả    S1 , S2 là:

và uuurAB 0;0;2 không vuông góc với nhau

Gọi M là trung điểm 1 2

và uuurAB   1; 1;2 không vuông góc với nhau

Gọi   qua M và vuông góc với AB, phương trình   :x y 2z154 0

Ta có  1   

5 6 1,

không có đường thẳng thỏa mãn Chọn đáp án A.

Bài toán 1.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

và uuurAB2;1;1 không vuông góc với nhau

Gọi   qua M và vuông góc với AB, phương trình   : 2x y z  0.

a Xét    S1 , S2 rời nhau:

+ Gọi điểm M thỏa mãn

đồng phẳng với I I1 2 sẽ đi qua

M

+ Gọi mặt phẳng   qua M và vuông góc với d , suy ra tiếp tuyến chung của

   S1 , S2 đồng phẳng với I I1 2 sẽ nằm trên  

<*> Nếu d I 1,   R thì sẽ có 1 tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,   R thì sẽ không có tiếp tuyến nào thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,   R thì sẽ có 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

và giải tương tự như trên

Các bài toán trắc nghiệm:

Bài toán 1.5 Trong không gian

với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm I0; 1;3 ,  J2;1;1 , K 1;2;3 , H 2;0;4 Gọi

 S1 là mặt cầu tâm I , bán kính R12,  S2 là mặt cầu tâm J, bán kính R2 1 Số

đường thẳng vuông góc với KH , đồng phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt

cầu và tiếp xúc với cả    S1 , S2 là:

Hướng dẫn giải:

Ta có IJ 2 3 R1 R2  suy ra 3    S1 , S2 không có điểm chung.

Gọi điểm M thỏa mãn

Gọi   qua M và vuông góc với KH

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn Chọn đáp án C.

Mô hình 2: Đường thẳng  đồng phẳng với I I1 2 , cắt đường thẳng d đồng thời

tiếp xúc với cả    S1 , S2 .

Hướng giải:

Để thuận lợi cho việc chuyển sang bài toán trắc nghiệm chúng ta xét một số trường hợp sau (có thể không cần xét hết các khả năng có thể xảy ra):

TH1: Nếu R1 R2 R và    S1 , S2 cắt nhau Tương tự bài toán trong mô hình 1,

+ Nếu d / /I I1 2 thì không có tiếp tuyến thỏa mãn.

+ Nếu d và I I1 2 chéo nhau, gọi   là mặt phẳng chứa d và song song với I I1 2 :

<*> Nếu d I 1,   R thì không có tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,   R thì có đúng 1 tiếp tuyến thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,   R thì có đúng 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

+ Nếu d và đường thẳng I I1 2 cắt nhau thì có đúng 2 tiếp tuyến thỏa mãn.

Các bài toán trắc nghiệm:

Bài toán 2.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

Hướng dẫn giải:

Gọi   chứa AB và song song với I I1 2�  :y z  1 0, d I 1,    2 1

nên không có đường thẳng nào thỏa mãn Chọn đáp án A.

Bài toán 2.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

� � � � Số đường thẳng cắt AB , đồng phẳng với đường thẳng

nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả    S1 , S2 là:

, suy ra tiếp tuyến chung  của    S1 , S2 ,

đồng phẳng với I I1 2 sẽ đi qua M

+ Nếu M d� thì có vô số tiếp tuyến thỏa mãn

+ Nếu I1�d, gọi H là một tiếp điểm của  với  S1

<*> Nếu  �  �

1 2 1,

thì có đúng 1 tiếp tuyến thỏa mãn

Các bài toán trắc nghiệm:

Bài toán 2.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm I0; 1;3 , 

2;1;1 , 1;2;3 ,  2;1;7

J K H  Gọi  S1 là mặt cầu tâm I , bán kính R14,  S2 là

mặt cầu tâm J , bán kính R2 2 Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng

phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả    S1 , S2 là:

J K H  Gọi  S1 là mặt cầu tâm I , bán kính R1 4,  S2 là

mặt cầu tâm J , bán kính R2 2 Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng

phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả    S1 , S2 là:

Hướng dẫn giải:

Tương tự Bài toán 2.4 suy ra    S1 , S2 cắt nhau.

Gọi điểm M thỏa mãn MIuuur2MJuuur�M4;3; 1  .

J K H  Gọi  S1 là mặt cầu tâm I , bán kính R1 4,  S2 là

mặt cầu tâm J , bán kính R2 2 Số đường thẳng cắt đường thẳng KH , đồng

phẳng với đường thẳng nối tâm của hai mặt cầu và tiếp xúc với cả    S1 , S2 là:

Hướng dẫn giải:

Tương tự Bài toán 2.4 suy ra    S1 , S2 cắt nhau.

Gọi điểm M thỏa mãn MIuuur2MJuuur�M4;3; 1  .

Mô hình 3: Mặt phẳng  P chứa đường thẳng d tiếp xúc với cả    S1 , S2 ( hoặc

tiếp xúc với  S1 và cắt  S2 theo đường tròn có bán kính r hoặc cắt    S1 , S2

lần lượt theo các đường tròn có bán kính r r1, 2).

+ Nếu d và I I1 2 chéo nhau thì gọi   là mặt phẳng chứa d và song song với I I1 2

<*> d I 1,   �R thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

<*> d I 1,   R thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

TH2: Nếu R1 R2 R và    S1 , S2 rời

nhau thì  P sẽ song song vớiI I1 2 hoặc đi

qua trung điểm M của I I1 2

+ Nếu d / /I I1 2 thì giống như TH 1.

+ Nếu M d� :

<*> d I d 1,  R thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

<*> d I d 1,  R thì có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

<*> d I d 1,  R thì có đúng hai mặt phẳng thỏa mãn.

+ Nếu d và I I1 2 chéo nhau thì gọi   là mặt phẳng chứa d và song song với I I1 2

,   là mặt phẳng chứa d và đi qua M

+ Gọi mặt phẳng   qua M và chứa d (biết M d � , TH M d� được giải quyết trong Mô hình 4)

<*> Nếu d I 1,   R1 thì sẽ có một mặt phẳng thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,   �R1 thì sẽ không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

b Xét    S1 , S2 cắt nhau: gọi điểm M thỏa mãn

( Các bài toán  P chứa d và tiếp xúc với  S1 và cắt  S2 theo đường tròn có

bán kính r hoặc cắt    S1 , S2 lần lượt theo các đường tròn có bán kính r r1, 2 được

giải tương tự và xin dành cho bạn đọc).

Các bài toán trắc nghiệm:

Bài toán 3.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

I ��  ��

12

,  S2 có tâm I20;1; 2 , 2

12

Ta có R1R2 và vì 1 2 1 2

32

I I   R R

suy ra    S1 , S2 không có điểm chung.

Trung điểm của I I1 2 là

Bài toán 3.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu:

Hướng dẫn giải: Tương tự Bài toán 3.1 Ta có M�AB

Gọi mặt phẳng   chứa AB và song song với I I1 2 �  : 2x y  5 0

Gọi mặt phẳng   chứa AB và đi qua M �  : 26x3y8z17 0.

R 

,  S2

là mặt cầu tâm B bán kính 2

15

R 

Có bao nhiêu mặt phẳng chứa CD và tiếp xúc

với cả    S1 , S2 .

Hướng dẫn giải: Ta có    S1 , S2 rời nhau

Gọi điểm M thỏa mãn

B  C D  Gọi  S1 là mặt cầu tâm A bán kính R14,  S2

là mặt cầu tâm B bán kính R2 2 Có bao nhiêu mặt phẳng chứa CD và tiếp xúc

với cả    S1 , S2 .

Hướng dẫn giải: Ta có    S1 , S2 cắt nhau

Gọi điểm M thỏa mãn MAuuur2MBuuur�M3; 3;4  Gọi mặt phẳng   qua M và

chứa CD, ta có d A ,   �4R1, suy ra không có mặt phẳng thỏa mãn Chọn đáp

án A.

Bài toán 3.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1;1;2 ,

2; 1;3 , 0;0;6 ,  3;0;3

B  C D  Gọi  S1 là mặt cầu tâm A bán kính R1 2,

 S2 là mặt cầu tâm B bán kính R2 4 Có bao nhiêu mặt phẳng chứa CD , tiếp

xúc với  S1 và cắt  S2 theo một đường tròn có bán kính r  7.

Hướng dẫn giải: Ta có    S1 , S2 cắt nhau

Gọi điểm M thỏa mãn 2  1;5;0

Mô hình 4: Mặt phẳng  P song song với đường thẳng d tiếp xúc với cả

   S1 , S2

( hoặc tiếp xúc với  S1 và cắt  S2 theo đường tròn có bán kính r hoặc cắt

   S1 , S2 lần lượt theo các đường tròn có bán kính r r1, 2)

TH1: Nếu R1 R2 R và    S1 , S2 cắt nhau thì  P sẽ song song với I I1 2.

+ Nếu d / /I I1 2 thì có vô số mặt phẳng thỏa mãn.

+ Nếu d không song song với I I1 2thì gọi   là mặt phẳng chứa dvà song song

với I I1 2.

<*> d I 1,   R thì có 1 mặt phẳng thỏa mãn.

<*> d I 1,   �R thì có 2 mặt phẳng thỏa mãn.

+ Nếu d và I I1 2 chéo nhau thì gọi   là mặt phẳng chứa d và song song với I I1 2

<*> d I 1,   �R thì không có mặt phẳng nào thỏa mãn.

+ Gọi đường thẳng  qua M và song song với d � �  P .

<*> Nếu d I 1,  R1 thì sẽ không có mặt phẳng thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,  R1 thì sẽ có đúng một mặt phẳng thỏa mãn.

<*> Nếu d I 1,  R1 thì sẽ có hai mặt phẳng thỏa mãn.

b Xét    S1 , S2 cắt nhau: gọi điểm M thỏa mãn

( Các bài toán  P song song d và tiếp xúc với  S1 và cắt  S2 theo đường tròn

có bán kính r hoặc cắt    S1 , S2 lần lượt theo các đường tròn có bán kính r r1, 2

được giải tương tự và xin dành cho bạn đọc).

Các bài toán trắc nghiệm:

Bài toán 4.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu :

tâm B bán kính 2

32

Có bao nhiêu mặt phẳng song song với CD đồng thời tiếpxúc với cả  S1 ,  S2 .

Hướng dẫn giải: Ta có    S1 , S2 cắt nhau

Gọi điểm M thỏa mãn MAuuur2MBuuur�M2;1;2 Gọi  qua M và song song với

Có bao nhiêu mặt phẳng song song với CD đồng thời tiếp

xúc với cả  S1 ,  S2

Hướng dẫn giải: Ta có    S1 , S2 cắt nhau Tương tự Bài toán 4.2

Gọi  qua M và song song với CD

, suy ra không có mặt phẳng nào thỏa mãn Chọn đáp án A.

Bài toán 4.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A1;1;2 ,

2; 1;3 , 2; 1; 1 , 5;2;0

B  C   D Gọi  S1 là mặt cầu tâm A bán kính R12 ,

 S2 là mặt cầu tâm B bán kính R2 4 Có bao nhiêu mặt phẳng song song với

CD , tiếp xúc với  S1 và cắt  S2 theo một đường tròn có bán kính r  7.

A.0 B.1 C 2 D Vô số.

Hướng dẫn giải: Ta có    S1 , S2 cắt nhau

Gọi điểm M thỏa mãn 2  1;5;0

Lớp Sĩ số

học sinh khá, giỏi

Thực tế giảng dạy, áp dụng ở các lớp 12 trường THPT Đào Duy Từ Tôi đã thu

được các kết quả khả quan, không chỉ giúp cho học sinh nắm vững một số kỹ nănggiải toán vận dụng cao mà còn giúp các em hình thành được tư duy linh hoạt, sángtạo, phản ứng nhanh với các tình huống, phát hiện nhanh các trường hợp được đặcbiệt hóa trong đề bài Ngoài ra, học sinh còn tự phát hiện, tìm tòi để tự sáng tạo cácbài toán vận dụng cao từ các bài toán gốc cũng như các mô hình không gian, đồngthời giúp các em phân tích được các phương án gây nhiễu trong đề thi trắc nghiệm,

đặc biệt là các câu vận dụng cao Trên cơ sở đó, các em tự tin hơn trong khi học vàđạt kết quả cao khi làm bài thi trắc nghiệm môn Toán

tự sáng tạo nâng các bài toán có mức độ vận dụng cao

- Qua việc nghiên cứu vấn đề này tôi hy vọng các đồng nghiệp có thể đóng góp, bổsung, hoàn thiện, mở rộng, cải tiến các phương pháp sáng tạo, để sáng tác các bàitoán mức độ vận dụng cao nhằm nâng cao chất lượng dạy và học ở trường phổthông

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Việt Dũng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao – Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất